PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC: TÍNH CHẤT, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP - TOÁN HỌC - 2025

Phép đối xứng trục là khi các điểm của một hình trùng với các điểm của một hình khác bằng một đường phân giác thẳng gọi là trục đối xứng. Nó còn được gọi là đối xứng xuyên tâm, quay hoặc trụ.

Nó thường được áp dụng trong các hình học, nhưng nó có thể dễ dàng quan sát được trong tự nhiên, vì có những loài động vật như bướm, bọ cạp, bọ rùa hoặc con người biểu hiện đối xứng trục.

Đối xứng trục được thể hiện trong bức ảnh này về đường chân trời của thành phố Toronto và hình ảnh phản chiếu của nó trong nước. (Nguồn: pixabay)

Cách tìm phép đối xứng trục

Để tìm phép đối xứng trục P 'của điểm P đối với đường thẳng (L), các phép toán hình học sau được thực hiện:

1.- Đường vuông góc với đường thẳng (L) đi qua điểm P.

2.- Giao điểm của hai đường thẳng xác định một điểm O.

3.- Đo độ dài đoạn PO, sau đó chép độ dài này lên đoạn thẳng (PO) xuất phát từ O theo chiều từ P đến O, xác định điểm P '.

4.- Điểm P 'là điểm đối xứng trục của điểm P đối với trục (L), vì đường thẳng (L) là tia phân giác của đoạn thẳng PP', lấy O là trung điểm của đoạn thẳng đó.

Hình 1. Hai điểm P và P 'đối xứng nhau qua trục (L) nếu nói trục là tia phân giác của đoạn thẳng PP'

Tính chất của phép đối xứng trục

- Phép đối xứng trục là phép đẳng tích, nghĩa là các khoảng cách của một hình hình học và phép đối xứng tương ứng của nó được bảo toàn.

- Số đo của một góc và độ đối xứng của nó bằng nhau.

- Phép đối xứng trục của một điểm trên trục đối xứng là chính điểm đó.

- Đường đối xứng của một đoạn thẳng song song với trục đối xứng cũng là một đoạn thẳng song song với trục cho biết.

- Một đường thẳng đối với trục đối xứng giống như một đường đối xứng một đường thẳng khác, đến lượt nó, cắt trục đối xứng tại cùng một điểm trên đường ban đầu.

- Ảnh đối xứng của một đoạn thẳng là một đoạn thẳng khác tạo thành một góc với trục đối xứng có cùng số đo với đoạn thẳng gốc.

- Hình đối xứng của một đường vuông góc với trục đối xứng là một đường thẳng khác trùng với hình thứ nhất.

- Một đường thẳng và đường đối xứng trục của nó tạo thành một góc có tia phân giác là trục đối xứng.

Hình 2. Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách và góc.

Ví dụ về đối xứng trục

Thiên nhiên trưng bày nhiều ví dụ về phép đối xứng trục. Ví dụ, bạn có thể nhìn thấy sự đối xứng của các khuôn mặt, côn trùng như bướm, hình ảnh phản chiếu trên mặt nước phẳng lặng và gương hoặc lá cây, trong số nhiều loại khác.

Hình 3. Con bướm này thể hiện sự đối xứng trục gần như hoàn hảo. (Nguồn: pixabay)

Hình 4. Khuôn mặt của cô gái này có đối xứng trục. (Nguồn: pixabay)

Bài tập về phép đối xứng trục

Bài tập 1

Ta có tam giác đỉnh A, B và C có tọa độ Descartes lần lượt là A = (2, 5), B = (1, 1) và C = (3,3). Tìm tọa độ Descartes của tam giác đối xứng qua trục Y (hoành độ trục).

Giải: Nếu một điểm P có tọa độ (x, y) thì điểm đối xứng của nó qua trục hoành (trục Y) là P '= (- x, y). Nói cách khác, giá trị của dấu thay đổi abscissa của nó, trong khi giá trị của thứ tự vẫn giữ nguyên.

