TỨ GIÁC: CÁC YẾU TỐ, TÍNH CHẤT, PHÂN LOẠI, VÍ DỤ - TOÁN HỌC - 2026

Một tứ giác là một đa giác với bốn cạnh và bốn đỉnh. Các cạnh đối diện của nó là những cạnh không có đỉnh chung, trong khi các cạnh liên tiếp là những cạnh có một đỉnh chung.

Trong một tứ giác, các góc kề nhau có chung một cạnh, còn các góc đối diện thì không có cạnh nào chung. Một đặc điểm quan trọng khác của hình tứ giác là tổng của bốn góc trong của nó gấp đôi góc mặt phẳng, nghĩa là 360º hoặc 2π radian.

Hình 1. Các tứ giác khác nhau. Nguồn: F. Zapata.

Đường chéo là các đoạn nối một đỉnh với đỉnh đối diện của nó và trong một tứ giác đã cho, có thể vẽ một đường chéo duy nhất từ ​​mỗi đỉnh. Tổng số đường chéo trong một tứ giác là hai.

Hình tứ giác là hình được nhân loại biết đến từ thời cổ đại. Các ghi chép khảo cổ học, cũng như các công trình xây dựng còn tồn tại đến ngày nay đã chứng minh điều này.

Tương tự như vậy, ngày nay tứ giác vẫn tiếp tục hiện diện quan trọng trong cuộc sống hàng ngày của mọi người. Người đọc có thể tìm thấy biểu mẫu này trên màn hình mà anh ta đang đọc văn bản ngay lúc này, trên cửa sổ, cửa ra vào, bộ phận ô tô và vô số nơi khác.

Phân loại tứ giác

Theo độ song song của các cạnh đối diện, các tứ giác được phân loại như sau:

1. Hình thang, khi không có đáy là hình bình hành và là tứ giác lồi.
2. Hình thang khi có một cặp cạnh đối diện là song song.
3. Hình bình hành khi các cạnh đối diện của nó song song với nhau bằng hai cạnh.

Hình 2. Phân loại và phân lớp của tứ giác. Nguồn: Wikimedia Commons.

Các dạng hình bình hành

Lần lượt, các hình bình hành có thể được phân loại theo các góc và các cạnh của chúng như sau:

1. Hình chữ nhật là hình bình hành có bốn góc trong bằng số đo của nó. Các góc bên trong của một hình chữ nhật tạo thành một góc vuông (90º).
2. Hình vuông, nó là một hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau.
3. Hình thoi là hình bình hành có bốn cạnh bằng nhau nhưng khác góc kề nhau.
4. Hình thoi, hình bình hành có các góc kề nhau.

Bẫy

Hình thang là tứ giác lồi có hai cạnh bên song song.

Hình 3. Căn, cạnh, chiều cao và đường trung bình của hình thang. Nguồn: Wikimedia Commons.

- Trong hình thang, các cạnh bên song song gọi là đáy và các cạnh bên không song song gọi là hình bên.

- Chiều cao của hình thang là khoảng cách giữa hai đáy, tức là độ dài của đoạn thẳng có hai đáy và vuông góc với chúng. Đoạn này còn được gọi là chiều cao của hình thang.

- Đường trung trực là đoạn nối các trung điểm của các cạnh bên. Có thể chứng minh rằng đường trung bình song song với đáy của hình thang và độ dài của nó bằng bán kính của đáy.

- Diện tích hình thang là chiều cao nhân với nửa tổng của các đáy:

Các loại hình thang

- Hình thang chữ nhật : là hình có cạnh bên vuông góc với đáy. Cạnh này cũng là chiều cao của hình thang.

-Hình thang cân : là hình có độ dài các cạnh bằng nhau. Trong một hình thang cân, các góc ở cạnh đáy bằng nhau.

-Scalene hình thang : hình thang có các cạnh có độ dài khác nhau. Các góc đối diện của nó có thể là góc nhọn và góc tù khác, nhưng cũng có thể xảy ra cả hai góc tù hoặc cả hai góc nhọn.

Hình 4. Các loại hình thang. Nguồn: F. Zapata.

