ĐA GIÁC LỒI: ĐỊNH NGHĨA, PHẦN TỬ, THUỘC TÍNH, VÍ DỤ - TOÁN HỌC - 2026

Một đa giác lồi là một nhân vật hình học chứa trong một chiếc máy bay được đặc trưng bởi vì nó có tất cả các đường chéo của nó trong nội thất của nó và góc của nó đo được ít hơn 180º. Trong số các thuộc tính của nó là:

1) Nó bao gồm n đoạn liên tiếp trong đó đoạn cuối cùng của đoạn nối với đoạn đầu tiên. 2) Không có đoạn nào giao nhau theo cách phân định mặt phẳng trong vùng bên trong và vùng bên ngoài. 3) Mỗi ​​và mọi góc trong vùng bên trong đều nhỏ hơn một góc mặt phẳng.

Hình 1. Đa giác 1, 2 và 6 là lồi. (Chuẩn bị bởi Ricardo Pérez).

Một cách đơn giản để xác định xem một đa giác có lồi hay không là xem xét đường thẳng đi qua một trong các cạnh của nó, đường thẳng này xác định hai nửa mặt phẳng. Nếu trong mỗi đường thẳng đi qua một cạnh, các cạnh còn lại của đa giác nằm trong cùng một nửa mặt phẳng thì đó là đa giác lồi.

Các phần tử của một đa giác

Mọi đa giác đều bao gồm các phần tử sau:

- Mặt

- Dọc

Các cạnh là từng đoạn liên tiếp tạo nên đa giác. Trong một đa giác, không có đoạn nào tạo nên nó có thể có một đầu mở, trong trường hợp đó sẽ có một đường đa giác nhưng không phải là một đa giác.

Đỉnh là điểm nối của hai đoạn thẳng liên tiếp. Trong một đa giác, số đỉnh luôn bằng số cạnh.

Nếu hai cạnh hoặc các đoạn của một đa giác cắt nhau, thì bạn có một đa giác chéo. Điểm giao nhau không được coi là đỉnh. Một đa giác chéo là một đa giác không lồi. Đa giác hình sao là đa giác chéo và do đó không lồi.

Khi một đa giác có độ dài tất cả các cạnh của nó bằng nhau, thì chúng ta có một đa giác đều. Tất cả các đa giác đều là lồi.

Đa giác lồi và không lồi

Hình 1 cho thấy một số đa giác, một số trong số chúng là lồi và một số thì không. Hãy phân tích chúng:

Số 1 là một đa giác ba cạnh (tam giác) và tất cả các góc trong đều nhỏ hơn 180º, do đó nó là một đa giác lồi. Tất cả các tam giác đều là đa giác lồi.

Số 2 là một đa giác bốn cạnh (tứ giác) trong đó không có cạnh nào cắt nhau và mỗi và mọi góc trong đều nhỏ hơn 180º. Khi đó nó là một đa giác lồi có bốn cạnh (tứ giác lồi).

Mặt khác, số 3 là một đa giác đều có bốn cạnh nhưng một góc trong của nó lớn hơn 180º nên không thỏa mãn điều kiện lồi. Tức là nó là một đa giác không lồi bốn cạnh được gọi là tứ giác lõm.

Số 4 là một đa giác có bốn đoạn (cạnh), trong đó hai đoạn cắt nhau. Bốn góc bên trong nhỏ hơn 180º, nhưng vì hai cạnh giao nhau nên nó là một đa giác chéo không lồi (tứ giác chéo).

Một trường hợp khác là số 5. ​​Đây là một đa giác năm cạnh, nhưng vì một trong các góc bên trong của nó lớn hơn 180º, nên chúng ta có một đa giác lõm.

Cuối cùng, số 6, cũng có năm cạnh, có tất cả các góc bên trong của nó nhỏ hơn 180º, vì vậy nó là một đa giác lồi có năm cạnh (ngũ giác lồi).

Tính chất của đa giác lồi

1- Đa giác không chéo hoặc đa giác đơn giản chia mặt phẳng chứa nó thành hai vùng. Vùng trong và vùng ngoài, đa giác là biên giới giữa hai vùng.

Nhưng nếu đa giác lồi thêm, thì chúng ta có một vùng bên trong được kết nối đơn giản, có nghĩa là lấy hai điểm bất kỳ từ vùng bên trong, nó luôn có thể được nối bởi một đoạn hoàn toàn thuộc vùng bên trong.

Hình 2. Đa giác lồi được kết nối đơn giản, còn đa giác lõm thì không. (Chuẩn bị bởi Ricardo Pérez).

2- Mọi góc trong của đa giác lồi đều nhỏ hơn góc mặt phẳng (180º).

3- Tất cả các điểm trong của đa giác lồi luôn thuộc một trong các nửa mặt phẳng xác định bởi đường thẳng đi qua hai đỉnh liên tiếp.

4- Trong một đa giác lồi, tất cả các đường chéo nằm hoàn toàn trong vùng đa giác bên trong.

5- Các điểm trong của một đa giác lồi hoàn toàn thuộc cung góc lồi được xác định bởi mỗi góc trong.

6- Mọi đa giác mà tất cả các đỉnh của nó nằm trên một chu vi là một đa giác lồi được gọi là đa giác ngoại tiếp.

7- Mọi đa giác đều là lồi, nhưng không phải mọi đa giác lồi đều là tuần hoàn.

8- Bất kỳ đa giác không chéo nào (đa giác đơn giản) có tất cả các cạnh có độ dài bằng nhau là lồi và được gọi là đa giác đều.

Đường chéo và góc trong đa giác lồi

9- Tổng số N đường chéo của một đa giác lồi có n cạnh được cho bởi công thức sau:

N = ½ n (n - 3)

Chứng minh: Trong một đa giác lồi có n cạnh, mỗi đỉnh có n - 3 đường chéo, vì chính đỉnh và hai cạnh kề bị loại trừ. Vì có n đỉnh, tổng số n (n - 2) đường chéo được vẽ, nhưng mỗi đường chéo được vẽ hai lần, do đó số đường chéo (không lặp lại) là n (n-2) / 2.

10- Tổng S của các góc trong của một đa giác lồi có n cạnh được cho bởi mối quan hệ sau:

S = (n - 2) 180º

Ví dụ

ví dụ 1

Lục giác tuần hoàn là một đa giác có sáu cạnh và sáu đỉnh, nhưng tất cả các đỉnh đều nằm trên cùng một chu vi. Mọi đa giác đều là lồi.

Lục giác tuần hoàn.

Ví dụ 2

Xác định giá trị của các góc bên trong của một hình tròn đều.

Lời giải: Hình chóp là một đa giác có 9 cạnh, nhưng nếu nó cũng đều thì tất cả các cạnh và các góc của nó đều bằng nhau.

Tổng tất cả các góc trong của một đa giác 9 cạnh là:

S = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º

Nhưng có 9 góc trong cùng số đo α nên đẳng thức sau phải thỏa mãn:

S = 9 α = 1260º

Từ đó suy ra số đo α của mỗi góc trong của hình chóp đều là:

α = 1260º / 9 = 140º