ĐẠO HÀM NGẦM: CÁCH CHÚNG ĐƯỢC GIẢI VÀ CÁC BÀI TẬP ĐƯỢC GIẢI - TOÁN HỌC - 2026

Các đạo hàm ngầm định là các công cụ được sử dụng trong một kỹ thuật khác biệt được áp dụng cho các hàm. Chúng được áp dụng khi không thể, theo các phương pháp thông thường, để giải cho biến phụ thuộc được dẫn xuất. Việc giải phóng mặt bằng này được thực hiện như một hàm của biến độc lập.

Ví dụ, trong biểu thức 3xy ³ - 2y + xy ² = xy, không thể thu được biểu thức xác định “y” là một hàm của “x”. Vì vậy, bằng cách suy ra biểu thức vi phân dy / dx có thể thu được.

Các dẫn xuất ngầm định được giải quyết như thế nào?

Để giải một đạo hàm ngầm định, chúng ta bắt đầu với một biểu thức không tường minh. Ví dụ: 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0. Điều này đã được giải đúng rồi, tuy nhiên làm như vậy không phải là điều kiện cần để có được đạo hàm của y đối với x. Sau đó, mỗi phần tử được suy ra tuân theo quy tắc chuỗi cho các hàm hỗn hợp:

3xy ³ là bao gồm 2 biến, do đó d (3xy ³ ) sẽ được coi là đạo hàm của một tích các hàm.

d (3xy ³ ) / dx = 3Y ³ + 3Y ^2. (3x) y '= 3Y ³ + 9xy ² y'

Trong đó phần tử y 'được gọi là "y nguyên tố" và đại diện cho dy / dx

-2y Nó được suy ra theo định luật KU = K.U '

d (-2y) = -2 y '

xy ² giả sử một vi phân khác được tạo bởi một tích các hàm

d (xy ² ) = y ² + 2xy y '

-xy được đối xử tương đồng

d (-xy) = -y - x y '

Chúng được thay thế bằng nhau, biết rằng đạo hàm của 0 bằng không.

3Y ³ + 9xy ² y '- 2 y' + y ² + 2xy y '- y - x y' = 0

Các phần tử có thuật ngữ y 'được nhóm ở một phía của đẳng thức

3y ³ + y ² - y = -9xy ² y '+ 2 y' + x y '

Nhân tử chung y 'được trích từ vế phải của đẳng thức

3y ³ + y ² - y = y '(-9xy ² + x + 2)

Cuối cùng số hạng nhân với y 'được xóa. Do đó thu được biểu thức tương ứng với đạo hàm ngầm định của y đối với x.

y '= dy / dx = (3y ³ + y ² - y) / (- 9xy ² + x + 2)

Quy tắc chuỗi

Nói cách khác, quy tắc chuỗi luôn được tôn trọng. Tất cả các biểu thức vi phân sẽ được cho dưới dạng một hàm của biến độc lập X. Vì vậy, mọi biến θ không phải X, phải bao gồm số hạng dθ / dx sau khi được suy ra.

Thuật ngữ này sẽ chỉ xuất hiện ở mức độ đầu tiên hoặc với số mũ bằng 1. Chất lượng này làm cho nó hoàn toàn rõ ràng theo phương pháp bao thanh toán truyền thống. Do đó, có thể nhận được biểu thức xác định vi phân dθ / dx.

Quy luật dây chuyền thể hiện tính chất tăng dần của quá trình phân hóa hoặc quá trình phái sinh. Trong đó với mọi hàm ghép f, chúng ta có biểu thức vi phân của f sẽ là

Lệnh hoạt động

Trong mỗi công thức hoặc luật dẫn xuất được áp dụng, thứ tự của các biến phải được tính đến. Các tiêu chí liên quan đến biến độc lập được tôn trọng mà không làm thay đổi mối tương quan của nó với biến phụ thuộc.

Mối quan hệ của biến phụ thuộc tại thời điểm lấy trực tiếp; Ngoại trừ việc đây sẽ được coi là hàm thứ hai, đó là lý do tại sao tiêu chí quy tắc chuỗi cho các hàm hỗn hợp được áp dụng.