Hình bình hành

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối diện song song với nhau bằng hai cạnh. Trong một hình bình hành, các góc đối diện bằng nhau và các góc kề phụ nhau, hay nói cách khác, các góc kề nhau bằng 180º.

Nếu một hình bình hành có một góc vuông thì tất cả các góc khác cũng vậy, và hình thu được được gọi là hình chữ nhật. Nhưng nếu hình chữ nhật cũng có các cạnh kề cùng chiều dài, thì tất cả các cạnh của nó bằng nhau và hình thu được là hình vuông.

Hình 5. Hình bình hành. Hình chữ nhật, hình vuông và hình thoi là những hình bình hành. Nguồn: F. Zapata.

Khi một hình bình hành có hai cạnh kề cùng độ dài thì tất cả các cạnh của nó sẽ có cùng độ dài và hình thu được là một hình thoi.

Đường cao của hình bình hành là đoạn thẳng có các cạnh đối diện và vuông góc với chúng.

Diện tích hình bình hành

Diện tích hình bình hành là tích của đáy nhân với chiều cao, đáy là một cạnh vuông góc với chiều cao (hình 6).

Các đường chéo của một hình bình hành

Bình phương của đường chéo bắt đầu từ một đỉnh bằng tổng bình phương của hai cạnh kề với đỉnh đó cộng với tích nhân đôi của các cạnh đó theo cosin của góc của đỉnh đó:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

Hình 6. Hình bình hành. Góc đối diện, chiều cao, đường chéo. Nguồn: F. Zapata.

Bình phương của đường chéo đối diện với đỉnh của một hình bình hành bằng tổng bình phương của hai cạnh kề với đỉnh đó và trừ tích nhân đôi của các cạnh đó theo côsin của góc của đỉnh đó:

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

Luật hình bình hành

Trong bất kỳ hình bình hành nào, tổng bình phương các cạnh của nó bằng tổng bình phương các đường chéo:

a ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

lại ctángulo

Hình chữ nhật là một tứ giác có các cạnh đối diện của nó song song với nhau bằng hai cạnh và cũng có một góc vuông. Nói cách khác, hình chữ nhật là một dạng của hình bình hành có một góc vuông. Vì là hình bình hành nên hình chữ nhật có các cạnh đối diện bằng nhau là a = c và b = d.

Nhưng như trong bất kỳ hình bình hành nào, các góc kề nhau là phụ và các góc đối diện bằng nhau, trong hình chữ nhật vì nó có một góc vuông nên nó nhất thiết sẽ tạo thành góc vuông trong ba góc còn lại. Nói cách khác, trong một hình chữ nhật, tất cả các góc bên trong đo 90º hoặc π / 2 radian.

Đường chéo của hình chữ nhật

Trong một hình chữ nhật, các đường chéo có độ dài bằng nhau, như sẽ được minh họa bên dưới. Lý do là như sau; Hình chữ nhật là một hình bình hành với tất cả các góc vuông của nó và do đó thừa hưởng tất cả các tính chất của hình bình hành, bao gồm công thức cung cấp độ dài của các đường chéo:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

với α = 90º

Vì Cos (90º) = 0, nên điều đó xảy ra:

f ² = g ² = a ² + d ²

Tức là f = g, và do đó độ dài f và g của hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau và độ dài của chúng được cho bởi:

Hơn nữa, nếu trong một hình chữ nhật có các cạnh liền kề a và b, một cạnh được lấy làm cơ sở thì cạnh còn lại sẽ là chiều cao và do đó diện tích của hình chữ nhật sẽ là:

Diện tích hình chữ nhật = ax b.

Chu vi là tổng của tất cả các cạnh của hình chữ nhật, nhưng vì các cạnh đối diện bằng nhau nên đối với hình chữ nhật có cạnh a và b thì chu vi được cho bởi công thức sau:

Chu vi hình chữ nhật = 2 (a + b)

Hình 7. Hình chữ nhật có cạnh a và b. Hai đường chéo f và g có độ dài bằng nhau. Nguồn: F. Zapata.

