ĐƯỜNG VUÔNG GÓC: ĐẶC ĐIỂM, VÍ DỤ, BÀI TẬP - TOÁN HỌC - 2026

Đường vuông góc là đường tạo thành một góc 90º so với một đường thẳng, đường cong hoặc bề mặt khác. Lưu ý rằng khi hai đường thẳng vuông góc và nằm trên cùng một mặt phẳng, khi chúng cắt nhau, chúng tạo thành bốn góc giống nhau, mỗi góc 90º.

Nếu một trong các góc không phải là 90º, các đường được cho là xiên. Các đường vuông góc thường gặp trong thiết kế, kiến ​​trúc và xây dựng, ví dụ mạng lưới đường ống trong hình sau.

Hình 1. Mạng lưới đường ống vuông góc và vô số đường thẳng vuông góc. Có thể đếm được bao nhiêu góc 90º trong hình này? Nguồn: Piqsel.

Định hướng của các đường vuông góc có thể rất đa dạng, chẳng hạn như các định hướng được hiển thị bên dưới:

Hình 2. Các đường vuông góc trên mặt phẳng. Nguồn: F. Zapata.

Bất kể vị trí nào, các đường vuông góc với nhau được nhận biết bằng cách xác định góc giữa chúng là 90 °, với sự trợ giúp của thước đo góc.

Lưu ý rằng không giống như các đường thẳng song song trong mặt phẳng, không bao giờ cắt nhau, các đường thẳng vuông góc luôn luôn làm như vậy tại một điểm P, được gọi là chân của một trong các đường thẳng kia. Do đó hai đường thẳng vuông góc cũng là secant.

Bất kỳ đường thẳng nào cũng có vô số điểm vuông góc với nó, vì chỉ cần di chuyển đoạn AB sang trái hoặc phải trên đoạn CD, chúng ta sẽ có các đường vuông góc mới với chân khác.

Tuy nhiên, đường vuông góc đi qua trung điểm của một đoạn được gọi là phân giác của đoạn đó.

Ví dụ về đường thẳng vuông góc

Đường vuông góc thường gặp trong cảnh quan đô thị. Trong hình ảnh sau (hình 3), chỉ có một vài trong số rất nhiều đường vuông góc có thể được nhìn thấy trong mặt tiền đơn giản của tòa nhà này và các yếu tố của nó như cửa, ống dẫn, bậc tam cấp và hơn thế nữa đã được đánh dấu:

Hình 3. Có một số lượng lớn các đường vuông góc trên mặt tiền của một tòa nhà thông thường như thế này. Nguồn: Richard Kang qua Flickr.

Điều tốt là ba đường thẳng vuông góc với nhau giúp chúng ta xác lập vị trí của các điểm và vật thể trong không gian. Chúng là các trục tọa độ được xác định là trục x, trục y và trục z, có thể nhìn thấy rõ ràng trong góc của một căn phòng hình chữ nhật như bên dưới:

Hình 4. Hệ trục Descartes bao gồm ba đường thẳng vuông góc với nhau, mỗi đường có hướng ưu tiên trong không gian. Tín dụng hình ảnh bên trái: treybunn 2 qua Flickr. Hình ảnh bên phải; Needpix.

Trong bức tranh toàn cảnh của thành phố, ở bên phải, sự vuông góc giữa tòa nhà chọc trời và mặt đất cũng được chú ý. Đầu tiên chúng ta sẽ nói là dọc theo trục z, trong khi mặt đất là một mặt phẳng, trong trường hợp này là mặt phẳng xy.

Nếu mặt đất tạo thành mặt phẳng xy, thì tòa nhà chọc trời cũng vuông góc với bất kỳ đại lộ hoặc đường phố nào, điều này đảm bảo tính ổn định của nó, vì cấu trúc nghiêng không ổn định.

Và trên các đường phố, bất cứ nơi nào có các góc hình chữ nhật, có các đường vuông góc. Nhiều đại lộ và đường phố có bố cục vuông góc, miễn là địa hình và đặc điểm địa lý cho phép.

Để biểu thị tính vuông góc viết tắt giữa các dòng, đoạn hoặc vectơ, ký hiệu ⊥ được sử dụng. Ví dụ, nếu dòng L ₁ vuông góc với dòng L ₂ , chúng ta viết:

L ₁ ⊥ L ₂

Thêm ví dụ về đường vuông góc

- Trong thiết kế, các đường vuông góc rất xuất hiện, vì nhiều đối tượng thông thường dựa trên hình vuông và hình chữ nhật. Các tứ giác này có đặc điểm là có các góc trong bằng 90º, vì các cạnh của chúng song song với nhau bởi hai:

Hình 5. Hình vuông và hình chữ nhật là một phần của nhiều thiết kế, chẳng hạn như hộp các tông đơn giản này để lưu trữ hàng hóa. Nguồn: F. Zapata.

