HOMOTHECY: THUỘC TÍNH, LOẠI VÀ VÍ DỤ - TOÁN HỌC - 2026

Sự giãn nở là một sự thay đổi hình học trong mặt phẳng mà từ một điểm cố định được gọi là tâm (O), các khoảng cách được nhân với một hệ số chung. Theo cách này, mỗi điểm P tương ứng với một điểm P 'khác của phép biến đổi, và chúng thẳng hàng với điểm O.

Vì vậy, homothecy là sự tương ứng giữa hai hình hình học, trong đó các điểm được biến đổi được gọi là đồng hình, và chúng được căn chỉnh với một điểm cố định và có các đoạn song song với nhau.

Homothecy

Homothecy là một phép biến hình không có hình đồng dạng, vì từ một hình sẽ thu được một hoặc nhiều hình có kích thước lớn hơn hoặc nhỏ hơn hình ban đầu; nghĩa là, homothecy biến một đa giác thành một đa giác tương tự.

Để tương đồng được hoàn thành, điểm này đến điểm và dòng này phải tương ứng, sao cho các cặp điểm tương đồng thẳng hàng với một điểm cố định thứ ba, đó là trung tâm của điểm tương đồng.

Tương tự như vậy, các cặp đường nối chúng phải song song. Mối quan hệ giữa các phân đoạn như vậy là một hằng số được gọi là tỷ lệ homothecy (k); theo cách mà homothecy có thể được định nghĩa là:

Để thực hiện kiểu biến đổi này, chúng ta bắt đầu bằng cách chọn một điểm tùy ý, điểm này sẽ là trung tâm của homothecy.

Từ điểm này, các đoạn thẳng được vẽ cho mỗi đỉnh của hình sẽ được biến đổi. Tỷ lệ tái tạo hình mới được cho bằng tỷ lệ homothecy (k).

Tính chất

Một trong những tính chất chính của phép đồng hình là, theo lý do tương đồng (k), tất cả các số liệu đồng hình đều giống nhau. Trong số các tài sản nổi bật khác như sau:

- Tâm của homothecia (O) là điểm kép duy nhất và điểm này được chuyển thành chính nó; nghĩa là, nó không thay đổi.

- Các đường thẳng đi qua tâm biến đổi thành chính nó (chúng thành đôi), nhưng các điểm tạo nên nó không phải là đôi.

- Các đường thẳng không đi qua tâm biến đổi thành đường thẳng song song; theo cách này, các góc homothecy vẫn giữ nguyên.

- Ảnh của một đoạn bởi hình tròn tâm O và tỉ số k, là một đoạn song song với nó và có độ dài gấp k lần nó. Ví dụ, như được thấy trong hình ảnh sau đây, một đoạn AB bằng đồng phân sẽ dẫn đến một đoạn A'B 'khác, sao cho AB sẽ song song với A'B' và k sẽ là:

- Các góc đồng dạng đồng dạng; nghĩa là chúng có cùng một số đo. Do đó ảnh của một góc là góc có cùng biên độ.

Mặt khác, chúng ta có rằng homothecy thay đổi như một hàm của giá trị của tỷ lệ (k) của nó, và các trường hợp sau có thể xảy ra:

- Nếu hằng số k = 1 thì mọi điểm đều cố định vì chúng tự biến hình. Như vậy, hình đồng dạng trùng với hình ban đầu và phép biến hình sẽ được gọi là hàm đồng dạng.

- Nếu k ≠ 1 thì điểm cố định duy nhất sẽ là tâm của phép đồng hình (O).

- Nếu k = -1 thì phép đồng hình trở thành phép đối xứng tâm (C); tức là xảy ra chuyển động quay quanh C, với góc 180 ^hoặc .

- Nếu k> 1, kích thước của hình đã biến đổi sẽ lớn hơn kích thước của hình ban đầu.

- Nếu 0 <k <1, kích thước của hình biến đổi sẽ nhỏ hơn hình ban đầu.

- Nếu -1 <k <0, kích thước của hình đã biến đổi sẽ nhỏ hơn và nó sẽ được xoay so với hình ban đầu.

- Nếu k <-1, kích thước của hình biến đổi sẽ lớn hơn và nó sẽ được xoay so với hình ban đầu.