Điều này có thể được phát triển trong các biểu thức có nhiều hơn 2 biến. Theo các nguyên tắc tương tự, tất cả các phần chênh lệch liên quan đến các biến phụ thuộc sẽ được ký hiệu.

Về mặt đồ họa, cùng một tiêu chí xác định đạo hàm được xử lý. Trong khi đạo hàm là hệ số góc của đường tiếp tuyến với đường cong trong mặt phẳng, phần còn lại của vi phân thuộc các biến phụ thuộc (dy / dx, dz / dx) biểu diễn các mặt phẳng tiếp tuyến với các thân vectơ được mô tả bởi hàm nhiều biến.

Ngầm hiểu

Một hàm được cho là được xác định ngầm định nếu biểu thức y = f (x) có thể được biểu diễn dưới dạng một hàm nhiều biến F (x, y) = 0 miễn là F được xác định trong mặt phẳng R ² .

3xy ³ - 2y + xy ² = xy có thể được viết dưới dạng 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0

Theo quan điểm của việc không thể làm cho hàm y = f (x) tường minh.

Lịch sử

Phép tính vi phân bắt đầu được các nhà nghiên cứu toán học đặt tên vào khoảng thế kỷ XVII. Lần đầu tiên nó được nhắc đến là nhờ sự đóng góp của Newton và Leibniz. Cả hai đều xử lý phép tính vi phân từ các quan điểm khác nhau, nhưng hội tụ trong kết quả của chúng.

Trong khi Newton tập trung vào sự khác biệt như một tốc độ hoặc tốc độ thay đổi, thì cách tiếp cận của Leibniz lại mang tính hình học hơn. Có thể nói rằng Newton đã tấn công những phỏng đoán do Apollonius của Perge và Leibniz để lại những ý tưởng hình học của Fermat.

Đạo hàm ngầm xuất hiện ngay lập tức khi xét các phương trình vi phân và tích phân. Những khái niệm hình học của Leibniz đã mở rộng thành R ³ và thậm chí cả với không gian đa chiều.

Các ứng dụng

Các dẫn xuất ngầm định được sử dụng trong các tình huống khác nhau. Chúng thường gặp trong các bài toán về tỷ giá hối đoái giữa các biến có liên quan, trong đó, tùy theo giác độ nghiên cứu, các biến sẽ được coi là phụ thuộc hoặc độc lập.

Chúng cũng có các ứng dụng hình học thú vị, chẳng hạn như trong các bài toán về phản xạ hoặc bóng đổ, trên các hình mà hình dạng của chúng có thể được mô hình hóa bằng toán học.

Chúng thường được sử dụng trong các lĩnh vực kinh tế và kỹ thuật, cũng như trong các cuộc điều tra khác nhau về các hiện tượng tự nhiên và các tòa nhà thí nghiệm.

Bài tập đã giải

Bài tập 1

Xác định biểu thức ngầm định xác định dy / dx

Mỗi phần tử của biểu thức được phân biệt

Thiết lập quy tắc chuỗi trong từng trường hợp có thẩm quyền

Nhóm theo một phía của đẳng thức các phần tử có dy / dx

Nó được tính bằng thừa số chung

Nó được giải quyết lấy biểu thức được tìm kiếm

Bài tập 2

Xác định biểu thức ngầm định xác định dy / dx

Thể hiện các dẫn xuất được thực hiện

Bắt nguồn hoàn toàn theo quy tắc chuỗi

Bao thanh toán các yếu tố chung

Nhóm thuật ngữ dy / dx về một phía của đẳng thức

Hệ số chung cho phần tử vi phân

Chúng tôi cô lập và thu được biểu thức được tìm kiếm

Người giới thiệu

1. Tính tích của một biến đơn. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, ngày 10 tháng 11 2008
2. Định lý Hàm ẩn: Lịch sử, Lý thuyết và Ứng dụng. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, ngày 9 tháng 11. 2012
3. Phân tích đa biến. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, ngày 13 tháng 12. 2010
4. Động lực học hệ thống: Mô hình hóa, mô phỏng và điều khiển các hệ thống cơ điện tử. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, ngày 7 tháng 3 2012
5. Giải tích: Toán học và Mô hình hóa. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, ngày 1 tháng 1 1999