- Các sân tập các môn thể thao khác nhau được phân giới bằng nhiều hình vuông và hình chữ nhật. Những thứ này lần lượt chứa các đường vuông góc.

- Hai trong số các đoạn thẳng tạo thành một tam giác vuông thì vuông góc với nhau. Chúng được gọi là chân, trong khi dòng còn lại được gọi là cạnh huyền.

- Đường sức của vectơ điện trường vuông góc với bề mặt của một vật dẫn ở trạng thái cân bằng tĩnh điện.

- Đối với một vật dẫn tích điện, các đường đẳng thế và bề mặt luôn vuông góc với đường sức của điện trường.

- Trong hệ thống đường ống hoặc ống dẫn được sử dụng để vận chuyển các loại chất lỏng khác nhau, chẳng hạn như chất khí xuất hiện trên hình 1, người ta thường có các cút vuông góc. Do đó chúng tạo thành các đường vuông góc, chẳng hạn như trường hợp của phòng lò hơi:

Hình 6. Các đường ống trong phòng lò hơi. Nguồn: Wikimedia Commons. Roger McLassus / CC BY-SA (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)

Bài tập

- Bài tập 1

Vẽ hai đường thẳng vuông góc bằng thước kẻ và compa.

Giải pháp

Nó rất đơn giản để làm, theo các bước sau:

-Vẽ đầu tiên, gọi là AB (đen).

- Trên (hoặc dưới đây nếu thích) AB đánh dấu điểm P, qua đó trung trực sẽ đi qua. Nếu P nằm ngay trên (hoặc dưới) trung trực của AB thì đường trung trực đó là tia phân giác của đoạn AB.

-Với compa có tâm là P, vẽ đường tròn cắt AB tại hai điểm, gọi là A 'và B' (màu đỏ).

- La bàn mở tại A'P, tâm là A 'và vẽ một chu vi đi qua P (màu lục).

-Lặp lại bước trước, nhưng bây giờ mở thước đo độ dài của đoạn thẳng B'P (màu xanh lá cây). Cả hai cung có chu vi cắt nhau tại điểm Q dưới P và tất nhiên là tại điểm sau.

-Các điểm P, Q kẻ sẵn thước và kẻ sẵn đường vuông góc (màu xanh).

-Cuối cùng, tất cả các công trình phụ phải được tẩy xóa cẩn thận, chỉ để lại những phần vuông góc.

Hình 6. Tra đường thẳng vuông góc bằng thước và compa. Nguồn: Wikimedia Commons.

- Bài tập 2

Hai đường thẳng L ₁ và L ₂ vuông góc với nhau nếu hệ số góc tương ứng của chúng là m ₁ và m ₂ thỏa mãn mối quan hệ này:

m ₁ = -1 / m ₂

Cho đường thẳng y = 5x - 2, tìm một đường thẳng vuông góc với nó và đi qua điểm (-1, 3).

Giải pháp

- Đầu tiên là hệ số góc của đường vuông góc m _⊥ , như được chỉ ra trong câu lệnh. Hệ số góc của đường thẳng ban đầu là m = 5, hệ số đi kèm với "x". Vì thế:

m _⊥ = -1/5

- Sau đó _{xây dựng} phương trình đường trung trực y _⊥, thay vào giá trị vừa tìm được:

y _⊥ = -1 / 5x + b

-Tiếp theo, giá trị của b được xác định, với sự trợ giúp của điểm được cho bởi câu lệnh, (-1,3), vì đường vuông góc phải đi qua nó:

y = 3

x = -1

Thay thế:

3 = -1/5 (-1) + b

Giải cho giá trị của b:

b = 3- (1/5) = 14/5

-Cuối cùng, phương trình cuối cùng được xây dựng:

và _⊥ = -1 / 5x + 14/5

Người giới thiệu

1. Baldor, A. 2004. Hình học mặt phẳng và không gian. Ấn phẩm Văn hóa.
2. Clemens, S. 2001. Hình học với các ứng dụng và giải quyết vấn đề. Addison Wesley.
3. Toán học rất thú vị. Các đường vuông góc. Phục hồi từ: mathisfun.com.
4. Viện Monterey. Đường thẳng vuông góc. Phục hồi từ: montereyinstitution.org.
5. Wikipedia. Đường thẳng vuông góc. Được khôi phục từ: es.wikipedia.org.