GIỚI HẠN FERMAT: NÓ BAO GỒM NHỮNG GÌ VÀ CÁC BÀI TẬP ĐÃ GIẢI - TOÁN HỌC - 2025

Các giới hạn Fermat là một phương pháp số dùng để có được giá trị của hệ số góc của đường thẳng, đó là tiếp xúc với một hàm tại một điểm nhất định trong phạm vi của nó. Nó cũng được sử dụng để lấy các điểm quan trọng của một chức năng. Biểu thức của nó được định nghĩa là:

Rõ ràng là Fermat không biết các nguyên tắc cơ bản của đạo hàm, tuy nhiên, chính những nghiên cứu của ông đã thúc đẩy một nhóm các nhà toán học tìm hiểu về các đường tiếp tuyến và ứng dụng của chúng trong giải tích.

Giới hạn Fermat là gì?

Nó bao gồm một cách tiếp cận của 2 điểm, trong các điều kiện trước đó tạo thành một đường thẳng tới hàm với giao điểm trong các cặp giá trị.

Bằng cách tiếp cận biến đến giá trị "a", cặp điểm buộc phải gặp nhau. Bằng cách này, đường thẳng trước đó trở thành tiếp tuyến với điểm (a; f (a)).

Giá trị của thương số (x - a), khi được đánh giá tại điểm “a”, mang lại giá trị không xác định của các giới hạn thuộc loại K trong khoảng không (K / 0). Trường hợp thông qua các kỹ thuật bao thanh toán khác nhau, sự không xác định này có thể bị phá vỡ.

Các kỹ thuật vận hành được sử dụng phổ biến nhất là:

-Sự sai lệch của các bình phương (a ² - b ² ) = (a + b) (a - b); Sự tồn tại của phần tử (a - b) ngụ ý trong hầu hết các trường hợp, phần tử đơn giản hóa biểu thức (x - a) trong thương số của giới hạn Fermat.

- Hoàn thành bình phương (ax ² + bx); Sau khi hoàn thành bình phương, ta thu được một nhị thức Newton, trong đó một trong 2 nhân tử của nó được đơn giản hóa với biểu thức (x - a), phá vỡ tính không xác định.

- Liên hợp (a + b) / (a ​​+ b); Nhân và chia biểu thức với phép liên hợp của một số thừa số có thể giúp ích rất nhiều để phá vỡ tính không xác định.

- Yếu tố chung; Trong nhiều trường hợp, kết quả của phép toán tử số của giới hạn Fermat f (x) - f (a) ẩn thừa số (x - a) cần thiết. Đối với điều này, nó được quan sát cẩn thận xem yếu tố nào được lặp lại trong mỗi yếu tố của biểu thức.

Áp dụng giới hạn Fermat cho các mức tối đa và tối thiểu

Mặc dù giới hạn Fermat không phân biệt giữa cực đại và cực tiểu, vì nó chỉ có thể xác định các điểm tới hạn theo định nghĩa của nó, nó thường được sử dụng trong tính toán các đỉnh hoặc tầng của các hàm trong mặt phẳng.

Kiến thức cơ bản về lý thuyết đồ thị của các hàm kết hợp với định lý này có thể đủ để thiết lập các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất giữa các hàm. Trên thực tế, các điểm uốn có thể được xác định bằng định lý giá trị trung bình ngoài định lý Fermat.

Dụ ngôn khối

Nghịch lý quan trọng nhất đối với Fermat đến từ việc nghiên cứu parabol lập phương. Bởi vì sự chú ý của anh ấy hướng đến các đường tiếp tuyến của một hàm cho một điểm nhất định, anh ấy đã gặp phải vấn đề xác định đường tiếp tuyến nói trên tại điểm uốn trong hàm.

Dường như không thể xác định được đường tiếp tuyến với một điểm. Do đó, bắt đầu cuộc điều tra sẽ làm phát sinh phép tính vi phân. Sau này được xác định bởi các số mũ quan trọng của toán học.

Tối đa và tối thiểu

Việc nghiên cứu các cực đại và cực tiểu của một hàm là một thách thức đối với toán học cổ điển, nơi cần có một phương pháp rõ ràng và thực tế để xác định chúng.

Fermat đã tạo ra một phương pháp dựa trên hoạt động của các giá trị vi phân nhỏ, mà sau quá trình bao thanh toán, sẽ bị loại bỏ, nhường chỗ cho giá trị lớn nhất và nhỏ nhất được tìm kiếm.

Biến này sẽ phải được đánh giá trong biểu thức ban đầu để xác định tọa độ của điểm đã nói, cùng với tiêu chí phân tích sẽ được xác định là cực đại hoặc cực tiểu của biểu thức.

phương pháp

Trong phương pháp của mình, Fermat sử dụng biểu tượng nghĩa đen của Vieta, bao gồm việc sử dụng độc quyền các chữ cái viết hoa: nguyên âm, cho ẩn số và phụ âm cho các số lượng đã biết.

Đối với trường hợp các giá trị gốc, Fermat đã thực hiện một quy trình cụ thể, quy trình này sau này sẽ được sử dụng trong phân tích nhân tử của các giới hạn của vô hạn không xác định giữa vô hạn.

Quá trình này bao gồm việc chia mỗi biểu thức cho giá trị của vi phân được sử dụng. Trong trường hợp của Fermat, ông đã sử dụng chữ E, trong đó sau khi chia cho lũy thừa cao nhất của E, giá trị tìm kiếm của điểm tới hạn trở nên rõ ràng.

Lịch sử

Trên thực tế, giới hạn Fermat là một trong những đóng góp ít nổi tiếng nhất trong danh sách dài của các nhà toán học. Các nghiên cứu của ông đã đi từ số nguyên tố về cơ bản tạo cơ sở cho phép tính.

Đổi lại, Fermat được biết đến với sự lập dị liên quan đến các giả thuyết của mình. Ông thường để lại một loại thách thức cho các nhà toán học khác vào thời đó, khi ông đã có lời giải hoặc bằng chứng.

Ông đã có rất nhiều tranh chấp và liên minh với các nhà toán học khác nhau thời đó, những người yêu thích hoặc ghét làm việc với ông.

Định lý cuối cùng của ông là nguyên nhân chính cho sự nổi tiếng trên toàn thế giới của ông, nơi ông tuyên bố rằng việc tổng quát hóa định lý Pitago cho bất kỳ bậc nào "n" là không thể. Anh ta tuyên bố có bằng chứng hợp lệ về nó, nhưng đã chết trước khi công khai.

Cuộc biểu tình này đã phải đợi khoảng 350 năm. Năm 1995, các nhà toán học Andrew Wiles và Richard Taylor, đã chấm dứt sự lo lắng do Fermat để lại, chứng minh rằng ông đã đúng thông qua một bằng chứng hợp lệ cho định lý cuối cùng của mình.

Bài tập

Bài tập 1

Xác định hệ số góc của đường tiếp tuyến với đường cong f (x) = x ² tại điểm (4, 16)

Thay vào biểu thức của giới hạn Fermat ta có:

Các yếu tố (x - 4) được đơn giản hóa

Khi đánh giá bạn có

M = 4 + 4 = 8

Bài tập 2

Xác định điểm tới hạn của biểu thức f (x) = x ² + 4x sử dụng giới hạn Fermat

Một nhóm chiến lược của các yếu tố được thực hiện, tìm cách nhóm các cặp XX ₀

Các ô vuông nhỏ nhất được phát triển

Quan sát nhân tử chung XX _{0 và chiết}

Biểu thức bây giờ có thể được đơn giản hóa và tính không xác định bị phá vỡ

Tại các điểm cực tiểu biết rằng hệ số góc của đường tiếp tuyến bằng không. Bằng cách này, chúng ta có thể cân bằng biểu thức tìm được thành 0 và giải cho giá trị X ₀

2 X ₀ + 4 = 0

X ₀ = -4/2 = -2

Để có được tọa độ bị thiếu, chỉ cần đánh giá điểm trong hàm ban đầu

F (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4 - 8 = - 4

Điểm tới hạn là P (-2, -4).

Người giới thiệu

1. Phân tích thực tế. Phương pháp tiếp cận lịch sử Sauhl Stahl, John Wiley & Sons, ngày 5 tháng 8. Năm 1999.
2. Sự nghiệp Toán học của Pierre de Fermat, 1601-1665: Tái bản lần thứ hai. Michael Sean Mahoney. Nhà xuất bản Đại học Princeton, ngày 5 tháng 6. 2018
3. Từ Fermat đến Minkowski: Bài giảng về Lý thuyết các con số và sự phát triển lịch sử của nó. W. Scharlau, H. Opolka, Springer Science & Business Media, 1985
4. Định lý cuối cùng của Fermat: Giới thiệu di truyền về lý thuyết số đại số. Harold M. Edwards. Springer Science & Business Media, 14 tháng 1 2000
5. Fermat Days 85: Toán học để tối ưu hóa. J.-B. Hiriart-Urruty Elsevier, ngày 1 tháng 1. 1986