Quảng trường

Hình vuông là hình chữ nhật có các cạnh liền kề cùng chiều dài. Nếu hình vuông có cạnh a thì hai đường chéo f và g của nó có cùng độ dài, đó là f = g = (√2) a.

Diện tích của một hình vuông là bình phương cạnh của nó:

Diện tích hình vuông = a ²

Chu vi hình vuông gấp đôi cạnh:

Chu vi hình vuông = 4 a

Hình 8. Hình vuông có cạnh a, cho biết diện tích, chu vi và độ dài các đường chéo của nó. Nguồn: F. Zapata ..

Kim cương

Hình thoi là hình bình hành có các cạnh bên cùng độ dài, nhưng vì trong hình bình hành các cạnh đối diện bằng nhau nên tất cả các cạnh của hình thoi đều có độ dài bằng nhau.

Các đường chéo của một hình thoi có độ dài khác nhau nhưng chúng cắt nhau ở góc vuông.

Hình 9. Hình thoi cạnh a, cho biết diện tích, chu vi và độ dài các đường chéo của nó. Nguồn: F. Zapata.

Ví dụ

ví dụ 1

Chứng tỏ rằng trong một tứ giác (không bị chéo), các góc bên trong cộng lại bằng 360º.

Hình 10: Nó được chỉ ra làm thế nào để tổng các góc của một tứ giác cộng lại bằng 360º. Nguồn: F. Zapata.

Xét tứ giác ABCD (xem hình 10) và đường chéo BD được vẽ. Hai tam giác ABD và BCD được tạo thành. Tổng các góc trong của tam giác ABD là:

α + β ₁ + δ ₁ = 180º

Và tổng các góc trong của tam giác BCD là:

β2 + γ + δ ₂ = 180º

Cộng hai phương trình chúng ta thu được:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

Phân nhóm:

α + (β ₁ + β ₂ ) + (δ ₁ + δ ₂ ) + γ = 2 * 180º

Bằng cách nhóm và đổi tên, cuối cùng cho thấy rằng:

α + β + δ + γ = 360º

Ví dụ 2

Chứng tỏ rằng đường trung bình của hình thang song song với đáy của nó và độ dài của nó là bán kính của đáy.

Hình 11. Trung tuyến MN của hình thang ABCD. Nguồn: F. Zapata.

Đường trung bình của hình thang là đoạn nối các trung điểm của các cạnh của nó, tức là các cạnh không song song. Trong hình thang ABCD trong hình 11, đường trung tuyến là MN.

Vì M là trung điểm của AD và N là trung điểm của BC nên các tỉ số AM / AD và BN / BC bằng nhau.

Nghĩa là AM tỉ lệ thuận với BN tỉ lệ thuận với AD tỉ lệ với BC, do đó điều kiện để áp dụng định lý Thales '(nghịch đảo) được đưa ra, phát biểu như sau:

"Nếu các phân đoạn tỷ lệ được xác định trong ba hoặc nhiều đường bị cắt bởi hai phần, thì các đường này đều song song."

Trong trường hợp này, kết luận rằng các đường thẳng MN, AB và DC song song với nhau, do đó:

"Đường trung bình của hình thang song song với đáy của nó."

Bây giờ định lý Thales sẽ được áp dụng:

"Một tập hợp các điểm tương đồng được cắt bởi hai hoặc nhiều phần xác định các phân đoạn tỷ lệ."

Trong trường hợp AD = 2 AM, AC = 2 AO, do đó tam giác DAC đồng dạng với tam giác MAO, và do đó DC = 2 MO.

Lập luận tương tự cho phép chúng ta khẳng định rằng CAB tương tự với CON, trong đó CA = 2 CO và CB = 2 CN. Ngay sau đó AB = 2 ON.

Tóm lại, AB = 2 ON và DC = 2 MO. Vì vậy, khi thêm chúng ta có:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

Cuối cùng MN được xóa:

MN = (AB + DC) / 2

Và người ta kết luận rằng đường trung bình của một hình thang đo bán tổng của các cơ sở, hay nói một cách khác: đường trung bình đo tổng của các cơ sở, chia cho hai.

