- Thuộc tính đảo ngược
- Tích phân bất định
- Các ý nghĩa khác của hằng số tích hợp
- Hằng số của tích phân được tính như thế nào?
- Ví dụ
- ví dụ 1
- Ví dụ 2
- Ví dụ 3
- Bài tập đề xuất
- Bài tập 1
- Bài tập 2
- Bài tập 3
- Bài tập 4
- Người giới thiệu
Các liên tục hội nhập là một giá trị gia tăng để tính nguyên hàm hay tích phân, nó phục vụ để đại diện cho các giải pháp tạo nên nguyên thủy của một hàm. Nó thể hiện sự mơ hồ cố hữu khi bất kỳ hàm nào cũng có vô số nguyên hàm.
Ví dụ, nếu chúng ta lấy hàm: f (x) = 2x + 1 và chúng ta nhận được đạo hàm của nó:
∫ (2x + 1) dx = x 2 + x + C ; Trong đó C là hằng số tích phân và biểu diễn bằng đồ thị phép tịnh tiến dọc giữa các khả năng vô hạn của nguyên hàm. Đúng khi nói rằng (x 2 + x) là một trong những nguyên hàm của f (x).
Nguồn: tác giả
Tương tự ta có thể định nghĩa (x 2 + x + C ) là nguyên hàm của f (x).
Thuộc tính đảo ngược
Có thể lưu ý rằng khi suy ra biểu thức (x 2 + x) thì hàm số f (x) = 2x + 1. Điều này là do tính chất nghịch đảo tồn tại giữa đạo hàm và tích phân của hàm số. Thuộc tính này cho phép lấy các công thức tích hợp bắt đầu từ sự phân biệt. Điều này cho phép xác minh các tích phân thông qua các đạo hàm giống nhau.
Nguồn: tác giả
Tuy nhiên (x 2 + x) không phải là hàm duy nhất có đạo hàm bằng (2x + 1).
- d (x 2 + x) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 1) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 2) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 3) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + C ) / dx = 2x + 1
Trong đó 1, 2, 3 và 4 đại diện cho các nguyên hàm cụ thể của f (x) = 2x + 1. Trong khi 5 đại diện cho tích phân bất định hoặc nguyên hàm của f (x) = 2x + 1.
Nguồn: tác giả
Các nguyên thủy của một hàm được thực hiện thông qua quá trình khử nguyên hàm hoặc tích phân. Trong đó F sẽ là một nguyên hàm của f nếu điều sau là đúng
- y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = hằng số tích hợp
- F '(x) = f (x)
Có thể thấy rằng một hàm có một đạo hàm duy nhất, không giống như các nguyên hàm vô hạn của nó là kết quả của tích phân.
Tích phân bất định
∫ f (x) dx = F (x) + C
Nó tương ứng với một họ các đường cong có cùng một mẫu, trải nghiệm sự không giống nhau về giá trị của hình ảnh của mỗi điểm (x, y). Mỗi hàm đáp ứng mẫu này sẽ là một nguyên hàm riêng lẻ và tập hợp tất cả các hàm được gọi là một tích phân không xác định.
Giá trị của hằng số tích phân sẽ là giá trị phân biệt từng hàm trong thực tế.
Các hằng số tích hợp cho thấy một sự thay đổi dọc trong tất cả các đồ thị đại diện cho nguyên thủy của một hàm. Trường hợp quan sát được sự song song giữa chúng và thực tế rằng C là giá trị của độ dịch chuyển.
Theo thông lệ phổ biến, hằng số tích phân được ký hiệu bằng chữ "C" sau một phụ tố, mặc dù trong thực tế, không quan tâm đến việc hằng số được cộng hay trừ. Giá trị thực của nó có thể được tìm thấy theo nhiều cách khác nhau trong các điều kiện ban đầu khác nhau .
Các ý nghĩa khác của hằng số tích hợp
Người ta đã thảo luận về cách áp dụng hằng số tích phân trong nhánh của phép tính tích phân ; Biểu diễn họ đường cong xác định tích phân bất định. Nhưng nhiều ngành khoa học và ngành khác đã gán những giá trị rất thú vị và thiết thực của sự liên tục tích hợp, điều này đã tạo điều kiện cho sự phát triển của nhiều nghiên cứu.
Trong vật lý , hằng số tích hợp có thể nhận nhiều giá trị tùy thuộc vào bản chất của dữ liệu. Một ví dụ rất phổ biến là biết hàm V (t) biểu thị vận tốc của hạt so với thời gian t. Biết rằng khi tính một nguyên hàm của V (t), hàm R (t) thu được biểu thị vị trí của hạt so với thời gian.
