- Các sản phẩm và ví dụ đáng chú ý
- Nhị thức bình phương
- Tích của nhị thức liên hợp
- Tích của hai nhị thức với một số hạng chung
- Đa thức bình phương
- Khối lập phương nhị thức
- Lập phương của một tam thức
- Các bài tập đã giải của các sản phẩm đáng chú ý
- Bài tập 1
- Giải pháp
- Bài tập 2
- Giải pháp
- Người giới thiệu
Các sản phẩm đáng chú ý là các phép toán đại số, trong đó các phép nhân của đa thức được biểu diễn, không cần phải giải theo cách truyền thống, nhưng với sự trợ giúp của các quy tắc nhất định, các kết quả giống nhau có thể được tìm thấy.
Đa thức được nhân với có, do đó có thể chúng có một số lượng lớn các số hạng và biến. Để làm cho quá trình ngắn hơn, các quy tắc sản phẩm đáng chú ý được sử dụng, cho phép nhân mà không cần phải đi từng kỳ hạn.
Các sản phẩm và ví dụ đáng chú ý
Mỗi tích đáng chú ý là một công thức là kết quả của một thừa số, được tạo thành từ các đa thức của một số số hạng, chẳng hạn như nhị thức hoặc tam thức, được gọi là thừa số.
Thừa số là cơ số của lũy thừa và có số mũ. Khi các thừa số được nhân lên, các số mũ phải được thêm vào.
Có một số công thức sản phẩm đáng chú ý, một số được sử dụng nhiều hơn những công thức khác, tùy thuộc vào các đa thức và chúng như sau:
Nhị thức bình phương
Nó là phép nhân của một nhị thức với chính nó, được biểu thị dưới dạng lũy thừa, trong đó các số hạng được cộng hoặc trừ:
đến. Nhị thức tổng bình phương: nó bằng bình phương của số hạng thứ nhất, cộng hai lần tích của số hạng, cộng với bình phương của số hạng thứ hai. Nó được thể hiện như sau:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
Trong hình sau, bạn có thể thấy cách sản phẩm phát triển theo quy tắc nói trên. Kết quả được gọi là tam thức của một hình vuông hoàn hảo.
ví dụ 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
Ví dụ 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8ab) + 4b 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2 .
b. Nhị thức của một phép trừ bình phương: áp dụng quy tắc tương tự của nhị thức của một tổng, chỉ trong trường hợp này số hạng thứ hai là số âm. Công thức của nó như sau:
(a - b) 2 = 2
(a - b) 2 = a 2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 .
ví dụ 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 6 2
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 24x + 36.
Tích của nhị thức liên hợp
Hai nhị thức được liên hợp khi số hạng thứ hai của mỗi số có dấu khác nhau, nghĩa là số thứ nhất dương và số hạng thứ hai âm hoặc ngược lại. Nó được giải quyết bằng cách bình phương mỗi đơn thức và trừ. Công thức của nó như sau:
(a + b) * (a - b)
Trong hình sau đây, tích của hai nhị thức liên hợp được phát triển, trong đó người ta quan sát thấy kết quả là một hiệu số bình phương.
ví dụ 1
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b 2 )
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 - 9b 2 .
Tích của hai nhị thức với một số hạng chung
Đây là một trong những sản phẩm phức tạp nhất và hiếm khi được sử dụng đáng chú ý vì nó là phép nhân của hai nhị thức có số hạng chung. Quy tắc nêu rõ những điều sau:
- Bình phương của thuật ngữ chung.
- Cộng tổng các số hạng không chung rồi nhân chúng với số hạng chung.
- Cộng với tổng của phép nhân các số hạng không chung.
Nó được biểu diễn trong công thức: (x + a) * (x + b) và được phát triển như trong hình. Kết quả là một tam thức vuông không hoàn hảo.
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15x + 54.
