- Mô tả của paraboloid hypebol
- Tính chất của paraboloid hypebol
- Ví dụ về công việc
- - Ví dụ 1
- Giải pháp
- - Ví dụ 2
- Giải pháp
- - Ví dụ 3
- Giải pháp
- Paraboloid hypebol trong kiến trúc
- Người giới thiệu
Một paraboloid hypebol là một bề mặt có phương trình tổng quát trong hệ tọa độ Descartes (x, y, z) thỏa mãn phương trình sau:
(x / a) 2 - (y / b) 2 - z = 0.
Tên "paraboloid" xuất phát từ thực tế là biến z phụ thuộc vào bình phương của các biến x và y. Trong khi tính từ "hyperbolic" là do thực tế là tại các giá trị cố định của z, chúng ta có phương trình của một hyperbol. Hình dạng của bề mặt này tương tự như hình yên ngựa.
Hình 1. Hình parabolic hypebol z = x 2 - y 2 . Nguồn: F. Zapata sử dụng Wolfram Mathematica.
Mô tả của paraboloid hypebol
Để hiểu bản chất của parabolic hypebol, chúng ta sẽ phân tích sau:
1.- Chúng ta sẽ lấy trường hợp cụ thể a = 1, b = 1, nghĩa là phương trình Descartes của paraboloid vẫn là z = x 2 - y 2 .
2.- Máy bay được coi là song song với mặt phẳng ZX, tức là, y = ctte.
3.- Với y = ctte, nó vẫn là z = x 2 - C, đại diện cho các parabol với các nhánh hướng lên và đỉnh ở dưới mặt phẳng XY.
Hình 2. Họ các đường cong z = x 2 - C. Nguồn: F. Zapata sử dụng Geogebra.
4.- Với x = ctte, nó vẫn là z = C - y 2 , biểu diễn các parabol với các nhánh hướng xuống và đỉnh phía trên mặt phẳng XY.
Hình 3. Họ các đường cong z = C - y 2 . Nguồn: F. Zapata thông qua Geogebra.
5.- Với z = ctte, nó vẫn là C = x 2 - y 2 , biểu diễn các hypebol trong mặt phẳng song song với mặt phẳng XY. Khi C = 0, có hai đường thẳng (tại + 45º và -45º đối với trục X) cắt nhau tại điểm gốc trên mặt phẳng XY.
Hình 4. Họ các đường cong x 2 - y 2 = C. Nguồn: F. Zapata using Geogebra ..
Tính chất của paraboloid hypebol
1.- Bốn điểm khác nhau trong không gian ba chiều xác định một và chỉ một parabolic hypebol.
2.- Hình parabolic hypebol là một bề mặt được cai trị kép. Điều này có nghĩa là mặc dù là một mặt cong, hai đường thẳng khác nhau đi qua mỗi điểm của một parabolic hypebol hoàn toàn thuộc về parabolic hypebol. Bề mặt khác không phải là một mặt phẳng và được cai trị gấp đôi là hyperboloid của cuộc cách mạng.
Đó chính xác là thuộc tính thứ hai của paraboloid hypebol đã cho phép nó được sử dụng rộng rãi trong kiến trúc vì bề mặt có thể được tạo ra từ các chùm hoặc chuỗi thẳng.
Tính chất thứ hai của paraboloid hypebol cho phép một định nghĩa thay thế về nó: đó là bề mặt có thể được tạo ra bởi một đường thẳng chuyển động song song với một mặt phẳng cố định và cắt hai đường cố định làm hướng dẫn. Hình sau làm rõ định nghĩa thay thế này của paraboloid hypebol:
Hình 5. Paraboloid hypebol là một bề mặt được cai trị kép. Nguồn: F. Zapata.
Ví dụ về công việc
- Ví dụ 1
Chứng tỏ rằng phương trình: z = xy, tương ứng với một paraboloid hypebol.
Giải pháp
Một phép biến đổi sẽ được áp dụng cho các biến x và y tương ứng với phép quay của trục Đề-các đối với trục Z là + 45º. Các tọa độ x và y cũ được chuyển thành x 'và y' mới theo các mối quan hệ sau:
x = x '- y'
y = x '+ y'
trong khi tọa độ z không đổi, nghĩa là, z = z '.
Bằng cách thay thế vào phương trình z = xy, chúng ta có:
z '= (x' - y ') (x' + y ')
Bằng cách áp dụng tích đáng chú ý của hiệu bằng tổng bằng hiệu của các bình phương, chúng ta có:
z '= x' 2 - y ' 2
rõ ràng tương ứng với định nghĩa ban đầu về paraboloid hypebol.
Giao tuyến của các mặt phẳng song song với trục XY với parabolic hypebol z = xy xác định các hypebol đều có đường tiệm cận là các mặt phẳng x = 0 và y = 0.
- Ví dụ 2
Xác định các tham số a, b của paraboloid hypebol đi qua các điểm A (0; 0; 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) và D (2, -1, 32/9).
