- Thay đổi tọa độ
- Cơ sở vectơ trong tọa độ trụ
- Ví dụ
- ví dụ 1
- Ví dụ 2
- Bài tập đã giải
- Bài tập 1
- Bài tập 2
- Bài tập 3
- Bài tập 4
- Người giới thiệu
Các tọa độ hình trụ được sử dụng để xác định vị trí các điểm trong không gian ba chiều và bao gồm một Radial phối hợp ρ, φ phương vị phối hợp và z phối hợp của chiều cao.
Một điểm P nằm trong không gian được chiếu trực giao lên mặt phẳng XY sinh ra điểm P 'trong mặt phẳng đó. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm P 'xác định tọa độ ρ, còn góc mà trục X tạo với tia OP' xác định tọa độ φ. Cuối cùng, tọa độ z là hình chiếu trực giao của điểm P trên trục Z. (xem hình 1).
Hình 1. Điểm P thuộc tọa độ trụ (ρ, φ, z). (Công phu riêng)
Tọa độ xuyên tâm ρ luôn dương, tọa độ phương vị φ thay đổi từ 0 radian đến hai radian pi, trong khi tọa độ z có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào:
0 ≤ ρ <∞
0 ≤ φ <2π
- ∞ <z <+ ∞
Thay đổi tọa độ
Tương đối dễ dàng lấy được tọa độ Descartes (x, y, z) của một điểm P từ tọa độ trụ (ρ, φ, z) của nó:
x = ρ cos (φ)
y = ρ sin (φ)
z = z
Nhưng cũng có thể lấy tọa độ cực (ρ, φ, z) bắt đầu từ kiến thức về tọa độ Descartes (x, y, z) của một điểm P:
ρ = √ (x 2 + y 2 )
φ = arctan (y / x)
z = z
Cơ sở vectơ trong tọa độ trụ
Cơ sở của các vectơ đơn vị hình trụ Uρ , Uφ , Uz được xác định .
Vectơ Uρ là tiếp tuyến của đường thẳng c = ctte và z = ctte (hướng ra ngoài), vectơ Uφ là tiếp tuyến của đường ρ = ctte và z = ctte và cuối cùng là Uz có cùng phương với trục Z.
Hình 2. Cơ sở tọa độ hình trụ. (wikimedia commons)
Trong cơ sở đơn vị hình trụ, vectơ vị trí r của một điểm P được viết dưới dạng vectơ như sau:
r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz
Mặt khác, độ dịch chuyển vô cực d r từ điểm P được biểu thị như sau:
d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz
Tương tự, một phần tử vô cùng của thể tích dV trong tọa độ trụ là:
dV = ρ dρ dφ dz
Ví dụ
Có vô số ví dụ về việc sử dụng và ứng dụng của tọa độ trụ. Ví dụ, trong bản đồ học, phép chiếu hình trụ được sử dụng, dựa chính xác vào các tọa độ này. Có nhiều ví dụ khác:
ví dụ 1
Tọa độ hình trụ có ứng dụng trong công nghệ. Ví dụ, chúng ta có hệ thống CHS (Cylinder-Head-Sector) vị trí dữ liệu trên đĩa cứng, thực sự bao gồm một số đĩa:
- Hình trụ hoặc đường ray tương ứng với tọa độ ρ.
- Khu vực ứng với vị trí φ của đĩa quay với tốc độ góc lớn.
- Đầu tương ứng với vị trí z của đầu đọc trên đĩa tương ứng.
Mỗi byte thông tin có một địa chỉ chính xác trong các tọa độ trụ (C, S, H).
Hình 2. Vị trí của thông tin trong hệ tọa độ trụ trên hệ thống đĩa cứng. (wikimedia commons)
Ví dụ 2
Cần trục thi công cố định vị trí của tải trọng theo hệ tọa độ trụ. Vị trí nằm ngang được xác định bởi khoảng cách đến trục hoặc mũi tên của cần trục ρ và bởi vị trí góc của nó φ đối với một số trục tham chiếu. Vị trí thẳng đứng của tải được xác định bởi tọa độ z của chiều cao.
Hình 3. Vị trí của tải trọng trên cần trục xây dựng có thể dễ dàng được biểu thị bằng hệ tọa độ trụ. (Ảnh Pixabay - Chú thích R. Pérez)
Bài tập đã giải
Bài tập 1
Có các điểm P1 có tọa độ trụ (3, 120º, -4) và điểm P2 có tọa độ trụ (2, 90º, 5). Tìm khoảng cách Ơclit giữa hai điểm này.
Giải pháp: Đầu tiên, chúng ta tiến hành tìm tọa độ Descartes của mỗi điểm theo công thức đã cho ở trên.