Ví dụ 3

Chứng tỏ rằng trong một hình thoi, các đường chéo cắt nhau ở các góc vuông.

Hình 12. Hình thoi và chứng minh rằng các đường chéo của nó cắt nhau ở góc vuông. Nguồn: F. Zapata.

Bảng đen trong hình 12 cho thấy cấu tạo cần thiết. Đầu tiên, hình bình hành ABCD được vẽ với AB = BC, tức là một hình thoi. Các đường chéo AC và DB xác định tám góc được thể hiện trong hình.

Sử dụng định lý (aip) phát biểu rằng các góc trong xen kẽ giữa các đường song song cắt bởi một mảnh xác định các góc bằng nhau, chúng ta có thể thiết lập như sau:

α ₁ = γ ₁ , α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ và δ2 = β2. (*)

Mặt khác, vì các cạnh kề của hình thoi có độ dài bằng nhau nên bốn tam giác cân được xác định:

DAB, BCD, CDA và ABC

Bây giờ, định lý tam giác (cân) được sử dụng, trong đó nói rằng các góc kề với đáy có số đo bằng nhau, từ đó kết luận rằng:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁ , α2 = γ ₁ và α ₁ = γ2 (**)

Nếu các quan hệ (*) và (**) được kết hợp với nhau thì các góc bằng nhau sau đây sẽ đạt được:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ một mặt và β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2.

Nhắc lại định lý tam giác bằng nhau phát biểu rằng hai tam giác có cạnh bằng nhau nằm giữa hai góc bằng nhau thì ta có:

AOD = AOB và do đó cũng là góc ∡AOD = ∡AOB.

Khi đó ∡AOD + ∡AOB = 180º, nhưng vì cả hai góc đều có số đo bằng nhau nên chúng ta có 2 ∡AOD = 180º điều đó ngụ ý rằng ∡AOD = 90º.

Nghĩa là, về mặt hình học, các đường chéo của hình thoi cắt nhau ở các góc vuông.

Bài tập đã giải

- Bài tập 1

Chứng tỏ rằng trong một hình thang vuông, các góc không vuông là phụ.

Giải pháp

Hình 13. Hình thang bên phải. Nguồn: F. Zapata.

Hình thang ABCD có đáy là AB và DC song song với nhau. Góc trong của đỉnh A là góc vuông (nó đo 90º), do đó chúng ta có một hình thang vuông.

Các góc α và δ là góc trong giữa hai đường song song AB và DC, do đó chúng bằng nhau, nghĩa là, δ = α = 90º.

Mặt khác, người ta đã chứng minh rằng tổng các góc trong của một tứ giác bằng 360º, nghĩa là:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Những điều trên dẫn đến:

β + δ = 180º

Xác nhận điều muốn chỉ ra rằng góc β và δ là bổ sung.

- Bài tập 2

Hình bình hành ABCD có AB = 2 cm và AD = 1 cm, ngoài ra góc BAD bằng 30º. Xác định diện tích của hình bình hành này và độ dài hai đường chéo của nó.

Giải pháp

Diện tích hình bình hành là tích của độ dài đáy và chiều cao. Trong trường hợp này, đoạn thẳng b = AB = 2 cm sẽ được lấy làm cơ sở, cạnh còn lại có độ dài a = AD = 1 cm và chiều cao h sẽ được tính như sau:

h = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

Vậy: Diện tích = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ² .

Người giới thiệu

1. CEA (2003). Yếu tố hình học: với các bài tập và hình học compa. Đại học Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Toán học 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. (2007). Khám phá Đa giác. Công ty Giáo dục Điểm chuẩn.
4. Hendrik, V. (2013). Đa giác tổng quát. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Toán học học kỳ I Tacaná. IGER.
6. Hình học Jr. (2014). Đa giác. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren và Hornsby. (2006). Toán học: Lập luận và Ứng dụng (Tái bản lần thứ mười). Giáo dục Pearson.
8. Patiño, M. (2006). Toán học 5. Progreso biên tập.
9. Wikipedia. Hình tứ giác. Phục hồi từ: es.wikipedia.com