Giải pháp
Theo tính chất của nó, bốn điểm trong không gian ba chiều xác định một paraboloid hypebol. Phương trình tổng quát là:
z = (x / a) 2 - (y / b) 2
Chúng tôi thay thế các giá trị đã cho:
Đối với điểm A, chúng ta có 0 = (0 / a) 2 - (0 / b) 2 , một phương trình thỏa mãn bất kỳ giá trị nào của các tham số a và b.
Thay thế điểm B, ta thu được:
5/9 = 1 / a 2 - 1 / b 2
Trong khi đối với điểm C, nó vẫn:
32/9 = 4 / a 2 - 1 / b 2
Cuối cùng, đối với điểm D, chúng ta thu được:
32/9 = 4 / a 2 - 1 / b 2
Mà là trùng với phương trình trước đó. Cuối cùng, hệ phương trình phải được giải:
5/9 = 1 / a 2 - 1 / b 2
32/9 = 4 / a 2 - 1 / b 2
Trừ phương trình thứ hai khỏi phương trình thứ nhất ta được:
27/9 = 3 / a 2 có nghĩa là a 2 = 1.
Theo cách tương tự, phương trình thứ hai được trừ đi phần tư của phương trình thứ nhất, thu được:
(32-20) / 9 = 4 / a 2 - 4 / a 2 -1 / b 2 + 4 / b 2
Được đơn giản hóa là:
12/9 = 3 / b 2 ⇒ b 2 = 9/4.
Tóm lại, parabolic hypebol đi qua các điểm A, B, C và D cho trước có phương trình Descartes là:
z = x 2 - (4/9) y 2
- Ví dụ 3
Theo tính chất của parabolic hypebol, hai đường thẳng đi qua mỗi điểm nằm hoàn toàn trong nó. Đối với trường hợp z = x ^ 2 - y ^ 2 tìm phương trình của hai đường thẳng đi qua điểm P (0, 1, -1) rõ ràng thuộc parabolic hyperbol, sao cho tất cả các điểm của các đường thẳng này cũng thuộc tương tự.
Giải pháp
Sử dụng tích đáng kể của sự khác biệt của các bình phương, phương trình của parabolic hypebol có thể được viết như sau:
(x + y) (x - y) = cz (1 / c)
Trong đó c là một hằng số khác không.
Phương trình x + y = cz và phương trình x - y = 1 / c tương ứng với hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n = <1,1, -c> và m = <1, -1,0>. Tích vectơ mxn = <- c, -c, -2> cho ta phương của đường giao tuyến của hai mặt phẳng. Khi đó một trong các đường thẳng đi qua điểm P và thuộc paraboloid hypebol có phương trình tham số là:
Để xác định c, ta thay điểm P vào phương trình x + y = cz, thu được:
c = -1
Theo cách tương tự, nhưng xét các phương trình (x - y = kz) và (x + y = 1 / k) ta có phương trình tham số của đường thẳng:
Tóm lại, hai dòng:
Chúng hoàn toàn nằm trong parabolic hypebol z = x 2 - y 2 đi qua điểm (0, 1, -1).
Để kiểm tra, giả sử t = 1 cho chúng ta điểm (1,2, -3) trên dòng đầu tiên. Bạn phải kiểm tra xem nó có nằm trên paraboloid z = x 2 - y 2 không :
-3 = 1 2 - 2 2 = 1 - 4 = -3
Điều này khẳng định rằng nó thực sự thuộc về bề mặt của parabolic hypebol.
Paraboloid hypebol trong kiến trúc
Hình 6. Hải dương học của Valencia (Tây Ban Nha) Nguồn: Wikimedia Commons.
Hình paraboloid hyperbol đã được sử dụng trong kiến trúc bởi các kiến trúc sư tiên phong vĩ đại, trong đó nổi bật là tên tuổi của kiến trúc sư người Tây Ban Nha Antoni Gaudí (1852-1926) và đặc biệt là Félix Candela (1910-1997) người Tây Ban Nha.
Dưới đây là một số công trình dựa trên paraboloid hypebol:
-Nhà nguyện của thành phố Cuernavaca (Mexico) là tác phẩm của kiến trúc sư Félix Candela.
- Hải dương học của Valencia (Tây Ban Nha), cũng của Félix Candela.
Người giới thiệu
- Bách khoa toàn thư về toán học. Bề mặt thống trị. Được khôi phục từ: encyclopediaofmath.org
- Llera Rubén. Parabolic hypebol. Phục hồi từ: rubenllera.wordpress.com
- Weisstein, Eric W. "Hyperbolic Paraboloid." Từ MathWorld - Tài nguyên Web Wolfram. Được khôi phục từ: mathworld.wolfram.com
- Wikipedia. Hình parabol. Khôi phục từ: en.wikipedia.com
- Wikipedia. Hình parabol. Phục hồi từ: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Bề mặt được cai trị. Khôi phục từ: en.wikipedia.com