CƠ SỞ CHÍNH TẮC: THUỘC TÍNH, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP - VẬT LÝ - 2025

Một cơ sở trực chuẩn được hình thành với các vectơ vuông góc với nhau và môđun của chúng cũng là 1 (vectơ đơn vị). Chúng ta hãy nhớ rằng một cơ sở B trong không gian vectơ V được định nghĩa là một tập các vectơ độc lập tuyến tính có khả năng tạo ra không gian nói trên.

Đổi lại, không gian vectơ là một thực thể toán học trừu tượng trong đó các phần tử của chúng là vectơ, thường được liên kết với các đại lượng vật lý như tốc độ, lực và độ dời hoặc cũng với ma trận, đa thức và hàm.

Hình 1. Cơ sở chính quy trong mặt phẳng. Nguồn: Wikimedia Commons. Quartl.

Vectơ có ba yếu tố đặc biệt: độ lớn hoặc môđun, hướng và cảm giác. Cơ sở trực chuẩn đặc biệt hữu ích để biểu diễn và hoạt động với chúng, vì bất kỳ vectơ nào thuộc không gian vectơ V nhất định có thể được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ tạo thành cơ sở trực chuẩn.

Bằng cách này, các phép toán giữa các vectơ, chẳng hạn như phép cộng, phép trừ và các loại sản phẩm khác nhau được xác định trong không gian nói trên, được thực thi một cách phân tích.

Trong số các cơ sở được sử dụng rộng rãi nhất trong vật lý là cơ sở được tạo thành bởi các vectơ đơn vị i , j và k đại diện cho ba hướng đặc biệt của không gian ba chiều: chiều cao, chiều rộng và chiều sâu. Các vectơ này còn được gọi là vectơ chính tắc đơn vị.

Thay vào đó, nếu các vectơ được làm việc trong một mặt phẳng, thì hai trong ba thành phần này là đủ, trong khi đối với vectơ một chiều chỉ cần một thành phần.

Thuộc tính của bazơ

1- Cơ sở B là tập vectơ nhỏ nhất có thể tạo ra không gian vectơ V.

2- Các phần tử của B độc lập tuyến tính.

3- Bất kỳ cơ sở B nào của không gian vectơ V, cho phép biểu diễn tất cả các vectơ của V dưới dạng tổ hợp tuyến tính của nó và dạng này là duy nhất cho mỗi vectơ. Vì lý do này, B còn được gọi là hệ thống phát điện.

4- Không gian vectơ V giống nhau có thể có các cơ sở khác nhau.

Ví dụ về cơ sở

Dưới đây là một số ví dụ về cơ sở chính quy và cơ sở nói chung:

Cơ sở kinh điển trong ℜ

Còn được gọi là cơ sở tự nhiên hoặc cơ sở chuẩn của ℜ ⁿ , trong đó ℜ ⁿ là không gian n chiều, ví dụ không gian ba chiều là ℜ ³ . Giá trị của n được gọi là số chiều của không gian vectơ và được ký hiệu là dim (V).

Tất cả các vectơ thuộc ℜ ⁿ được biểu diễn bằng n-quảng cáo có thứ tự. Đối với không gian ℜ ⁿ , cơ sở chính tắc là:

e ₁ = <1,0 ,. . . , 0>; e ₂ = <0,1 ,. . . , 0>; …… .. e _n = <0,0 ,. . . , 1>

Trong ví dụ này, chúng tôi đã sử dụng ký hiệu có dấu ngoặc hoặc "ngoặc" và in đậm cho các vectơ đơn vị e ₁ , e ₂ , e ₃ …

Cơ sở kinh điển trong ℜ

Các vectơ quen thuộc i , j và k thừa nhận cách biểu diễn này và cả ba vectơ đều đủ để biểu diễn các vectơ trong ℜ ³ :

i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>

Có nghĩa là cơ sở có thể được thể hiện như thế này:

B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

Để xác minh rằng chúng độc lập tuyến tính, định thức tạo thành với chúng là khác 0 và cũng bằng 1:

Cũng có thể viết bất kỳ vectơ nào thuộc ℜ ³ dưới dạng tổ hợp tuyến tính của chúng. Ví dụ, một lực có các thành phần hình chữ nhật là F _x = 4 N, F _y = -7 N và F _z = 0 N sẽ được viết dưới dạng vectơ như sau:

F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.

Do đó i , j và k tạo thành một hệ máy phát ℜ ³ .

