- Phương pháp bình phương ít nhất
- Bài tập đã giải
- Bài tập 1
- Giải pháp
- Bài tập 2
- Nó dùng để làm gì?
- Người giới thiệu
Phương pháp bình phương nhỏ nhất là một trong những ứng dụng quan trọng nhất trong tính gần đúng của các hàm. Ý tưởng là tìm một đường cong sao cho, với một tập hợp các cặp có thứ tự, hàm này gần đúng nhất với dữ liệu. Hàm có thể là một đường thẳng, một đường cong bậc hai, một hình khối, v.v.
Ý tưởng của phương pháp này bao gồm việc giảm thiểu tổng bình phương của sự khác biệt trong tọa độ (thành phần Y), giữa các điểm được tạo bởi hàm đã chọn và các điểm thuộc tập dữ liệu.
Phương pháp bình phương ít nhất
Trước khi đưa ra phương pháp, trước tiên chúng ta phải hiểu rõ “cách tiếp cận tốt hơn” nghĩa là gì. Giả sử rằng chúng ta đang tìm một đường thẳng y = b + mx là đường biểu diễn tốt nhất tập hợp n điểm, cụ thể là {(x1, y1), (x2, y2)…, (xn, yn)}.
Như trong hình trước, nếu các biến x và y có liên quan với nhau bởi đường thẳng y = b + mx, thì với x = x1, giá trị tương ứng của y sẽ là b + mx1. Tuy nhiên, giá trị này khác với giá trị thực của y, đó là y = y1.
Hãy nhớ rằng trong mặt phẳng, khoảng cách giữa hai điểm được cho bởi công thức sau:
Với suy nghĩ này, để xác định cách chọn đường thẳng y = b + mx gần đúng nhất với dữ liệu đã cho, có vẻ hợp lý khi sử dụng làm tiêu chí lựa chọn đường thẳng tối thiểu hóa tổng bình phương của khoảng cách giữa các điểm và đường thẳng.
Vì khoảng cách giữa các điểm (x1, y1) và (x1, b + mx1) là y1- (b + mx1), bài toán của chúng ta rút gọn để tìm các số m và b sao cho tổng sau đây là nhỏ nhất:
Đường thỏa mãn điều kiện này được gọi là «xấp xỉ của đường bình phương nhỏ nhất đến các điểm (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn)».
Khi bài toán được giải, chỉ còn lại là chọn một phương pháp để tìm gần đúng bình phương nhỏ nhất. Nếu các điểm (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) đều nằm trên đường thẳng y = mx + b, chúng ta sẽ có rằng chúng thẳng hàng y:
Trong biểu thức này:
Cuối cùng, nếu các điểm không thẳng hàng thì y-Au = 0 và bài toán có thể được chuyển thành vectơ u sao cho chuẩn Euclide là cực tiểu.
Tìm véc tơ tối giản u không khó như bạn nghĩ. Vì A là ma trận nx2 và u là ma trận 2 × 1 nên ta có vectơ Au là vectơ trong R n và thuộc ảnh của A, là không gian con của R n với số chiều không lớn hơn hai.
Chúng tôi sẽ giả sử rằng n = 3 để hiển thị quy trình nào cần tuân theo. Nếu n = 3, ảnh của A sẽ là mặt phẳng hoặc đường thẳng qua gốc tọa độ.
Gọi v là vectơ cực tiểu. Trong hình bên ta thấy rằng y-Au là cực tiểu khi nó trực giao với ảnh của A. Tức là, nếu v là vectơ cực tiểu thì điều đó xảy ra:
Sau đó, chúng ta có thể diễn đạt ở trên theo cách này:
Điều này chỉ có thể xảy ra nếu:
Cuối cùng, giải quyết cho v, chúng ta có:
Có thể làm điều này vì A t A là khả nghịch miễn là n điểm cho trước khi dữ liệu không thẳng hàng.
Bây giờ, nếu thay vì tìm kiếm một đoạn thẳng, chúng ta muốn tìm một parabol (có biểu thức sẽ có dạng y = a + bx + cx 2 ) sẽ là một xấp xỉ tốt hơn cho n điểm dữ liệu, thì quy trình sẽ như được mô tả dưới đây.
