LIÊN HỢP NHỊ THỨC: CÁCH GIẢI, VÍ DỤ, BÀI TẬP - TOÁN HỌC - 2026

Một nhị thức liên hợp của một nhị thức khác là một trong đó chúng chỉ được phân biệt bằng một dấu hiệu của phép toán. Nhị thức, như tên gọi của nó, là một cấu trúc đại số bao gồm hai số hạng.

Một số ví dụ về nhị thức là: (a + b), (3m - n) và (5x - y). Và các nhị thức liên hợp tương ứng của chúng là: (a - b), (-3m - n) và (5x + y). Có thể thấy ngay, sự khác biệt nằm ở dấu hiệu.

Hình 1. Một nhị thức và nhị thức liên hợp của nó. Chúng có các điều khoản giống nhau, nhưng khác nhau về dấu hiệu. Nguồn: F. Zapata.

Một nhị thức nhân với liên hợp của nó tạo ra một sản phẩm đáng chú ý được sử dụng rộng rãi trong đại số và khoa học. Kết quả của phép nhân là phép trừ bình phương các số hạng của nhị thức ban đầu.

Ví dụ, (x - y) là một nhị thức và liên hợp của nó là (x + y). Vì vậy, tích của hai nhị thức là hiệu bình phương của các số hạng:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Làm thế nào để bạn giải quyết một nhị thức liên hợp?

Quy tắc đã nêu của nhị thức liên hợp là như sau:

Như một ví dụ về ứng dụng, chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách chứng minh kết quả trước đó, có thể được thực hiện bằng cách sử dụng thuộc tính phân phối của tích đối với tổng đại số.

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - yy

Phép nhân trên thu được bằng cách làm theo các bước sau:

- Số hạng thứ nhất của nhị thức thứ nhất nhân với số hạng thứ nhất của nhị thức.

- Sau đó là đầu tiên của thứ nhất, thứ hai của thứ hai

- Sau đó thứ hai của thứ nhất bằng thứ nhất của thứ hai

- Cuối cùng là thứ hai của thứ nhất bằng thứ hai của thứ hai.

Bây giờ chúng ta hãy thực hiện một thay đổi nhỏ bằng cách sử dụng thuộc tính giao hoán: yx = xy. Nó trông như thế này:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - yy

Vì có hai số hạng bằng nhau nhưng trái dấu (được tô màu và gạch chân) nên chúng bị hủy và đơn giản hóa:

(x - y) (x + y) = xx - yy

Cuối cùng, người ta áp dụng rằng nhân một số với chính nó tương đương với việc nâng nó lên thành bình phương, sao cho xx = x ² và yy = y ² .

Theo cách này, điều đã được chỉ ra trong phần trước được chỉ ra rằng tích của một tổng và hiệu của nó là hiệu của các bình phương:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Hình 2. Một tổng nhân với hiệu của nó là một hiệu của các bình phương. Nguồn: F. Zapata.

Ví dụ

- Nhị thức liên hợp của các biểu thức khác nhau

ví dụ 1

Tìm liên hợp của (y ² - 3y).

Trả lời : (y ² + 3y)

Ví dụ 2

Thu được tích của (y ² - 3y) và cộng hợp của nó.

Đáp số: (y ² - 3y) (y ² + 3y) = (y ² ) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9y ²

Ví dụ 3

Khai triển tích (1 + 2a). (2a -1).

Trả lời: biểu thức trước tương đương với (2a + 1). (2a -1), tức là nó tương ứng với tích của một nhị thức và liên hợp của nó.

Biết rằng tích của một nhị thức với nhị thức liên hợp của nó bằng hiệu của bình phương các số hạng của nhị thức:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

Ví dụ 4

Viết tích (x + y + z) (x - y - z) dưới dạng hiệu của các bình phương.

Trả lời: chúng ta có thể đồng hóa các tam thức trên về dạng nhị thức liên hợp, sử dụng cẩn thận các dấu ngoặc đơn và dấu ngoặc vuông:

(x + y + z) (x - y - z) =

Bằng cách này, sự khác biệt của các hình vuông có thể được áp dụng:

(x + y + z) (x - y - z) =. = x ² - (y + z) ²

Ví dụ 5

Biểu thị tích (m ² - m -1). (M ² + m -1) dưới dạng hiệu của các bình phương.

Trả lời : biểu thức trước là tích của hai tam thức. Trước tiên nó phải được viết lại dưới dạng tích của hai nhị thức liên hợp:

(m ² - m -1) (m ² + m -1) = (m ² - 1 - m) (m ² -1 + m) =.

