- Ví dụ
- Tính chênh lệch của các hình khối
- ví dụ 1
- Ví dụ 2
- Ví dụ 3
- Bài tập đã giải quyết
- Bài tập 1
- Giải pháp cho
- Giải pháp b
- Bài tập 2
- Giải pháp
- Người giới thiệu
Sự khác biệt của hình lập phương là một biểu thức đại số nhị thức có dạng a 3 - b 3 , trong đó các số hạng a và b có thể là các số thực hoặc các biểu thức đại số có nhiều dạng khác nhau. Một ví dụ về sự khác biệt của các hình khối là: 8 - x 3 , vì 8 có thể được viết thành 2 3 .
Về mặt hình học, chúng ta có thể nghĩ về một hình lập phương lớn, cạnh a, từ đó hình lập phương nhỏ có cạnh b bị trừ đi, như minh họa trong hình 1:
Hình 1. Một sự khác biệt của hình khối. Nguồn: F. Zapata.
Thể tích của hình thu được chính xác là một sự khác biệt của các hình khối:
V = a 3 - b 3
Để tìm một biểu thức thay thế, quan sát thấy rằng hình này có thể được chia thành ba lăng trụ, như hình dưới đây:
Hình 2. Sự khác biệt của các khối (bên trái của đẳng thức) bằng tổng của các thể tích từng phần (bên phải). Nguồn: F. Zapata.
Một lăng trụ có thể tích là tích của ba kích thước: chiều rộng x chiều cao x chiều sâu. Theo cách này, khối lượng kết quả là:
V = a 3 - b 3 = a 2 .b + b 3 + ab 2
Yếu tố b là chung cho bên phải. Hơn nữa, trong hình minh họa ở trên, điều đặc biệt đúng là:
b = (a / 2) ⇒ a = b + b
Do đó có thể nói rằng: b = a - b. Như vậy:
Cách thể hiện sự khác biệt của các hình lập phương này sẽ tỏ ra rất hữu ích trong nhiều ứng dụng và có thể thu được theo cách tương tự, ngay cả khi cạnh của hình lập phương bị thiếu trong góc khác với b = a / 2.
Lưu ý rằng dấu ngoặc thứ hai gần giống với tích đáng chú ý của bình phương của tổng, nhưng số hạng chéo không nhân với 2. Người đọc có thể mở rộng phía bên phải để xác minh rằng 3 - b 3 thực sự đạt được .
Ví dụ
Có một số điểm khác biệt của hình khối:
1 - m 6
a 6 b 3 - 8z 12 và 6
(1/125) .x 6 - 27.y 9
Hãy đánh từng người một. Trong ví dụ đầu tiên, số 1 có thể được viết thành 1 = 1 3 và số hạng m 6 trở thành: (m 2 ) 3 . Cả hai thuật ngữ đều là hình khối hoàn hảo, do đó sự khác biệt của chúng là:
1 - m 6 = 1 3 - (m 2 ) 3
Trong ví dụ thứ hai, các điều khoản được viết lại:
a 6 b 3 = (a 2 b) 3
8z 12 y 6 = 2 3 (z 4 ) 3 (y 2 ) 3 = (2z 4 y 2 ) 3
Hiệu của các hình lập phương này là: (a 2 b) 3 - (2z 4 y 2 ) 3 .
Cuối cùng, phân số (1/125) là (1/5 3 ), x 6 = (x 2 ) 3 , 27 = 3 3 và y 9 = (y 3 ) 3 . Thay thế tất cả điều này trong biểu thức ban đầu, bạn nhận được:
(1/125) .x 6 - 27y 9 = 3 - (3y 3 ) 3
Tính chênh lệch của các hình khối
Tính toán sự khác biệt của các hình khối đơn giản hóa nhiều phép toán đại số. Để làm điều này, chỉ cần sử dụng công thức được suy luận ở trên:
Hình 3. Tính nhân tử của sự khác biệt của các hình khối và biểu thức của một thương số đáng chú ý. Nguồn: F. Zapata.
Bây giờ, quy trình áp dụng công thức này bao gồm ba bước:
- Ở vị trí đầu tiên thu được căn bậc hai của mỗi số hạng của hiệu.
- Khi đó nhị thức và tam thức xuất hiện ở vế phải của đơn thức được xây dựng.
- Cuối cùng, nhị thức và tam thức được thay thế để được thừa số cuối cùng.
