TIÊN ĐỀ XÁC SUẤT: LOẠI, GIẢI THÍCH, VÍ DỤ, BÀI TẬP - DUDAS

Các tiên đề xác suất là mệnh đề toán học đề cập đến lý thuyết xác suất, mà không làm công đức bằng chứng. Tiên đề được nhà toán học người Nga Andrei Kolmogorov (1903-1987) thiết lập vào năm 1933 trong cuốn Cơ sở lý thuyết xác suất và đặt nền móng cho nghiên cứu toán học xác suất.

Khi thực hiện một thí nghiệm ngẫu nhiên nào đó ξ, không gian mẫu E là tập hợp tất cả các kết quả có thể có của thí nghiệm, còn gọi là các biến cố. Bất kỳ sự kiện nào cũng được ký hiệu là A và P (A) là xác suất xảy ra của nó. Sau đó, Kolmogorov thiết lập rằng:

Hình 1. Tiên đề về xác suất cho phép chúng ta tính toán xác suất trúng các trò chơi may rủi như roulette. Nguồn: Pixabay.

- Tiên đề 1 (không phủ định) : xác suất để mọi biến cố A xảy ra luôn dương hoặc bằng không, P (A) ≥0. Khi xác suất của một sự kiện bằng 0, nó được gọi là sự kiện bất khả thi.

- Tiên đề 2 (chắc chắn) : bất cứ khi nào một biến cố nào đó thuộc E thì xác suất xuất hiện của nó là 1, ta có thể biểu thị là P (E) = 1. Đây được gọi là một sự kiện nhất định, vì khi tiến hành một thí nghiệm, chắc chắn sẽ có một kết quả.

- Tiên đề 3 (phép cộng) : trong trường hợp có hai hoặc nhiều biến cố xung khắc nhau, gọi là A ₁ , A ₂ , A ₃ …, thì xác suất xảy ra biến cố A ₁ cộng A ₂ cộng A ₃ , v.v. liên tiếp, nó là tổng các xác suất của mỗi lần xảy ra riêng biệt.

Điều này được biểu thị bằng: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U…) = P (A ₁ ) + P (A ₂ ) + P (A ₃ ) +…

Hình 2. Nhà toán học đáng chú ý người Nga Andrei Kolmogorov (1903-1987), người đặt nền móng cho xác suất tiên đề. Nguồn: Wikimedia Commons.

Thí dụ

Tiên đề về xác suất được sử dụng rộng rãi trong vô số ứng dụng. Ví dụ:

Một chiếc đinh bấm hoặc đinh bấm được ném lên không trung và khi nó rơi xuống sàn, bạn có thể lựa chọn hạ cánh với điểm hướng lên (U) hoặc với điểm hướng xuống (D) (chúng tôi sẽ không xem xét các khả năng khác). Không gian mẫu cho thử nghiệm này bao gồm các sự kiện này, khi đó E = {U, D}.

Hình 3. Trong thí nghiệm ném bóng có hai sự kiện có xác suất khác nhau: hạ cánh với điểm hướng lên hoặc hướng xuống đất. Nguồn: Pixabay.

Bằng cách áp dụng các tiên đề, chúng ta có:

Nếu nó có khả năng hạ cánh lên hoặc xuống như nhau thì P (U) = P (D) = ½ (Tiên đề 1). Tuy nhiên, cấu tạo và thiết kế của đinh bấm có thể khiến nó dễ bị rơi theo cách này hay cách khác. Ví dụ, có thể P (U) = ¾ trong khi P (D) = ¼ (Tiên đề 1).

Lưu ý rằng trong cả hai trường hợp, tổng các xác suất cho 1. Tuy nhiên, các tiên đề không chỉ ra cách gán các xác suất, ít nhất là không hoàn toàn. Nhưng chúng tuyên bố rằng chúng là các số từ 0 đến 1 và điều đó, như trong trường hợp này, tổng của tất cả là 1.

Các cách chỉ định xác suất

Tiên đề về xác suất không phải là một phương pháp gán giá trị của xác suất. Đối với điều này, có ba tùy chọn tương thích với các tiên đề:

Quy tắc Laplace

Mỗi sự kiện được ấn định cùng một xác suất xảy ra, sau đó xác suất xảy ra được định nghĩa là:

Ví dụ, xác suất rút được một con át chủ bài từ một bộ bài Pháp là bao nhiêu? Bộ bài có 52 lá, mỗi bộ có 13 bộ và có 4 bộ. Mỗi bộ có 1 quân át chủ bài, vì vậy tổng cộng có 4 quân át chủ bài:

P (as) = 4/52 = 1/13

Quy tắc Laplace được giới hạn trong không gian mẫu hữu hạn, trong đó mỗi sự kiện đều có thể xảy ra như nhau.