P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)
P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)
Khoảng cách Ơclit giữa P1 và P2 là:
d (P1, P2) = √ ((0 - (-1,5)) 2 + (2 - 2,60) 2 + (5 - (- 4)) 2 ) =…
… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14
Bài tập 2
Điểm P có tọa độ Descartes (-3, 4, 2). Tìm tọa độ trụ tương ứng.
Giải: Ta tiến hành tìm tọa độ trụ bằng cách sử dụng các quan hệ đã cho ở trên:
ρ = √ (x 2 + y 2 ) = √ ((- 3) 2 + 4 2 ) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5
φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º
z = 2
Cần nhớ rằng hàm arctangent là đa giá trị với chu kỳ 180º. Ngoài ra, góc φ phải thuộc góc phần tư thứ hai, vì tọa độ x và y của điểm P nằm trong góc phần tư đó. Đây là lý do tại sao 180º đã được thêm vào kết quả φ.
Bài tập 3
Biểu thị bằng tọa độ trụ và tọa độ Descartes bề mặt của một hình trụ có bán kính 2 và có trục của nó trùng với trục Z.
Giải: Người ta hiểu rằng hình trụ có độ dãn vô hạn theo phương z, nên phương trình của mặt đó trong hệ tọa độ hình trụ là:
ρ = 2
Để có được phương trình Descartes của mặt trụ, bình phương của cả hai phần tử của phương trình trước đó được lấy:
ρ 2 = 4
Chúng tôi nhân với 1 cả hai thành viên của đẳng thức trước đó và áp dụng đồng dạng lượng giác cơ bản (sin 2 (φ) + cos 2 (φ) = 1):
1 * ρ 2 = 1 * 4
(sin 2 (φ) + cos 2 (φ)) * ρ 2 = 1 * 4
Dấu ngoặc đơn được phát triển để lấy:
(ρ sin (φ)) 2 + (ρ cos (φ)) 2 = 4
Chúng ta nhớ rằng dấu ngoặc đơn đầu tiên (ρ sin (φ)) là tọa độ y của một điểm trong tọa độ cực, trong khi dấu ngoặc đơn (ρ cos (φ)) đại diện cho tọa độ x, do đó chúng ta có phương trình của hình trụ trong tọa độ Descartes:
y 2 + x 2 = 2 2
Không nên nhầm phương trình trên với phương trình của chu vi trong mặt phẳng XY, vì trong trường hợp này, nó sẽ giống như sau: {y 2 + x 2 = 2 2 ; z = 0}.
Bài tập 4
Một hình trụ bán kính R = 1 m và chiều cao H = 1m có khối lượng của nó phân bố hướng tâm theo phương trình sau D (ρ) = C (1 - ρ / R) trong đó C là hằng số có giá trị C = 1 kg / m 3 . Tìm khối lượng toàn phần của khối trụ tính bằng kilôgam.
Giải pháp: Điều đầu tiên là nhận ra rằng hàm D (ρ) đại diện cho mật độ khối lượng thể tích, và mật độ khối lượng được phân bố trong các vỏ hình trụ có mật độ giảm dần từ tâm ra ngoại vi. Một phần tử nhỏ nhất của thể tích theo tính chất đối xứng của bài toán là:
dV = ρ dρ 2π H
Do đó, khối lượng vô cùng nhỏ của một vỏ hình trụ sẽ là:
dM = D (ρ) dV
Do đó, tổng khối lượng của hình trụ sẽ được biểu thị bằng tích phân xác định sau:
M = ∫ hoặc R D (ρ) dV = ∫ hoặc R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ hoặc R (1 - ρ / R) ρ dρ
Giải pháp của tích phân được chỉ ra không khó để có được, kết quả của nó là:
∫ hoặc R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R 2
Kết hợp kết quả này với biểu thức khối lượng của hình trụ, chúng ta thu được:
M = 2π HC (⅙) R 2 = ⅓ π HCR 2 =
⅓ π 1m * 1kg / m 3 * 1m 2 = π / 3 kg ≈ 1,05 kg
Người giới thiệu
- Arfken G và Weber H. (2012). Phương pháp toán học cho các nhà vật lý. Hướng dẫn toàn diện. Phiên bản thứ 7. Báo chí Học thuật. ISBN 978-0-12-384654-9
- Tính toán cc. Các bài toán về tọa độ trụ và cầu đã giải. Đã khôi phục từ: Calculo.cc
- Weisstein, Eric W. "Tọa độ Hình trụ." Từ MathWorld - Một Web Wolfram. Được khôi phục từ: mathworld.wolfram.com
- wikipedia. Hệ tọa độ hình trụ. Khôi phục từ: en.wikipedia.com
- wikipedia. Trường vectơ trong hệ tọa độ hình trụ và hình cầu. Khôi phục từ: en.wikipedia.com