Các loại

Homothecy cũng có thể được phân loại thành hai loại, tùy thuộc vào giá trị của tỷ lệ (k) của nó:

Homothecy trực tiếp

Nó xảy ra nếu hằng số k> 0; nghĩa là, các điểm tương đồng ở cùng một phía đối với trung tâm:

Hệ số tương ứng hoặc tỷ lệ tương tự giữa các số liệu đồng dạng trực tiếp sẽ luôn dương.

Homothecy đảo ngược

Nó xảy ra nếu hằng số k <0; nghĩa là, các điểm ban đầu và điểm tương đồng của chúng nằm ở hai đầu đối diện với tâm của điểm tương đồng nhưng thẳng hàng với nó. Tâm sẽ nằm giữa hai hình:

Hệ số tương ứng hoặc tỷ lệ tương tự giữa các hình đồng dạng nghịch đảo sẽ luôn âm.

Thành phần

Khi thực hiện liên tiếp một số chuyển động cho đến khi thu được một hình bằng ban đầu thì xuất hiện tổng hợp các chuyển động. Thành phần của một số chuyển động cũng là một chuyển động.

Thành phần giữa hai đồng thể dẫn đến một tương đồng mới; nghĩa là, có một tích của các phép đồng dạng trong đó tâm sẽ thẳng hàng với tâm của hai phép biến hình ban đầu, và tỉ số (k) là tích của hai tỉ số.

Do đó, trong thành phần của hai đồng đẳng H ₁ (O ₁ , k ₁ ) và H ₂ (O ₂ , k ₂ ), phép nhân các tỷ số của chúng: k ₁ xk ₂ = 1 sẽ dẫn đến một đồng đẳng của tỷ số k ₃ = k ₁ xk ₂ . Trung tâm của homothecy mới này (O ₃ ) sẽ nằm trên đường thẳng O ₁ O ₂ .

Homothecia tương ứng với một sự thay đổi bằng phẳng và không thể đảo ngược; Nếu áp dụng hai phép đồng dạng có cùng tâm và tỉ số nhưng khác dấu thì sẽ thu được hình ban đầu.

Ví dụ

Ví dụ đầu tiên

Áp dụng một nội tiếp cho đa giác đã cho có tâm (O), nằm cách điểm A 5 cm và có tỉ số là k = 0,7.

Giải pháp

Bất kỳ điểm nào được chọn làm tâm của hình phẳng và từ điểm này các tia được vẽ qua các đỉnh của hình:

Khoảng cách từ tâm (O) đến điểm A là OA = 5; Với điều này, khoảng cách của một trong các điểm đồng cảm (OA ') có thể được xác định, cũng biết rằng k = 0,7:

OA '= kx OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Quá trình này có thể được thực hiện cho mỗi đỉnh, hoặc đa giác đồng hình cũng có thể được vẽ khi nhớ rằng hai đa giác có các cạnh song song:

Cuối cùng, sự chuyển đổi trông như thế này:

Ví dụ thứ hai

Áp dụng một nội tiếp cho đa giác đã cho có tâm (O), nằm cách điểm C 8,5 cm và có tỉ số y k = -2.

Giải pháp

Khoảng cách từ tâm (O) đến điểm C là OC = 8,5; Với dữ liệu này, có thể xác định khoảng cách của một trong các điểm đồng cảm (OC '), biết rằng k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Sau khi vẽ các đoạn của các đỉnh của đa giác được biến đổi, chúng ta có các điểm ban đầu và các điểm đồng dạng của chúng nằm ở hai đầu đối diện với tâm:

Người giới thiệu

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Vẽ kỹ thuật: vở ghi hoạt động.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, JL (2002). Mối quan hệ, Homology và Homothecy.
3. Baer, ​​R. (2012). Đại số tuyến tính và Hình học xạ ảnh. Tổng công ty chuyển phát nhanh.
4. Hebert, Y. (1980). Toán học tổng hợp, xác suất và thống kê.
5. Meserve, BE (2014). Các khái niệm cơ bản của hình học. Tổng công ty chuyển phát nhanh.
6. Nachbin, L. (1980). Giới thiệu về đại số. Hoàn nguyên.