Các liên tục hội nhập sẽ đại diện cho giá trị của vị trí ban đầu, có nghĩa là, tại thời điểm t = 0.
Theo cách tương tự, nếu biết hàm A (t) biểu thị gia tốc của hạt so với thời gian. Nguyên hàm của A (t) sẽ dẫn đến hàm V (t), trong đó hằng số tích phân sẽ là giá trị của vận tốc ban đầu V 0 .
Trong kinh tế học , bằng cách lấy tích phân nguyên thủy của một hàm chi phí. Các liên tục hội nhập sẽ đại diện cho các chi phí cố định. Và rất nhiều ứng dụng khác mà tính vi phân và tích phân đáng giá.
Hằng số của tích phân được tính như thế nào?
Để tính hằng số tích phân, luôn cần biết các điều kiện ban đầu . Cái nào chịu trách nhiệm xác định cái nào trong số các nguyên thủy có thể có là nguyên tương ứng.
Trong nhiều ứng dụng, nó được coi như một biến độc lập tại thời điểm (t), trong đó hằng số C nhận các giá trị xác định các điều kiện ban đầu của trường hợp cụ thể.
Nếu chúng ta lấy ví dụ ban đầu: ∫ (2x + 1) dx = x 2 + x + C
Điều kiện ban đầu hợp lệ có thể là điều kiện để đồ thị đi qua một tọa độ cụ thể. Ví dụ, chúng ta biết rằng nguyên hàm (x 2 + x + C) đi qua điểm (1, 2)
F (x) = x 2 + x + C; đây là giải pháp chung
F (1) = 2
Chúng tôi thay thế giải pháp chung bằng bình đẳng này
F (1) = (1) 2 + (1) + C = 2
Từ đó nó dễ dàng theo sau rằng C = 0
Theo cách này, nguyên hàm tương ứng cho trường hợp này là F (x) = x 2 + x
Có một số dạng bài tập số làm việc với các hằng số tích phân . Trên thực tế, phép tính vi phân và tích phân không ngừng được áp dụng trong các nghiên cứu hiện nay. Ở các cấp học khác nhau, chúng có thể được tìm thấy; từ tính toán ban đầu, thông qua vật lý, hóa học, sinh học, kinh tế học, v.v.
Nó cũng được đánh giá cao trong việc nghiên cứu các phương trình vi phân , trong đó hằng số tích phân có thể nhận các giá trị và nghiệm khác nhau, điều này do có nhiều đạo hàm và tích phân được thực hiện trong vấn đề này.
Ví dụ
ví dụ 1
- Một khẩu pháo ở độ cao 30 mét bắn một đường đạn theo phương thẳng đứng lên trên. Vận tốc ban đầu của đạn được biết là 25 m / s. Quyết định:
- Chức năng xác định vị trí của đường đạn theo thời gian.
- Thời điểm bay hoặc tức thời khi hạt chạm đất.
Biết rằng trong chuyển động thẳng biến đổi đều, gia tốc là một giá trị không đổi. Đây là trường hợp phóng đạn, nơi gia tốc sẽ là trọng lực
g = - 10 m / s 2
Người ta cũng biết rằng gia tốc là đạo hàm cấp hai của vị trí, cho thấy một tích phân kép trong việc giải bài tập, do đó có được hai hằng số tích phân.
A (t) = -10
V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C 1
Điều kiện ban đầu của bài tập cho biết vận tốc ban đầu là V 0 = 25 m / s. Đây là vận tốc tại thời điểm t = 0. Theo cách này, ta thỏa mãn rằng:
V (0) = 25 = -10 (0) + C 1 và C 1 = 25
Với hàm vận tốc được xác định
V (t) = -10t + 25; Sự tương tự có thể được quan sát với công thức MRUV (V f = V 0 + axt)
Theo cách tương đồng, chúng ta tiến hành tích phân hàm vận tốc để thu được biểu thức xác định vị trí:
R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t 2 + 25t + C 2
R (t) = -5t 2 + 25t + C 2 (vị trí nguyên thủy)
Biết vị trí ban đầu R (0) = 30 m. Sau đó, giá trị nguyên thủy cụ thể của đường đạn được tính toán.
