- Lịch sử
- Các khái niệm cơ bản
- Quan niệm chung
- Định đề hoặc tiên đề
- Ví dụ
- Ví dụ đầu tiên
- Đề xuất 1.4. (LA L)
- Trình diễn
- Ví dụ thứ hai
- Đề xuất 1.5. (
- Ví dụ thứ ba
- Đề xuất 1.31
- Xây dựng
- Khẳng định
- Trình diễn
- Người giới thiệu
Các hình học Euclide tương ứng với việc nghiên cứu các tính chất của không gian hình học nơi các tiên đề Euclid được hài lòng. Mặc dù thuật ngữ này đôi khi được sử dụng để chỉ các hình học có kích thước cao hơn với các tính chất tương tự, nó thường đồng nghĩa với hình học cổ điển hoặc hình học phẳng.
Vào thế kỉ III a. C. Euclides và các đồ đệ của ông đã viết Các yếu tố, một công trình bao gồm kiến thức toán học của thời gian được ưu đãi với một cấu trúc suy luận logic. Kể từ đó, hình học trở thành một khoa học, ban đầu là để giải quyết các vấn đề cổ điển và phát triển thành một khoa học hình thành giúp lý luận.
Lịch sử
Để nói về lịch sử hình học Euclid, điều cần thiết là bắt đầu với Euclid của Alexandria và các nguyên tố.
Khi Ai Cập nằm trong tay Ptolemy I, sau cái chết của Alexander Đại đế, ông bắt đầu dự án của mình tại một trường học ở Alexandria.
Trong số các nhà hiền triết đã dạy ở trường có Euclid. Người ta suy đoán rằng ngày sinh của ông vào khoảng năm 325 trước Công nguyên. C. và cái chết của anh ta năm 265 a. C. Chúng ta có thể biết chắc chắn rằng anh ấy đã đến trường của Plato.
Trong hơn ba mươi năm Euclid giảng dạy ở Alexandria, xây dựng các yếu tố nổi tiếng của nó: ông bắt đầu viết một bản mô tả đầy đủ về toán học của thời đại mình. Những lời dạy của Euclid đã sản sinh ra những đệ tử xuất sắc, chẳng hạn như Archimedes và Apollonius của Perga.
Euclid phụ trách cấu trúc những khám phá khác nhau của người Hy Lạp cổ đại về Nguyên tố, nhưng không giống như những người tiền nhiệm của mình, ông không giới hạn mình khi khẳng định rằng một định lý là đúng; Euclid đưa ra một cuộc biểu tình.
Các yếu tố là một bản tóm tắt của mười ba cuốn sách. Sau Kinh thánh, đây là cuốn sách được xuất bản nhiều nhất, với hơn một nghìn ấn bản.
Các phần tử của Euclid
Các yếu tố là kiệt tác của Euclid trong lĩnh vực hình học, và cung cấp một phương pháp xử lý dứt điểm cho hình học hai chiều (mặt phẳng) và ba chiều (không gian), đây là nguồn gốc của cái mà ngày nay chúng ta gọi là hình học Euclid. .
Các khái niệm cơ bản
Các yếu tố được tạo thành từ các định nghĩa, khái niệm chung và định đề (hoặc tiên đề) sau đó là các định lý, cấu trúc và chứng minh.
- Một điểm là nó không có bộ phận.
- Đoạn thẳng là chiều dài không có chiều rộng.
- Đường thẳng là đường thẳng nằm ngang nhau so với các điểm nằm trong đó.
- Nếu cắt hai đường thẳng sao cho các góc kề bằng nhau thì góc đó được gọi là đường thẳng và đường thẳng được gọi là vuông góc.
- Các đường thẳng song song là những đường thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng, không bao giờ cắt nhau.
Sau những định nghĩa này và những định nghĩa khác, Euclid trình bày cho chúng ta một danh sách gồm năm định đề và năm quan niệm.
Quan niệm chung
- Hai vật bằng một phần ba thì bằng nhau.