Hãy minh họa việc sử dụng các bước này với mỗi ví dụ về sự khác biệt hình khối được đề xuất ở trên và do đó có được tính tương đương với nhân tử của nó.
ví dụ 1
Nhân biểu thức 1 - m 6 theo các bước được mô tả. Chúng ta bắt đầu bằng cách viết lại biểu thức dưới dạng 1 - m 6 = 1 3 - (m 2 ) 3 để rút ra các nghiệm thức lập phương tương ứng của mỗi số hạng:
Tiếp theo, nhị thức và tam thức được xây dựng:
a = 1
b = m 2
Vì thế:
a - b = 1 - m 2
(a 2 + ab + b 2 ) = 1 2 + 1.m 2 + (m 2 ) 2 = 1 + m 2 + m 4
Cuối cùng, nó được thay thế trong công thức a 3 - b 3 = (ab) (a 2 + ab + b 2 ):
1 - m 6 = (1 - m 2 ) (1 + m 2 + m 4 )
Ví dụ 2
Xác thực:
a 6 b 3 -8z 12 y 6 = (a 2 b) 3 - (2z 4 y 2 ) 3
Vì đây là những hình lập phương hoàn hảo, các gốc của hình lập phương là ngay lập tức: a 2 b và 2z 4 và 2 , do đó nó như sau:
- Nhị thức: a 2 b - 2z 4 và 2
- Tam thức: (a 2 b) 2 + a 2 b. 2z 4 y 2 + (a 2 b + 2z 4 y 2 ) 2
Và bây giờ công thức hóa thừa số mong muốn được xây dựng:
a 6 b 3 -8z 12 y 6 = (a 2 b - 2z 4 y 2 ). =
= (a 2 b - 2z 4 y 2 ).
Về nguyên tắc, bao thanh toán đã sẵn sàng, nhưng thường cần đơn giản hóa từng thuật ngữ. Sau đó, tích đáng chú ý -square của một tổng- xuất hiện ở cuối được phát triển và sau đó các thuật ngữ giống như được thêm vào. Nhớ rằng bình phương của một tổng là:
Sản phẩm đáng chú ý ở bên phải được phát triển như thế này:
(a 2 b + 2z 4 và 2 ) 2 = a 4 b 2 + 4a 2 b.z 4 và 2 + 4z 8 và 4
Thay thế khai triển thu được bằng nhân tử của hiệu số của các hình khối:
a 6 b 3 -8z 12 y 6 = (a 2 b - 2z 4 y 2 ). =
Cuối cùng, nhóm như các số hạng và tính toán các hệ số số, tất cả đều là số chẵn, chúng tôi thu được:
(a 2 b - 2z 4 y 2 ). = 2 (a 2 b - 2z 4 y 2 ).
Ví dụ 3
Bao thanh toán (1/125) x 6 - 27y 9 dễ hơn nhiều so với trường hợp trước. Đầu tiên các điểm tương đương của a và b được xác định:
a = (1/5) x 2
b = 3y 3
Sau đó, chúng được thay thế trực tiếp trong công thức:
(1/125) .x 6 - 27y 9 =.
Bài tập đã giải quyết
Sự khác biệt của hình khối, như chúng ta đã nói, có rất nhiều ứng dụng trong Đại số. Hãy xem một số:
Bài tập 1
Giải các phương trình sau:
a) x 5 - 125 x 2 = 0
b) 64 - 729 x 3 = 0
Giải pháp cho
Đầu tiên, phương trình được tính theo cách này:
x 2 (x 3 - 125) = 0
Vì 125 là một khối lập phương hoàn hảo, các dấu ngoặc đơn được viết như một sự khác biệt của các khối:
x 2 . (x 3 - 5 3 ) = 0
Giải pháp đầu tiên là x = 0, nhưng chúng ta tìm được nhiều hơn nếu chúng ta đặt x 3 - 5 3 = 0, thì:
x 3 = 5 3 → x = 5
Giải pháp b
Vế trái của phương trình được viết lại thành 64 - 729 x 3 = 4 3 - (9x) 3 . Như vậy:
4 3 - (9x) 3 = 0
Vì số mũ giống nhau:
9x = 4 → x = 9/4
Bài tập 2
Yếu tố biểu thức:
(x + y) 3 - (x - y) 3
Giải pháp
Biểu thức này là một sự khác biệt của các hình khối, nếu trong công thức tính nhân tử, chúng ta lưu ý rằng:
a = x + y
b = x- y
Sau đó, nhị thức được xây dựng trước:
a - b = x + y - (x- y) = 2y
Và bây giờ là tam thức:
a 2 + ab + b 2 = (x + y) 2 + (x + y) (xy) + (xy) 2
Các sản phẩm đáng chú ý được phát triển:
Tiếp theo, bạn phải thay thế và giảm bớt các điều khoản like:
a 2 + ab + b 2 = x 2 + 2xy + y 2 + x 2 - y 2 + x 2 - 2xy + y 2 = 3x 2 + y 2
Kết quả bao thanh toán là:
(x + y) 3 - (x - y) 3 = 2y. (3x 2 + y 2 )
Người giới thiệu
- Baldor, A. 1974. Đại số. Editorial Cultural Venezolana SA
- Cơ sở CK-12. Tổng và hiệu của các hình lập phương. Được khôi phục từ: ck12.org.
- Học viện Khan. Tính chênh lệch của các hình khối. Được khôi phục từ: es.khanacademy.org.
- Toán học là thú vị nâng cao. Hiệu của hai hình lập phương. Phục hồi từ: mathsisfun.com
- UNAM. Tính chênh lệch của các hình khối. Đã khôi phục từ: dcb.fi-c.unam.mx.