R (0) = 30m = -5 (0) 2 + 25 (0) + C 2 . Trong đó C 2 = 30
Ví dụ 2
- Tìm nguyên hàm f (x) thỏa mãn các điều kiện ban đầu:
- f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7
Với thông tin của đạo hàm cấp hai f '' (x) = 4, quá trình ngược dòng bắt đầu
f '(x) = ∫f' '(x) dx
∫4 dx = 4x + C 1
Khi đó, biết điều kiện f '(2) = 2, ta tiến hành:
4 (2) + C 1 = 2
C 1 = -6 và f '(x) = 4x - 8
Chúng tôi tiến hành theo cách tương tự đối với hằng số tích hợp thứ hai
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x 2 - 8x + C 2
Điều kiện ban đầu f (0) = 7 đã biết và chúng ta tiến hành:
2 (0) 2 - 8 (0) + C 2 = 7
C 2 = 7 và f (x) = 2x 2 - 8x + 7
- f '' (x) = x 2 ; f '(0) = 6; f (0) = 3
Tương tự như bài toán trước, chúng ta xác định các đạo hàm bậc nhất và nguyên hàm từ các điều kiện ban đầu.
f '(x) = ∫f' '(x) dx
∫ (x 2 ) dx = (x 3 /3) + C 1
Với điều kiện f '(0) = 6 ta tiến hành:
(0 3/3 ) + C 1 = 6; Trong trường hợp C 1 = 6 và f '(x) = (x 3 /3) + 6
Sau đó, hằng số tích hợp thứ hai
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ dx = (x 4 /12) + 6x + C 2
Điều kiện ban đầu f (0) = 3 đã biết và chúng ta tiến hành:
+ 6 (0) + C 2 = 3; Trong đó C 2 = 3
Vì vậy, chúng tôi có được
f (x) = (x 4 /12) + 6x + 3
Ví dụ 3
- Xác định các hàm nguyên thủy đã cho có đạo hàm và một điểm trên đồ thị:
- dy / dx = 2x - 2 đi qua điểm (3, 2)
Điều quan trọng cần nhớ là đạo hàm đề cập đến hệ số góc của đường thẳng tiếp tuyến với đường cong tại một điểm nhất định. Trường hợp không đúng khi cho rằng đồ thị của đạo hàm chạm vào điểm đã chỉ ra, vì đây thuộc về đồ thị của hàm nguyên hàm.
Bằng cách này, chúng ta biểu diễn phương trình vi phân như sau:
∫dy = ∫ (2x - 2) dx
Áp dụng điều kiện ban đầu:
2 = (3) 2 - 2 (3) + C
C = -1
Nó thu được: f (x) = x 2 - 2x - 1
- dy / dx = 3x 2 - 1 đi qua điểm (0, 2)
Chúng tôi biểu diễn phương trình vi phân như sau:
Áp dụng điều kiện ban đầu:
2 = (0) 2 - 2 (0) + C
C = 2
Ta thu được: f (x) = x 3 - x + 2
Bài tập đề xuất
Bài tập 1
- Tìm nguyên hàm f (x) thỏa mãn các điều kiện ban đầu:
- f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
- f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
- f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
- f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8
Bài tập 2
- Khí cầu bay lên với vận tốc 16 ft / s thả một túi cát từ độ cao 64 ft so với mặt đất.
- Xác định thời gian chuyến bay
- Vectơ V f sẽ là bao nhiêu khi nó chạm đất?
Bài tập 3
- Hình bên là đồ thị gia tốc - thời gian của một ô tô chuyển động theo chiều dương của trục x. Xe đang đi với vận tốc không đổi là 54 km / h thì người lái xe đạp phanh thì dừng lại sau 10 giây. Mục đích:
- Gia tốc ban đầu của ô tô
- Vận tốc của ô tô lúc t = 5s
- Sự dịch chuyển của ô tô khi phanh
Nguồn: tác giả
Bài tập 4
- Xác định các hàm nguyên thủy đã cho có đạo hàm và một điểm trên đồ thị:
- dy / dx = x đi qua điểm (-1, 4)
- dy / dx = -x 2 + 1 đi qua điểm (0, 0)
- dy / dx = -x + 1 đi qua điểm (-2, 2)
Người giới thiệu
- Tích phân tích. Các phương pháp tích phân và tích phân không xác định. Wilson, Velásquez Bastidas. Đại học Magdalena 2014
- Stewart, J. (2001). Tính toán của một biến. Siêu việt sơ khai. Mexico: Thomson Learning.
- Jiménez, R. (2011). Toán học VI. Tích phân tích. Mexico: Pearson Education.
- Đồi Vật lý I. Mc Graw