Tần số tương đối

Ở đây, thử nghiệm phải được lặp lại, vì phương pháp này dựa trên việc thực hiện một số lượng lớn các lần lặp lại.

Hãy thực hiện tôi lặp lại thí nghiệm ξ, trong đó chúng ta thấy rằng n là số lần một sự kiện A nào đó xảy ra, khi đó xác suất sự kiện này xảy ra là:

P (A) = lim _{i → ∞} (n / i)

Trong đó n / i là tần suất tương đối của một sự kiện.

Việc xác định P (A) theo cách này thỏa mãn tiên đề Kolmogorov, nhưng có nhược điểm là phải thực hiện nhiều phép thử để xác suất phù hợp.

Phương pháp chủ quan

Một người hoặc một nhóm người có thể đồng ý gán xác suất cho một sự kiện, thông qua phán đoán của riêng họ. Phương pháp này có nhược điểm là những người khác nhau có thể gán các xác suất khác nhau cho cùng một sự kiện.

Bài tập đã giải quyết

Trong thí nghiệm tung đồng thời 3 đồng xu trung thực, hãy thu các xác suất của các sự kiện được mô tả:

a) 2 đầu và một đuôi.

b) 1 đầu và hai đuôi

c) 3 phép lai.

d) Có ít nhất 1 mặt.

Giải pháp cho

Các đầu được ký hiệu là C và các đuôi là X. Nhưng có một số cách để có được hai đầu và một đuôi. Ví dụ, hai đồng tiền đầu tiên có thể hạ cánh và đồng tiền thứ ba có thể hạ cánh. Hoặc đầu tiên có thể rơi đầu, đuôi thứ hai và đầu thứ ba. Và cuối cùng đầu tiên có thể là đuôi và các đầu còn lại.

Để trả lời các câu hỏi, cần phải biết tất cả các khả năng, được mô tả trong một công cụ gọi là sơ đồ cây hoặc cây xác suất:

Hình 4. Sơ đồ cây cho việc tung đồng thời ba đồng tiền trung thực. Nguồn: F. Zapata.

Xác suất mà bất kỳ đồng xu nào sẽ là đầu là ½, điều này cũng đúng với các mặt sấp, vì đồng xu là trung thực. Cột bên phải liệt kê tất cả các khả năng mà phép tung có, nghĩa là không gian mẫu.

Từ không gian mẫu, các tổ hợp đáp ứng với sự kiện được yêu cầu được chọn, vì thứ tự xuất hiện của các khuôn mặt là không quan trọng. Có ba sự kiện thuận lợi: CCX, CXC và XCC. Xác suất của mỗi biến cố xảy ra là:

P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8

Điều tương tự cũng xảy ra đối với các sự kiện CXC và XCC, mỗi sự kiện có 1/8 xác suất xảy ra. Do đó xác suất lấy được đúng 2 đầu là tổng xác suất của tất cả các biến cố thuận lợi:

P (2 mặt) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375

Giải pháp b

Việc tìm xác suất để xảy ra chính xác hai phép lai là một bài toán tương tự như bài toán trước, cũng có ba sự kiện thuận lợi được lấy từ không gian mẫu: CXX, XCX và XXC. Như vậy:

P (2 phép lai) = 3/8 = 0,375

Giải pháp c

Bằng trực giác, chúng ta biết rằng xác suất nhận được 3 đầu (hoặc 3 đầu) thấp hơn. Trong trường hợp này, sự kiện được tìm kiếm là XXX, ở cuối cột bên phải, có xác suất là:

P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.

Giải pháp d

Yêu cầu lấy ít nhất 1 mặt, nghĩa là 3 mặt, 2 mặt hoặc 1 mặt đều có thể xuất hiện. Sự kiện duy nhất không tương thích với sự kiện này là sự kiện trong đó có 3 chiếc đuôi xuất hiện, có xác suất là 0,125. Do đó xác suất cần tìm là:

P (ít nhất 1 con) = 1 - 0,125 = 0,875.

Người giới thiệu

Canavos, G. 1988. Xác suất và Thống kê: Các ứng dụng và phương pháp. Đồi McGraw.
Devore, J. 2012. Xác suất và Thống kê cho Kỹ thuật và Khoa học. Thứ 8. Phiên bản. Cengage.
Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Xác suất. Đồi McGraw.
Obregón, I. 1989. Lý thuyết xác suất. Biên tập Limusa.
Walpole, R. 2007. Xác suất và Thống kê cho Kỹ thuật và Khoa học. Lề.

TIÊN ĐỀ XÁC SUẤT: LOẠI, GIẢI THÍCH, VÍ DỤ, BÀI TẬP - DUDAS - 2026