Các cơ sở chính thống khác trong ℜ

Cơ sở chuẩn được mô tả trong phần trước không phải là cơ sở trực chuẩn duy nhất trong ℜ ³ . Ở đây chúng tôi có ví dụ về các cơ sở:

B ₁ = {; <- sin θ, cos θ, 0>; <0,0,1>}

B ₂ = {<3/5, 4 / 5.0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>}

Có thể chỉ ra rằng các cơ sở này là chính quy, vì vậy chúng ta nhớ các điều kiện phải được đáp ứng:

-Các vectơ tạo thành cơ sở phải trực giao với nhau.

-Mỗi người trong số họ phải là đơn nhất.

Chúng ta có thể xác minh điều này bằng cách biết rằng định thức do chúng tạo thành phải khác 0 và bằng 1.

Cơ sở B ₁ chính xác là cơ sở tọa độ trụ ρ, φ và z, một cách khác để biểu diễn vectơ trong không gian.

Hình 2. Tọa độ hình trụ. Nguồn: Wikimedia Commons. Bậc thầy toán học.

Bài tập đã giải

- Bài tập 1

Chứng tỏ rằng cơ sở B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>} là chính tắc.

Giải pháp

Để chứng tỏ rằng các vectơ vuông góc với nhau, chúng ta sẽ sử dụng tích vô hướng, còn được gọi là tích trong hoặc tích chấm của hai vectơ.

Cho hai vectơ u và v bất kỳ , tích số chấm của chúng được xác định bởi:

u • v = uv cosθ

Để phân biệt các vectơ của các mô-đun của chúng, chúng ta sẽ sử dụng chữ in đậm cho chữ cái đầu tiên và chữ thường cho chữ cái thứ hai. θ là góc giữa u và v, do đó nếu chúng vuông góc, nghĩa là θ = 90º và tích vô hướng bằng không.

Ngoài ra, nếu các vectơ được cho theo thành phần của chúng: u =x, u _y , u _z > y v =x, v _y , v _z >, tích vô hướng của cả hai, là giao hoán, được tính theo cách này:

u • v = u _x .v _x + u _y .v _y + u _z .v _z

Theo cách này, tích vô hướng giữa mỗi cặp vectơ lần lượt là:

i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0.0 = (-12/25) + (25/12) = 0

ii) <3/5, 4 / 5.0> • <0, 0,1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5.0> • <0, 0,1> = 0

Đối với điều kiện thứ hai, mô-đun của mỗi vectơ được tính toán, thu được bằng cách:

│u │ = √ (u _x ² + u _y ² + u _z ² )

Do đó, mô-đun của mỗi vectơ là:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0,1> │ = √ = 1

Do đó cả ba đều là vectơ đơn vị. Cuối cùng, định thức mà chúng tạo thành khác 0 và bằng 1:

- Bài tập 2

Viết tọa độ của vectơ w = <2, 3,1> theo cơ sở trên.

Giải pháp

Để làm điều này, định lý sau được sử dụng:

w = < w • v ₁ > v ₁ + < w • v ₂ > v ₂ + < w • v ₃ > v ₃ +… < w • v _n > v _n

Điều này có nghĩa là chúng ta có thể viết vectơ trong cơ sở B, sử dụng các hệ số < w • v ₁ >, < w • v ₂ >,… < w • v _n >, mà chúng ta phải tính các tích vô hướng được chỉ ra:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1,0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1,0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

Với các tích vô hướng thu được, một ma trận được xây dựng, được gọi là ma trận tọa độ w.

Do đó tọa độ của vectơ w trong cơ sở B được biểu thị bằng:

_B =

Ma trận tọa độ không phải là vectơ, vì một vectơ không giống với tọa độ của nó. Đây chỉ là một tập hợp các số dùng để biểu thị vectơ trong một cơ sở nhất định, không phải là vectơ như vậy. Chúng cũng phụ thuộc vào cơ sở được chọn.

Cuối cùng, theo định lý, vectơ w sẽ được biểu diễn như sau :

w = (18/5) v ₁ + (1/5) v ₂ + v ₃

Với: v ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; v ₂ = <- 4/5, 3 / 5.0>; v ₃ = <0,0,1>}, tức là các vectơ của cơ sở B.

Người giới thiệu

1. Larson, R. Cơ sở của Đại số tuyến tính. Ngày 6. Phiên bản. Học tập Cengage.
2. Larson, R. 2006. Giải tích. thứ 7. Phiên bản. Tập 2. McGraw Hill.
3. Salas, J. Đại số tuyến tính. Bài 10. Cơ sở chính quy. Đã khôi phục từ: ocw.uc3m.es.
4. Đại học Sevilla. Tọa độ hình trụ. Cơ sở vectơ. Được khôi phục từ: laplace.us.es.
5. Wikipedia. Cơ sở chính thống. Được khôi phục từ: es.wikipedia.org.