SỐ HỮU TỈ: THUỘC TÍNH, VÍ DỤ VÀ PHÉP TOÁN - TOÁN HỌC - 2026

Các số hữu tỉ là tất cả các số có thể nhận được dưới dạng phép chia hai số nguyên. Ví dụ về số hữu tỉ là: 3/4, 8/5, -16/3 và những số xuất hiện trong hình sau. Trong một số hữu tỉ, thương được chỉ ra, có thể thực hiện sau nếu cần.

Hình đại diện cho bất kỳ đối tượng nào, hình tròn để tạo sự thoải mái hơn. Nếu chúng ta muốn chia nó thành 2 phần bằng nhau, như bên phải, chúng tôi có hai nửa bên trái và mỗi phần có giá trị 1/2.

Hình 1. Số hữu tỉ được dùng để chia tổng thể thành nhiều phần. Nguồn: Freesvg.

Bằng cách chia nó thành 4 phần bằng nhau, chúng ta sẽ nhận được 4 phần và mỗi phần có giá trị là 1/4, như trong hình ở giữa. Và nếu nó phải được chia thành 6 phần bằng nhau, mỗi phần sẽ có giá trị là 1/6, chúng ta thấy trong hình bên trái.

Tất nhiên, chúng ta cũng có thể chia nó thành hai phần không bằng nhau, ví dụ chúng ta có thể giữ 3/4 phần và tiết kiệm 1/4 phần. Các cách phân chia khác cũng có thể xảy ra, chẳng hạn như 4/6 phần và 2/6 phần. Điều quan trọng là tổng của tất cả các phần là 1.

Bằng cách này, rõ ràng là với số hữu tỉ, bạn có thể chia, đếm và phân phối những thứ như thực phẩm, tiền bạc, đất đai và tất cả các loại đồ vật dưới dạng phân số. Và do đó, số lượng các hoạt động có thể được thực hiện với các con số được mở rộng.

Số hữu tỉ cũng có thể được biểu diễn ở dạng thập phân, như có thể thấy trong các ví dụ sau:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333… ..

3/4 = 0,75

1/7 = 0,142857142857142857 ………

Sau đó, chúng tôi sẽ chỉ ra cách đi từ dạng này sang dạng khác với các ví dụ.

Tính chất của số hữu tỉ

Các số hữu tỉ, mà tập hợp chúng ta sẽ ký hiệu bằng chữ Q, có các thuộc tính sau:

-Q gồm số tự nhiên N và số nguyên Z.

Xét rằng bất kỳ số nào a có thể được biểu thị bằng thương giữa chính nó và 1, dễ dàng thấy rằng trong các số hữu tỉ có cả số tự nhiên và số nguyên.

Do đó, số tự nhiên 3 có thể được viết dưới dạng phân số và -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

Theo cách này, Q là một tập hợp số bao gồm một số lượng lớn hơn, một điều rất cần thiết, vì các số "tròn" không đủ để mô tả tất cả các phép toán có thể phải làm.

-Các số hữu tỉ có thể cộng, trừ, nhân, chia, kết quả của phép toán là một số hữu tỉ: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

- Giữa mỗi cặp số hữu tỉ luôn tìm được một số hữu tỉ khác. Thực tế giữa hai số hữu tỉ có vô hạn số hữu tỉ.

Ví dụ: giữa các số hữu tỉ 1/4 và 1/2 là các số hữu tỉ 3/10, 7/20, 2/5 (và nhiều hơn nữa), có thể được xác minh bằng cách biểu thị chúng dưới dạng số thập phân.

- Mọi số hữu tỉ có thể được biểu diễn dưới dạng: i) một số nguyên hoặc ii) một số thập phân có giới hạn (chặt chẽ) hoặc tuần hoàn: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,16666666 ……

- Một số giống nhau có thể được biểu diễn bằng vô số phân số tương đương và tất cả chúng đều thuộc Q. Hãy xem nhóm này:

Tất cả chúng đều đại diện cho số thập phân 0,428571 …

-Nếu tất cả các phân số tương đương biểu diễn cùng một số thì phân số bất khả quy, đơn giản nhất là đại diện chính tắc của số đó. Đại diện chính tắc của ví dụ trên là 3/7.

Hình 2.- Tập hợp Q của các số hữu tỉ. Nguồn: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Ví dụ về số hữu tỉ

-Các phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số:

-Cấp số phân số có tử số lớn hơn mẫu số:

-Số tự nhiên và số nguyên:

-Phân số tương đương:

Biểu diễn thập phân của một số hữu tỉ

Khi chia tử số cho mẫu số, ta tìm được dạng thập phân của số hữu tỉ. Ví dụ:

2/5 = 0,4

3/8 = 0,375

1/9 = 0,11111…

6/11 = 0,545454…

Trong hai ví dụ đầu tiên, số lượng vị trí thập phân bị giới hạn. Điều này có nghĩa là khi phép chia được thực hiện, cuối cùng thu được phần dư là 0.

Mặt khác, trong hai phần tiếp theo, số chữ số thập phân là vô hạn và đó là lý do tại sao dấu chấm lửng được đặt. Trong trường hợp thứ hai, có một mô hình trong số thập phân. Trong trường hợp của phân số 1/9, số 1 được lặp lại vô thời hạn, trong khi ở 6/11 là 54.