Có khả năng số hạng thứ hai (số hạng khác) là số âm và công thức của nó như sau: (x + a) * (x - b).
Ví dụ 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + 14x - 8.
Cũng có thể xảy ra trường hợp cả hai thuật ngữ khác nhau đều phủ định. Công thức của nó sẽ là: (x - a) * (x - b).
Ví dụ 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 - 33b + 30.
Đa thức bình phương
Trong trường hợp này có nhiều hơn hai số hạng và để khai triển nó, mỗi số hạng sẽ được bình phương và cộng với hai lần phép nhân của số hạng này với số hạng khác; công thức của nó là: (a + b + c) 2 và kết quả của phép toán là một tam thức bình phương.
ví dụ 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x 2 + 4y 2 + 16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Khối lập phương nhị thức
Nó là một sản phẩm phức tạp đáng kể. Để khai triển nó, nhị thức được nhân với bình phương của nó, như sau:
đến. Đối với lập phương nhị thức của một tổng:
- Lập phương của số hạng đầu tiên, cộng ba lần bình phương của số hạng thứ nhất nhân với số hạng thứ hai.
- Cộng ba của số hạng đầu tiên, nhân với bình phương thứ hai.
- Cộng với khối lập phương của số hạng thứ hai.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a 2 + 2ab + b 2 )
(a + b) 3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .
ví dụ 1
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a 3 + 9 a 2 + 27a + 27.
b. Đối với lập phương nhị thức của một phép trừ:
- Lập phương của số hạng đầu tiên, trừ ba lần bình phương của số hạng thứ nhất nhân với số hạng thứ hai.
- Cộng ba của số hạng đầu tiên, nhân với bình phương thứ hai.
- Trừ khối lập phương của số hạng thứ hai.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a 2 - 2ab + b 2 )
(a - b) 3 = a 3 - 2a 2 b + ab 2 - ba 2 + 2ab 2 - b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 .
Ví dụ 2
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) 3 = b 3 - 15b 2 + 75b - 125.
Lập phương của một tam thức
Nó được phát triển bằng cách nhân nó với bình phương của nó. Đó là một tích rất lớn đáng chú ý vì bạn có 3 số hạng lập phương, cộng với ba lần mỗi số hạng bình phương, nhân với mỗi số hạng, cộng với sáu lần tích của ba số hạng. Nhìn theo cách tốt hơn:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc.
ví dụ 1
Các bài tập đã giải của các sản phẩm đáng chú ý
Bài tập 1
Khai triển lập phương nhị thức sau: (4x - 6) 3 .
Giải pháp
Nhớ rằng một lập phương nhị thức bằng số hạng thứ nhất, trừ ba lần bình phương của số hạng thứ nhất nhân với số hạng thứ hai; cộng ba của số hạng thứ nhất, nhân với bình phương thứ hai, trừ đi lập phương của số hạng thứ hai.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 3 (16x 2 ) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 288x 2 + 432x - 36.
Bài tập 2
Khai triển nhị thức sau: (x + 3) (x + 8).
Giải pháp
Có một nhị thức trong đó có số hạng chung là x và số hạng thứ hai là số dương. Để khai triển nó, bạn chỉ cần bình phương số hạng chung, cộng với tổng của các số hạng không chung (3 và 8) rồi nhân chúng với số hạng chung, cộng với tổng của phép nhân các số hạng không chung.
(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x 2 + 11x + 24.
Người giới thiệu
- Angel, AR (2007). Đại số sơ cấp. Pearson Education ,.
- Arthur Goodman, LH (1996). Đại số và lượng giác với hình học giải tích. Giáo dục Pearson.
- Das, S. (nd). Maths Plus 8. Vương quốc Anh: Ratna Sagar.
- Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Đại số Sơ cấp và Trung cấp: Phương pháp Tiếp cận Kết hợp. Florida: Học tập của Cengage.
- Pérez, CD (2010). Giáo dục Pearson.