Chúng tôi áp dụng thực tế rằng tích của một nhị thức bởi liên hợp của nó là hiệu bậc hai của các số hạng của nó, như đã được giải thích:

. = (m ² -1) ² - m ²

Bài tập

Như mọi khi, bạn bắt đầu với các bài tập đơn giản nhất và sau đó tăng mức độ phức tạp.

- Bài tập 1

Viết (9 - đến ² ) dưới dạng một tích.

Giải pháp

Đầu tiên, chúng tôi viết lại biểu thức dưới dạng sự khác biệt của các ô vuông, để áp dụng những gì đã được giải thích trước đó. Như vậy:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² )

Tiếp theo, chúng tôi tính toán, tương đương với việc viết sự khác biệt này của các ô vuông dưới dạng tích, như được yêu cầu trong câu lệnh:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² ) = (3 + a) (3 -a)

- Bài tập 2

Hệ số 16x ² - 9y ⁴ .

Giải pháp

Bao thanh toán một biểu thức có nghĩa là viết nó như một sản phẩm. Trong trường hợp này, cần phải viết lại biểu thức trước đó, để có được sự khác biệt của các bình phương.

Không khó để làm điều này, vì nhìn kỹ, tất cả các yếu tố đều là hình vuông hoàn hảo. Ví dụ 16 là bình phương của 4, 9 là bình phương của 3, và ⁴ là bình phương của y ² và x ² là bình phương của x:

16x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ² ) ²

Sau đó, chúng tôi áp dụng những gì chúng tôi đã biết trước đây: rằng một sự khác biệt của các hình vuông là tích của các nhị thức liên hợp:

(4x) ² - (3 và ² ) ² = (4x - 3 và ² ). (4x + 3 và ² )

- Bài tập 3

Viết (a - b) dưới dạng tích của các nhị thức

Giải pháp

Sự khác biệt ở trên nên được viết là sự khác biệt của các hình vuông

(√a) ² - (√b) ²

Sau đó, người ta áp dụng rằng hiệu của các bình phương là tích của các nhị thức liên hợp

(√a - √b) (√a + √b)

- Bài tập 4

Một trong những ứng dụng của nhị thức liên hợp là hợp lý hóa các biểu thức đại số. Thủ tục này bao gồm việc loại bỏ các gốc của mẫu số của một biểu thức phân số, trong nhiều trường hợp, điều này tạo điều kiện thuận lợi cho các phép toán. Yêu cầu sử dụng nhị thức liên hợp để hợp lý hóa biểu thức sau:

√ (2-x) /

Giải pháp

Việc đầu tiên là xác định nhị thức liên hợp của mẫu số:.

Bây giờ chúng ta nhân tử số và mẫu số của biểu thức ban đầu với nhị thức liên hợp:

√ (2-x) / {.}

Ở mẫu số của biểu thức trước, chúng ta nhận ra tích của một hiệu bằng một tổng, mà chúng ta đã biết tương ứng với hiệu của các bình phương của các nhị thức:

√ (2-x). / {(√3) ² - ² }

Đơn giản mẫu số là:

√ (2-x). / = √ (2-x). / (1 - x)

Bây giờ chúng ta xử lý tử số, mà chúng ta sẽ áp dụng thuộc tính phân phối của sản phẩm đối với tổng:

√ (2-x). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

Trong biểu thức trước, chúng ta nhận ra tích của nhị thức (2-x) bằng liên hợp của nó, là tích đáng chú ý bằng hiệu của các bình phương. Bằng cách này, cuối cùng thu được một biểu thức hợp lý hóa và đơn giản hóa:

/ (1 - x)

- Bài tập 5

Khai triển sản phẩm sau, sử dụng các tính chất của nhị thức liên hợp:

.

Giải pháp

4a ^{(2x + 6y)} - 9a ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x) .a ^(6y) - 9a ^(2x) .a ^(-6y) = .a ^(2x)

Người đọc chú ý sẽ nhận thấy yếu tố chung đã được làm nổi bật bằng màu sắc.

Người giới thiệu

1. Baldor, A. 1991. Đại số. Editorial Cultural Venezolana SA
2. González J. Bài tập về nhị thức liên hợp. Được khôi phục từ: academia.edu.
3. Giáo viên dạy toán Alex. Sản phẩm đáng chú ý. Khôi phục từ youtube.com.
4. Math2me. Nhị thức liên hợp / sản phẩm đáng chú ý. Khôi phục từ youtube.com.
5. Tích của nhị thức liên hợp. Đã khôi phục từ: lms.colbachenlinea.mx.
6. Sinh lực. Nhị thức liên hợp. Khôi phục từ: youtube.com.