Nếu n điểm dữ liệu nằm trong parabol này, chúng ta sẽ có:
Sau đó:
Tương tự chúng ta có thể viết y = Au. Nếu tất cả các điểm không nằm trong parabol, chúng ta có y-Au khác 0 đối với bất kỳ vectơ u nào và vấn đề của chúng ta là: tìm một vectơ u trong R3 sao cho chuẩn của nó --y-Au - càng nhỏ càng tốt .
Lặp lại quy trình trước đó, chúng ta có thể thấy rằng vectơ được tìm kiếm là:
Bài tập đã giải
Bài tập 1
Tìm đoạn thẳng phù hợp nhất với các điểm (1,4), (-2,5), (3, -1) và (4,1).
Giải pháp
Chúng ta phải:
Sau đó:
Do đó, chúng tôi kết luận rằng đường thẳng phù hợp nhất với các điểm được cho bởi:
Bài tập 2
Giả sử một vật được thả rơi từ độ cao 200 m. Khi nó rơi, các bước sau được thực hiện:
Chúng ta biết rằng chiều cao của vật thể nói trên, sau một thời gian t trôi qua, được cho bởi:
Nếu chúng ta muốn nhận được giá trị của g, chúng ta có thể tìm thấy một parabol gần đúng hơn với năm điểm cho trong bảng, và do đó chúng ta sẽ có hệ số đi kèm với t 2 sẽ là một giá trị gần đúng hợp lý với (-1/2) g nếu các phép đo là chính xác.
Chúng ta phải:
Và sau đó:
Vì vậy, các điểm dữ liệu phù hợp với biểu thức bậc hai sau:
Vì vậy, bạn phải:
Đây là một giá trị gần đúng với giá trị hợp lý, đó là g = 9,81 m / s 2 . Để có được giá trị gần đúng hơn của g, cần phải bắt đầu từ những quan sát chính xác hơn.
Nó dùng để làm gì?
Trong các bài toán xảy ra trong khoa học tự nhiên hoặc xã hội, có thể thuận tiện để viết các mối quan hệ tồn tại giữa các biến khác nhau bằng một biểu thức toán học nào đó.
Ví dụ, trong kinh tế học, chúng ta có thể liên hệ chi phí (C), thu nhập (I) và lợi nhuận (U) bằng một công thức đơn giản:
Trong vật lý, chúng ta có thể liên hệ giữa gia tốc gây ra bởi lực hấp dẫn, thời gian một vật rơi và chiều cao của vật theo luật:
Trong biểu thức trước, s o là độ cao ban đầu của vật đó và v o là vận tốc ban đầu của nó.
Tuy nhiên, việc tìm kiếm các công thức như thế này không phải là một việc dễ dàng; Thông thường người làm nhiệm vụ phải làm việc với nhiều dữ liệu và thực hiện liên tục một số thí nghiệm (để xác minh rằng kết quả thu được là không đổi) để tìm mối quan hệ giữa các dữ liệu khác nhau.
Một cách phổ biến để đạt được điều này là biểu diễn dữ liệu thu được trong một mặt phẳng dưới dạng các điểm và tìm kiếm một hàm liên tục xấp xỉ các điểm đó một cách tối ưu.
Một trong những cách để tìm hàm "gần đúng nhất" với dữ liệu đã cho là bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất.
Ngoài ra, như chúng ta cũng đã thấy trong bài tập, nhờ phương pháp này, chúng ta có thể nhận được các giá trị xấp xỉ khá gần với các hằng số vật lý.
Người giới thiệu
- Đại số tuyến tính Charles W Curtis. Springer-Velarg
- Kai Lai Chung. Lý thuyết về tính ổn định cơ bản với quy trình ngẫu nhiên. Springer-Verlag New York Inc
- Richar L Burden & J.Douglas Faires. Phân tích số (7ed). Học hỏi Thompson.
- Stanley I. Grossman. Các ứng dụng của Đại số tuyến tính. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
- Stanley I. Grossman. Đại số tuyến tính. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO