SỐ THỰC: LỊCH SỬ, VÍ DỤ, THUỘC TÍNH, HOẠT ĐỘNG - TOÁN HỌC - 2026

Các số thực tạo thành tập hợp số bao gồm các số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ và số vô tỉ. Chúng được biểu thị bằng ký hiệu ℝ hoặc đơn giản là R và phạm vi của chúng trong khoa học, kỹ thuật và kinh tế đến nỗi khi nói về “số”, người ta gần như mặc nhiên cho rằng đó là một số thực.

Số thực đã được sử dụng từ thời cổ đại, mặc dù chúng không được đặt tên như vậy. Ngay từ khi Pythagoras phát triển định lý nổi tiếng của mình, những con số không thể nhận được dưới dạng thương của số tự nhiên hoặc số nguyên đã xuất hiện.

Hình 1. Biểu đồ Venn cho thấy cách tập hợp các số thực chứa các tập hợp số khác. Nguồn> Wikimedia Commons.

Ví dụ về các số là √2, √3 và π. Những con số này được gọi là số vô tỉ, trái ngược với số hữu tỉ, chúng đến từ thương của các số nguyên. Do đó, cần một bộ số bao gồm cả hai lớp số.

Thuật ngữ "số thực" được tạo ra bởi nhà toán học vĩ đại René Descartes (1596-1650), để phân biệt giữa hai loại căn có thể phát sinh từ việc giải một phương trình đa thức.

Một số gốc thậm chí có thể là gốc của số âm, Descartes gọi chúng là "số tưởng tượng" và những gốc không phải là số thực.

Mệnh giá tồn tại theo thời gian, tạo ra hai tập hợp số lớn: tập số thực và số phức, tập hợp lớn hơn bao gồm số thực, số ảo và những số có phần thực và phần ảo.

Sự phát triển của số thực tiếp tục diễn ra cho đến năm 1872, nhà toán học Richard Dedekind (1831-1936) chính thức định nghĩa tập hợp các số thực thông qua cái gọi là cắt Dedekind. Tổng hợp công việc của ông đã được đăng trong một bài báo nhìn thấy ánh sáng cùng năm đó.

Ví dụ về số thực

Bảng dưới đây cho thấy các ví dụ về số thực. Tập hợp này có dưới dạng tập con các số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ và số vô tỉ. Bất kỳ số nào trong số các tập hợp này, tự nó là một số thực.

Do đó 0, âm, dương, phân số và số thập phân là số thực.

Hình 2. Các ví dụ về số thực là số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ và số siêu việt. Nguồn: F. Zapata.

Biểu diễn số thực trên dòng thực

Các số thực có thể được biểu diễn trên dòng thực R , như trong hình. Không nhất thiết phải luôn luôn có số 0, tuy nhiên thuận tiện khi biết rằng số thực âm ở bên trái và số dương ở bên phải. Đó là lý do tại sao nó là một điểm tham khảo tuyệt vời.

Trên dòng thực, một tỷ lệ được lấy, trong đó các số nguyên được tìm thấy:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. Mũi tên chỉ ra rằng đường kéo dài đến vô cùng. Nhưng đó không phải là tất cả, trong bất kỳ khoảng nào đã xét, chúng ta cũng sẽ luôn tìm được các số thực vô hạn.

Các số thực được biểu diễn theo thứ tự. Để bắt đầu, có thứ tự của các số nguyên, trong đó số dương luôn lớn hơn 0, trong khi số âm nhỏ hơn.

Thứ tự này được giữ trong số thực. Các bất đẳng thức sau được thể hiện như một ví dụ:

a) -1/2 <√2

b) e <π

c) π> -1/2

Hình 3.- Dòng thực. Nguồn: Wikimedia Commons.

Tính chất của số thực

-Số thực bao gồm số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ và số vô tỉ.

-Tính chất giao hoán của phép cộng được thực hiện: thứ tự của các vế không làm thay đổi tổng. Nếu a và b là hai số thực thì luôn đúng rằng:

a + b = b + a

- 0 là phần tử trung hòa của tổng: a + 0 = a

-Đối với tổng tài sản liên kết được thực hiện. Nếu a, b và c là các số thực: (a + b) + c = a + (b + c).

- Số đối của một số thực là -a.

-Phép trừ được định nghĩa là tổng của đối nghịch: a - b = a + (-b).

-Tính chất giao hoán của tích được thỏa mãn: thứ tự của các thừa số không làm thay đổi tích: ab = ba

-Trong sản phẩm, thuộc tính liên kết cũng được áp dụng: (ab) .c = a. (Bc)

- 1 là phần tử trung hoà của phép nhân: a.1 = a

-Tính chất có phân phối của phép nhân có giá trị đối với phép cộng: a. (b + c) = ab + ac

-Phân chia cho 0 không xác định.

- Mọi số thực a, trừ số 0, đều có một phép nhân nghịch đảo với ^-1 sao cho aa ^-1 = 1.

-Nếu a là số thực: a ⁰ = 1 và a ¹ = a.

-Giá trị tuyệt đối hoặc môđun của một số thực là khoảng cách giữa số đó và 0.

Các phép toán với số thực

Với các số thực, bạn có thể thực hiện các phép toán được thực hiện với các bộ số khác, bao gồm cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, bán kính, logarit và hơn thế nữa.

Như mọi khi, phép chia cho 0 không được xác định, logarit của các số âm hoặc 0 cũng vậy, mặc dù đúng là log 1 = 0 và logarit của các số từ 0 đến 1 là số âm.

Các ứng dụng

Các ứng dụng của số thực cho tất cả các loại tình huống là vô cùng đa dạng. Các con số thực xuất hiện như câu trả lời cho nhiều vấn đề trong khoa học chính xác, khoa học máy tính, kỹ thuật, kinh tế và khoa học xã hội.

Tất cả các loại cường độ và đại lượng như khoảng cách, thời gian, lực, cường độ âm thanh, tiền và nhiều loại khác, đều được biểu thị bằng số thực.

Việc truyền tín hiệu điện thoại, hình ảnh và âm thanh của video, nhiệt độ của máy điều hòa không khí, lò sưởi hoặc tủ lạnh có thể được điều khiển bằng kỹ thuật số, có nghĩa là biến đổi các đại lượng vật lý thành chuỗi số.

Điều tương tự cũng xảy ra khi thực hiện giao dịch ngân hàng qua Internet hoặc tư vấn qua tin nhắn tức thời. Con số thực ở khắp mọi nơi.

Bài tập đã giải quyết

Chúng ta sẽ xem với các bài tập về cách những con số này hoạt động như thế nào trong các tình huống phổ biến mà chúng ta gặp phải hàng ngày.

Bài tập 1

Bưu điện chỉ chấp nhận các gói hàng có chiều dài, cộng với số đo chu vi, không vượt quá 108 inch. Do đó, để gói được hiển thị được chấp nhận, nó phải được đáp ứng rằng:

L + 2 (x + y) ≤ 108

a) Một gói hàng có chiều rộng 6 inch, chiều cao 8 inch và chiều dài 5 feet có vượt qua được không?

b) Còn cái có kích thước 2 x 2 x 4 ft ³ thì sao?

c) Chiều cao chấp nhận được cao nhất đối với một gói hàng có đáy là hình vuông và có kích thước 9 x 9 inch ^{2 là} bao nhiêu?

Trả lời cho

L = 5 feet = 60 inch

x = 6 inch

y = 8 inch

Thao tác để giải quyết là:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) inch = 60 + 2 x 14 inch = 60 + 28 inch = 88 inch

Gói được chấp nhận.

Đáp án b

Kích thước của gói này nhỏ hơn gói a), vì vậy cả hai đều vượt qua được.

Đáp án c

Trong gói này:

x = L = 9 inch

Cần phải quan sát rằng:

9+ 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

và ≤ 40,5 inch

Người giới thiệu

1. Carena, M. 2019. Cẩm nang Toán học Dự bị Đại học. Đại học Quốc gia Litoral.
2. Diego, A. Các số thực và tính chất của chúng. Được khôi phục từ: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. Toán học thứ 9. Trình độ. Ấn bản CO-BO.
4. Jiménez, R. 2008. Đại số. Sảnh Prentice.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Toán học Giải tích. ngày 5. Phiên bản. Học tập Cengage.