Khi điều này xảy ra, số thập phân được cho là tuần hoàn và được biểu thị bằng dấu mũ như sau:

Chuyển một số thập phân thành một phân số

Nếu đó là một số thập phân giới hạn, dấu phẩy đơn giản bị loại bỏ và mẫu số trở thành đơn vị theo sau bởi càng nhiều số 0 càng có số liệu trong số thập phân. Ví dụ: để biến đổi số thập phân 1,26 thành phân số, hãy viết nó như sau:

1,26 = 126/100

Sau đó, phân số kết quả được đơn giản hóa đến mức tối đa:

126/100 = 63/50

Nếu số thập phân là không giới hạn, dấu chấm được xác định đầu tiên. Sau đó, các bước sau được thực hiện để tìm phân số kết quả:

- Tử số là phép trừ giữa số (không có dấu phẩy hoặc dấu mũ) và phần không có dấu mũ.

- Mẫu số là một số nguyên có bao nhiêu là 9 trong số các hình nằm dưới đường tròn và nhiều 0 cũng như các số ở phần thập phân không nằm dưới đường tròn.

Hãy làm theo quy trình này để biến đổi số thập phân 0,428428428… thành một phân số.

- Đầu tiên, khoảng thời gian được xác định, đó là dãy số được lặp lại: 428.

- Sau đó thực hiện phép trừ số không có dấu phẩy hoặc dấu: 0428 từ phần không có dấu mũ, được 0. Như vậy 428 - 0 = 428.

-Cấu tạo mẫu số, biết rằng dưới đường tròn ngoại tiếp có 3 hình và tất cả đều nằm dưới đường tròn ngoại tiếp. Do đó mẫu số là 999.

-Cuối cùng, phân số được hình thành và đơn giản hóa nếu có thể:

0,428 = 428/999

Không thể đơn giản hóa hơn.

Các phép toán với số hữu tỉ

- Cộng và trừ

Các phân số cùng mẫu số

Khi các phân số có cùng mẫu số, việc cộng và / hoặc trừ chúng rất dễ dàng, bởi vì các tử số được cộng theo phương pháp đại số một cách đơn giản, để lại các phân số giống như mẫu số của kết quả. Cuối cùng, nếu có thể, nó được đơn giản hóa.

Thí dụ

Thực hiện phép cộng đại số sau và đơn giản hóa kết quả:

Phân số kết quả đã là bất khả quy.

Phân số có mẫu số khác nhau

Trong trường hợp này, các mẫu số được thay thế bằng các phân số tương đương có cùng mẫu số và sau đó quy trình đã được mô tả được tuân theo.

Thí dụ

Cộng đại số các số hữu tỉ sau, đơn giản hóa kết quả:

Các bước là:

-Xác định bội số chung nhỏ nhất (lcm) của các mẫu số 5, 8 và 3:

lcm (5,8,3) = 120

Đây sẽ là mẫu số của phân số kết quả mà không cần đơn giản hóa.

-Đối với mỗi phân số: chia LCM cho mẫu số rồi nhân cho tử số. Kết quả của phép toán này được đặt, với dấu tương ứng, ở tử số của phân số. Bằng cách này, thu được một phân số tương đương với phân số ban đầu, nhưng với LCM là mẫu số.

Ví dụ, đối với phân số đầu tiên, tử số được xây dựng như sau: (120/5) x 4 = 96 và chúng ta nhận được:

Tiến hành tương tự đối với các phân số còn lại:

Cuối cùng, các phân số tương đương được thay thế mà không quên dấu của chúng và tính tổng đại số của các tử số được thực hiện:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110/120 = -11/12

- Nhân và chia

Phép nhân và phép chia được thực hiện theo các quy tắc dưới đây:

Hình 3. Quy tắc nhân và chia số hữu tỉ. Nguồn: F. Zapata.

Trong mọi trường hợp, điều quan trọng cần nhớ là phép nhân có tính chất giao hoán, có nghĩa là thứ tự của các thừa số không làm thay đổi tích. Điều này không xảy ra với phép chia, vì vậy cần phải cẩn thận để tôn trọng thứ tự giữa số bị chia và số bị chia.

ví dụ 1

Thực hiện các thao tác sau và đơn giản hóa kết quả:

a) (5/3) x (15/8)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Trả lời cho

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Đáp án b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36/10 = -18/5

Ví dụ 2

Luisa có 45 đô la. Anh ấy đã dành 1/10 số tiền đó để mua một cuốn sách và 2/5 số tiền còn lại trên một chiếc áo phông. Luisa còn lại bao nhiêu tiền? Biểu thị kết quả dưới dạng phân số bất khả quy.

Giải pháp

Giá sách (1/10) x 45 đô la = 0,1 x 45 đô la = 4,5 đô la

Do đó, Luisa bị bỏ lại với:

45 - 4,5 đô la = 40,5 đô la

Với số tiền đó, Luisa đã đến cửa hàng quần áo và mua chiếc áo sơ mi, giá của nó là:

(2/5) x 40,5 đô la = 16,2 đô la

Bây giờ Luisa có trong danh mục đầu tư của mình:

40,5 - 16,2 $ = 24,3 $

Để thể hiện nó dưới dạng một phân số, nó được viết như thế này:

24,3 = 243/10

Điều đó là không thể giải thích được.

Người giới thiệu

1. Baldor, A. 1986. Số học. Các phiên bản và phân phối Codex.
2. Carena, M. 2019. Sách hướng dẫn Toán học. Đại học Quốc gia Litoral.
3. Figuera, J. 2000. Toán học 8. Ediciones Co-Bo.
4. Jiménez, R. 2008. Đại số. Sảnh Prentice.
5. Các số hữu tỉ. Được khôi phục từ: Cimanet.uoc.edu.
6. Số hữu tỉ. Đã khôi phục từ: webdelprofesor.ula.ve.