- Nếu thêm những thứ giống nhau vào những thứ giống nhau thì kết quả như nhau.
- Nếu trừ các thứ bằng nhau thì kết quả bằng nhau.
- Những thứ phù hợp với nhau thì bình đẳng với nhau.
- Tổng lớn hơn một phần.
Định đề hoặc tiên đề
- Một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm khác nhau.
- Đoạn thẳng có thể kéo dài vô hạn.
- Bạn có thể vẽ một hình tròn với bất kỳ tâm và bán kính bất kỳ.
- Mọi góc vuông đều bằng nhau.
- Nếu một đường thẳng chéo hai đường thẳng sao cho góc trong của cùng một cạnh nhỏ hơn hai góc vuông thì hai đường thẳng đó chéo nhau.
Định đề cuối cùng này được gọi là định đề song song và đã được định dạng lại theo cách sau: "Đối với một điểm bên ngoài đường thẳng, một điểm song song với đường thẳng đã cho có thể được vẽ."
Ví dụ
Tiếp theo, một số định lý về các phần tử sẽ dùng để chỉ ra các thuộc tính của không gian hình học mà năm định đề của Euclid được đáp ứng; Ngoài ra, chúng sẽ minh họa cho phép suy luận logic được sử dụng bởi nhà toán học này.
Ví dụ đầu tiên
Đề xuất 1.4. (LA L)
Nếu hai tam giác có hai cạnh và góc giữa chúng bằng nhau thì cạnh còn lại và góc khác bằng nhau.
Trình diễn
Cho ABC và A'B'C 'là hai tam giác có AB = A'B', AC = A'C 'và các góc BAC và B'A'C' bằng nhau. Hãy di chuyển tam giác A'B'C 'sao cho A'B' trùng với AB và góc B'A'C 'trùng với góc BAC.
Vậy đường thẳng A'C 'trùng với đường thẳng AC, sao cho C' trùng với C. Khi đó, theo định đề 1, đường thẳng BC phải trùng với đường thẳng B'C '. Do đó hai tam giác trùng nhau và do đó, các góc và các cạnh của chúng bằng nhau.
Ví dụ thứ hai
Đề xuất 1.5. (
Giả sử tam giác ABC có các cạnh AB và AC bằng nhau.
Vậy các tam giác ABD và ACD có hai cạnh bên bằng nhau và các góc giữa chúng bằng nhau. Do đó, theo Mệnh đề 1.4, các góc ABD và ACD bằng nhau.
Ví dụ thứ ba
Đề xuất 1.31
Bạn có thể dựng một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước bởi một điểm cho trước.
Xây dựng
Cho một đường thẳng L và một điểm P, một đường thẳng M được vẽ qua P và cắt L. Sau đó, một đường thẳng N được vẽ qua P cắt L. Bây giờ, một đường thẳng N được vẽ qua P cắt M, tạo với đáy một góc bằng L tạo với M.
Khẳng định
N song song với L.
Trình diễn
Giả sử L và N không song song và cắt nhau tại điểm A. Gọi B là một điểm nằm trong L nằm ngoài A. Ta xét đường thẳng O đi qua B và P. Khi đó, O cắt M tại các góc có tổng nhỏ hơn hai thẳng hàng.
Khi đó bằng 1,5 đường thẳng O phải cắt đường thẳng L ở phía bên kia của M nên L và O cắt nhau tại hai điểm mâu thuẫn với Định đề 1. Do đó L và N phải song song.
Người giới thiệu
- Euclid. Các yếu tố của Hình học. Đại học tự trị quốc gia Mexico
- Euclid. Sáu cuốn sách đầu tiên và thứ mười một và mười hai trong số các nguyên tố của Euclid
- Eugenio Filloy Yague. Giáo học và lịch sử hình học Euclide, Iberoamericano biên tập Grupo
- K. Ribnikov. Lịch sử Toán học. Mir biên tập
- Viloria, N., & Leal, J. (2005) Hình học giải tích mặt phẳng. Biên tập Venezolana CA