ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG: PHƯƠNG TRÌNH, VÍ DỤ VÀ CÁC BÀI TẬP ĐÃ GIẢI - TOÁN HỌC - 2026

Các điểm đồng phẳng đều thuộc cùng một mặt phẳng. Hai điểm luôn luôn đồng phẳng, vì những điểm này xác định một đường thẳng mà mặt phẳng vô hạn đi qua. Khi đó, cả hai điểm thuộc mỗi mặt phẳng đi qua đường thẳng và do đó, chúng sẽ luôn đồng phẳng.

Mặt khác, ba điểm xác định một mặt phẳng, từ đó ba điểm sẽ luôn đồng phẳng với mặt phẳng mà chúng xác định.

Hình 1. A, B, C và D là đồng phẳng của mặt phẳng (Ω). E, F và G không đồng phẳng với (Ω) nhưng chúng là đồng phẳng với mặt phẳng mà chúng xác định. Nguồn: F. Zapata.

Nhiều hơn ba điểm có thể là đồng phẳng hoặc không. Ví dụ trong hình 1, các điểm A, B, C và D là đồng phẳng với mặt phẳng (Ω). Nhưng E, F và G không đồng phẳng với (Ω), mặc dù chúng là đồng phẳng với mặt phẳng mà chúng xác định.

Phương trình của một mặt phẳng cho trước ba điểm

Phương trình của mặt phẳng xác định bởi ba điểm A, B, C đã biết là một quan hệ toán học đảm bảo rằng bất kỳ điểm P nào có tọa độ chung (x, y, z) thỏa mãn phương trình đều thuộc mặt phẳng nói trên.

Phát biểu trước tương đương với việc nói rằng nếu P có tọa độ (x, y, z) thỏa mãn phương trình của mặt phẳng, thì điểm đã nói sẽ đồng phẳng với ba điểm A, B, C đã xác định mặt phẳng.

Để tìm phương trình của mặt phẳng này, chúng ta hãy bắt đầu bằng cách tìm các vectơ AB và AC :

AB =

AC =

Tích vectơ AB X AC cho vectơ vuông góc hoặc pháp tuyến với mặt phẳng xác định bởi các điểm A, B, C.

Mọi điểm P có tọa độ (x, y, z) thuộc mặt phẳng nếu vectơ AP vuông góc với vectơ AB X AC , đảm bảo nếu:

AP • (AB X AC) = 0

Điều này tương đương với việc nói rằng tích ba của AP , AB và AC bằng không. Phương trình trên có thể được viết dưới dạng ma trận:

Thí dụ

Cho các điểm A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) và D (a, 0, 1). Giá trị nào của a phải có để bốn điểm là đồng phẳng?

Giải pháp

Để tìm giá trị của a, điểm D phải là một phần của mặt phẳng xác định bởi A, B và C, điều này được đảm bảo nếu nó thỏa mãn phương trình của mặt phẳng.

Khai triển yếu tố quyết định chúng ta có:

Phương trình trước cho chúng ta biết rằng a = -1 để đẳng thức được hoàn thành. Nói cách khác, cách duy nhất để điểm D (a, 0,1) đồng phẳng với các điểm A, B và C là để a là -1. Nếu không nó sẽ không phải là đồng phẳng.

Bài tập đã giải

- Bài tập 1

Một mặt phẳng cắt các trục Descartes X, Y, Z lần lượt là 1, 2 và 3. Giao của mặt phẳng này với các trục xác định các điểm A, B và C. Tìm thành phần Dz của một điểm D, có thành phần Descartes là:

Với điều kiện D là đồng phẳng với các điểm A, B và C.

Giải pháp

Khi biết các giao của mặt phẳng với trục Descartes, dạng phân đoạn của phương trình mặt phẳng có thể được sử dụng:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

Vì điểm D phải thuộc mặt phẳng trước nên nó phải:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

Điều đó có nghĩa là:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

Từ trên suy ra điểm D (3, -2, -3) đồng phẳng với các điểm A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) và C (0, 0, 3).

- Bài tập 2

Xác định xem các điểm A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) và D (2, 3, 1) là đồng phẳng.

Giải pháp

Chúng tôi tạo thành ma trận có các hàng là tọa độ của DA, BA và CA. Sau đó, định thức được tính toán và nó được xác minh xem nó có bằng không hay không.

Sau khi thực hiện tất cả các phép tính, người ta kết luận rằng chúng là đồng phẳng.

- Bài tập 3

Có hai dòng trong không gian. Một trong số chúng là đường thẳng (R) có phương trình tham số là:

Và đường kia là đường thẳng (S) có phương trình là:

Chứng tỏ rằng (R) và (S) là các đường đồng phẳng, tức là chúng nằm trong cùng một mặt phẳng.

Giải pháp

Hãy bắt đầu bằng cách lấy tùy ý hai điểm trên đường thẳng (R) và hai điểm trên đường thẳng (S):

Dòng (R): λ = 0; A (1, 1, 1) và λ = 1; B (3, 0, 1)

Cho x = 0 trên đường thẳng (S) => y = ½; C (0, ½, -1). Và mặt khác, nếu ta làm cho y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

Tức là chúng ta đã lấy các điểm A và B thuộc đường thẳng (R) và các điểm C và D thuộc đường thẳng (S). Nếu những điểm đó là đồng phẳng, thì hai đường thẳng cũng vậy.

Bây giờ chúng ta chọn điểm A làm trục quay và sau đó chúng ta tìm tọa độ của các vectơ AB , AC và AD. Bằng cách này, bạn nhận được:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

Bước tiếp theo là xây dựng và tính toán định thức có hàng đầu tiên là hệ số của vectơ AB , hàng thứ hai là hệ số của AC và hàng thứ ba là hệ số của vectơ AD :

Vì định thức hóa ra là rỗng, nên chúng ta có thể kết luận rằng bốn điểm là đồng phẳng. Ngoài ra, có thể nói rằng các đường (R) và (S) cũng là đồng phẳng.

- Bài tập 4

Các đường thẳng (R) và (S) là đồng phẳng, như đã chứng minh trong Bài tập 3. Tìm phương trình của mặt phẳng chứa chúng.

Giải pháp

Các điểm A, B, C hoàn toàn xác định mặt phẳng đó, nhưng chúng ta muốn áp đặt rằng bất kỳ điểm X nào có tọa độ (x, y, z) thuộc về nó.

Để X thuộc mặt phẳng xác định bởi A, B, C và trong đó chứa các dòng (R) và (S), thì định thức được tạo thành ở hàng đầu tiên bởi các thành phần của AX , ở hàng thứ hai của AB và thứ ba của AC :

Theo kết quả này, chúng tôi nhóm theo cách này:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

Và ngay lập tức bạn thấy rằng nó có thể được viết lại như thế này:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Do đó x + 2y - z = 2 là phương trình của mặt phẳng chứa các đường thẳng (R) và (S).

Người giới thiệu

1. Fleming, W. 1989. Toán học Precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. 2006. Đại số tuyến tính. Giáo dục Pearson.
3. Leal, JM 2005. Hình học giải tích phẳng. Mérida - Venezuela: Biên tập Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vectơ. Được khôi phục từ: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD 2006. Tính toán trước. Giáo dục Pearson.
6. Prenowitz, W. 2012. Các khái niệm cơ bản về hình học. Rowman và Littlefield.
7. Sullivan, M. 1997. Precalculus. Giáo dục Pearson.