Trong trường hợp này, tam giác đối xứng với các đỉnh A ', B' và C 'sẽ có tọa độ:

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) và C' = (- 3, 3) như có thể thấy trong hình 6.

Hình 6. Nếu một điểm có tọa độ (x, y) thì điểm đối xứng của nó đối với trục Y (trục tọa độ) sẽ có tọa độ (-x, y).

Bài tập 2

Tham khảo tam giác ABC và phép đối xứng A'B'C 'của nó từ bài tập 1, hãy kiểm tra xem các cạnh tương ứng của tam giác ban đầu và đối xứng của nó có cùng độ dài hay không.

Giải: Để tìm khoảng cách hoặc độ dài của các cạnh, chúng ta sử dụng công thức khoảng cách Euclide:

d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((-1 ) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

Chiều dài của cạnh đối xứng tương ứng A'B 'được tính như sau:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2 ) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

Bằng cách này, người ta xác minh rằng đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm. Quy trình này có thể được lặp lại đối với hai cạnh còn lại của tam giác và độ đối xứng của nó để kiểm tra độ dài bất biến. Ví dụ -AC- = -A'C'- = √5 = 2,236.

Bài tập 3

Liên hệ với tam giác ABC và phép đối xứng A'B'C 'của nó từ bài tập 1, kiểm tra xem các góc tương ứng của tam giác ban đầu và đối xứng của nó có cùng số đo góc hay không.

Giải: Để xác định số đo của các góc BAC và B'A'C ', trước hết ta sẽ tính tích vô hướng của vectơ AB với AC rồi đến tích vô hướng của A'B' với A'C ' .

Ghi nhớ điều đó:

A = (2, 5), B = (1, 1) và C = (3,3)

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) và C' = (- 3, 3).

Nó có:

AB = <1-2, 1-5> và AC = <3-2, 3-5>

tương tự

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> và AC = <-3 + 2, 3-5>

Sau đó, các sản phẩm vô hướng sau được tìm thấy:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Tương tự

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Số đo của góc BAC là:

∡BAC = ArcCos ( AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC- )) =

ArcCos (7 / (4,123⋅2,236)) = 40,6º

Tương tự, số đo của góc B'A'C 'là:

∡B'A'C '= ArcCos ( A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'- )) =

ArcCos (7 / (4,123⋅2,236)) = 40,6º

Kết luận phép đối xứng trục đó bảo toàn số đo các góc.

Bài tập 4

Cho điểm P có tọa độ (a, b). Tìm tọa độ của phép đối xứng trục P 'của nó với đường thẳng y = x.

Giải: Ta gọi (a ', b') là tọa độ của điểm đối xứng P 'đối với đường thẳng y = x. Trung điểm M của đoạn thẳng PP 'có tọa độ ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) và nằm trên đường thẳng y = x nên đẳng thức sau:

a + a '= b + b'

Mặt khác, đoạn PP 'có hệ số góc -1 vì nó vuông góc với đường thẳng y = x có hệ số góc 1 nên đẳng thức sau:

b - b '= a' -a

Giải hai phương trình a 'và b' bằng nhau trước đó, ta kết luận rằng:

a '= do đó b' = a.

Tức là, cho một điểm P (a, b), phép đối xứng trục của nó với đường thẳng y = x là P '(b, a).

Người giới thiệu

1. Arce M., Blázquez S và những người khác. Các phép biến hình của mặt phẳng. Được khôi phục từ: educationutmxli.files.wordpress.com
2. Tính toán cc. Phép đối xứng trục. Đã khôi phục từ: Calculo.cc
3. Siêu lợi nhuận. Phép đối xứng trục. Được phục hồi từ: superprof.es
4. wikipedia. Phép đối xứng trục. Phục hồi từ: es.wikipedia.com
5. wikipedia. Đối xứng tròn. Khôi phục từ: en.wikipedia.com