- Các phép gần đúng sử dụng vi sai
- Có cách nào gần đúng hơn không?
- Chiến lược
- Bài tập xấp xỉ đã giải
- Bài tập đầu tiên
- Bài tập thứ hai
- Bài tập thứ ba
- Bài tập thứ tư
- Người giới thiệu
Một giá trị gần đúng trong toán học là một con số không phải là giá trị chính xác của một thứ gì đó, nhưng gần với nó đến mức nó được coi là hữu ích như giá trị chính xác đó.
Khi tính gần đúng được thực hiện trong toán học, đó là bởi vì rất khó (hoặc đôi khi không thể) để biết giá trị chính xác của những gì bạn muốn theo cách thủ công.
Công cụ chính khi làm việc với xấp xỉ là vi phân của một hàm.
Vi phân của hàm f, được ký hiệu là Δf (x), không gì khác hơn là đạo hàm của hàm f nhân với sự thay đổi trong biến độc lập, nghĩa là, Δf (x) = f '(x) * Δx.
Đôi khi df và dx được sử dụng thay cho Δf và Δx.
Các phép gần đúng sử dụng vi sai
Công thức được áp dụng để thực hiện tính gần đúng thông qua vi phân phát sinh chính xác từ định nghĩa đạo hàm của một hàm dưới dạng giới hạn.
Công thức này được đưa ra bởi:
f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.
Ở đây người ta hiểu rằng Δx = x-x0, do đó x = x0 + Δx. Sử dụng công thức này có thể được viết lại thành
f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.
Cần lưu ý rằng "x0" không phải là một giá trị tùy ý, mà là một giá trị sao cho f (x0) dễ dàng biết được; hơn nữa, "f (x)" chỉ là giá trị mà chúng ta muốn gần đúng.
Có cách nào gần đúng hơn không?
Câu trả lời là có. Trên đây là đơn giản nhất của phép gần đúng được gọi là "xấp xỉ tuyến tính".
Để có các phép gần đúng có chất lượng tốt hơn (sai số được tạo ra ít hơn), đa thức có nhiều đạo hàm hơn được gọi là "đa thức Taylor" được sử dụng, cũng như các phương pháp số khác như phương pháp Newton-Raphson và các phương pháp khác.
Chiến lược
Chiến lược cần tuân theo là:
- Chọn một hàm f phù hợp để thực hiện xấp xỉ và giá trị «x» sao cho f (x) là giá trị gần đúng.
- Chọn một giá trị "x0", gần với "x", sao cho f (x0) dễ tính.
- Tính Δx = x-x0.
- Tính đạo hàm của hàm số y f '(x0).
- Thay thế dữ liệu trong công thức.
Bài tập xấp xỉ đã giải
Trong những gì tiếp tục, có một loạt các bài tập trong đó các phép tính gần đúng được thực hiện bằng cách sử dụng vi phân.
Bài tập đầu tiên
Khoảng √3.
Giải pháp
Sau chiến lược, một chức năng phù hợp phải được chọn. Trong trường hợp này, có thể thấy rằng hàm cần chọn phải là f (x) = √x và giá trị cần gần đúng là f (3) = √3.
Bây giờ chúng ta phải chọn một giá trị "x0" gần với "3" sao cho f (x0) dễ tính. Nếu "x0 = 2" được chọn, thì "x0" gần với "3" nhưng f (x0) = f (2) = √2 không dễ tính.
Giá trị thích hợp của "x0" là "4", vì "4" gần với "3" và f (x0) = f (4) = √4 = 2.
Nếu "x = 3" và "x0 = 4" thì Δx = 3-4 = -1. Bây giờ chúng ta tiến hành tính đạo hàm của f. Tức là, f '(x) = 1/2 * √x, do đó f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.
Thay thế tất cả các giá trị trong công thức bạn nhận được:
√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.
Nếu bạn sử dụng máy tính, bạn sẽ nhận được rằng √3≈1,73205… Điều này cho thấy rằng kết quả trước đó là một giá trị gần đúng chính xác.
Bài tập thứ hai
Khoảng √10.
Giải pháp
Như trước đây, f (x) = √xy được chọn là một hàm, trong trường hợp này là x = 10.
Giá trị x0 cần chọn lúc này là "x0 = 9". Khi đó ta có Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 và f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.
Khi đánh giá trong công thức, nó nhận được rằng
√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3,1666…
Sử dụng máy tính, người ta thu được √10 ≈ 3,1622776… Ở đây cũng có thể thấy rằng một xấp xỉ tốt đã được thu được trước đó.
Bài tập thứ ba
Tính gần đúng ³√10, trong đó ³√ biểu thị căn bậc hai.
Giải pháp
Rõ ràng hàm được sử dụng trong bài tập này là f (x) = ³√x và giá trị của "x" phải là "10".
Một giá trị gần với "10" sao cho biết gốc lập phương của nó là "x0 = 8". Khi đó ta có Δx = 10-8 = 2 và f (x0) = f (8) = 2. Ta cũng có f '(x) = 1/3 * ³√x², và do đó f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.
Thay thế dữ liệu trong công thức, ta nhận được rằng:
³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666….
Máy tính nói rằng ³√10 ≈ 2,15443469… Do đó, xấp xỉ tìm được là tốt.
Bài tập thứ tư
Tính gần đúng ln (1.3), trong đó "ln" biểu thị hàm logarit tự nhiên.
Giải pháp
Đầu tiên chúng ta chọn là một hàm f (x) = ln (x) và giá trị của "x" là 1,3. Bây giờ, biết một chút về hàm logarit, chúng ta có thể biết rằng ln (1) = 0, và hơn nữa "1" gần với "1,3". Do đó, "x0 = 1" được chọn và do đó Δx = 1,3 - 1 = 0,3.
Mặt khác f '(x) = 1 / x, do đó f' (1) = 1. Khi đánh giá trong công thức đã cho, chúng ta có:
ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.
Sử dụng máy tính, chúng ta có ln (1.3) ≈ 0.262364… Vì vậy, tính gần đúng được thực hiện là tốt.
Người giới thiệu
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Toán học Precalculus. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Toán học Precalculus: một cách tiếp cận giải quyết vấn đề (2, Ấn bản có minh họa). Michigan: Hội trường Prentice.
- Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Đại số và lượng giác với hình học giải tích. Giáo dục Pearson.
- Larson, R. (2010). Precalculus (8 ấn bản). Học tập Cengage.
- Leal, JM & Viloria, NG (2005). Hình học Giải tích Mặt phẳng. Mérida - Venezuela: Biên tập Venezolana CA
- Pérez, CD (2006). Tính toán trước. Giáo dục Pearson.
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Giải tích (Xuất bản lần thứ chín). Sảnh Prentice.
- Saenz, J. (2005). Phép tính vi phân với các hàm siêu việt ban đầu dành cho Khoa học và Kỹ thuật (Phiên bản thứ hai xuất bản). Cạnh huyền.
- Scott, CA (2009). Hình học Mặt phẳng Descartes, Phần: Giải tích Conics (1907) (tái bản ed.). Nguồn sét.
- Sullivan, M. (1997). Tính toán trước. Giáo dục Pearson.