- Phương pháp phân chia tổng hợp
- Bài tập đã giải
- - Ví dụ 1
- Giải pháp
- - Ví dụ 2
- Giải pháp
- - Ví dụ 3
- - Ví dụ 4
- Người giới thiệu
Phép chia tổng hợp là một cách đơn giản để chia một đa thức P (x) bất kỳ có dạng d (x) = x - c. Ví dụ, đa thức P (x) = (x 5 + 3x 4 -7x 3 + 2x 2 -8x + 1) có thể được biểu diễn dưới dạng phép nhân của hai đa thức đơn giản nhất (x + 1) và (x 4 + 2x 3 ).
Nó là một công cụ rất hữu ích vì ngoài việc cho phép chúng ta chia các đa thức, nó còn cho phép chúng ta đánh giá một đa thức P (x) ở bất kỳ số c nào, từ đó cho chúng ta biết chính xác số đã nói có phải là số 0 của đa thức hay không.
Nhờ thuật toán chia, ta biết rằng nếu ta có hai đa thức không hằng số P (x) và d (x) thì có các đa thức duy nhất q (x) và r (x) sao cho P (x) = q (x) d (x) + r (x), trong đó r (x) bằng 0 hoặc nhỏ hơn q (x). Các đa thức này được gọi là thương và phần dư hoặc phần dư tương ứng.
Trong trường hợp đa thức d (x) có dạng x- c, phép chia tổng hợp cho chúng ta một cách rút gọn để tìm q (x) và r (x) là ai.
Phương pháp phân chia tổng hợp
Cho P (x) = a n x n + a n-1 x n-1 +… + a 1 x + a 0 là đa thức chúng ta muốn chia và d (x) = xc là số chia. Để chia theo phương pháp chia tổng hợp ta tiến hành như sau:
1- Chúng ta viết các hệ số của P (x) vào hàng đầu tiên. Nếu bất kỳ lũy thừa nào của X không xuất hiện, chúng ta đặt 0 làm hệ số của nó.
2- Ở hàng thứ hai, bên trái của n, chúng ta đặt c, và chúng ta vẽ các đường phân chia như trong hình sau:
3- Chúng tôi hạ thấp hệ số hàng đầu xuống hàng thứ ba.
Trong biểu thức này b n-1 = a n
4- Chúng ta nhân c với hệ số đứng đầu b n-1 và chúng ta ghi kết quả vào hàng thứ hai, nhưng ở bên phải một cột.
5- Chúng tôi thêm cột nơi chúng tôi viết kết quả trước đó và chúng tôi đặt kết quả bên dưới tổng đó; nghĩa là, trong cùng một cột, hàng thứ ba.
Khi cộng, chúng ta có kết quả là n-1 + c * b n-1 , để thuận tiện, chúng ta sẽ gọi là b n-2
6- Chúng ta nhân c với kết quả trước đó và ghi kết quả vào bên phải của nó ở hàng thứ hai.
7- Chúng tôi lặp lại các bước 5 và 6 cho đến khi chúng tôi đạt được hệ số bằng 0 .
8- Chúng tôi viết câu trả lời; nghĩa là thương số và phần dư. Vì chúng ta đang chia một đa thức bậc n cho một đa thức bậc 1, nên chúng ta có thương số sẽ có bậc n-1.
Các hệ số của đa thức thương sẽ là các số ở hàng thứ ba trừ hàng cuối cùng, sẽ là đa thức dư hoặc phần dư của phép chia.
Bài tập đã giải
- Ví dụ 1
Thực hiện phép chia sau theo phương pháp chia tổng hợp:
(x 5 + 3x 4 -7x 3 + 2x 2 -8x + 1): (x + 1).
Giải pháp
Đầu tiên chúng ta viết các hệ số của cổ tức như sau:
Sau đó, chúng tôi viết c ở phía bên trái, ở hàng thứ hai, cùng với các đường phân chia. Trong ví dụ này c = -1.
Chúng tôi hạ thấp hệ số hàng đầu (trong trường hợp này là b n-1 = 1) và nhân nó với -1:
Chúng tôi viết kết quả của nó ở bên phải trong hàng thứ hai, như hình dưới đây:
Chúng tôi thêm các số vào cột thứ hai:
Chúng ta nhân 2 với -1 và ghi kết quả vào cột thứ ba, hàng thứ hai:
Chúng tôi thêm vào cột thứ ba:
Chúng tôi tiến hành theo cách tương tự cho đến khi đến cột cuối cùng:
Như vậy, chúng ta có số cuối cùng thu được là phần dư của phép chia, và các số còn lại là hệ số của đa thức thương. Điều này được viết như sau:
Nếu chúng ta muốn xác minh rằng kết quả là đúng, chỉ cần xác minh rằng phương trình sau là đúng:
P (x) = q (x) * d (x) + r (x)
Vì vậy, chúng tôi có thể kiểm tra xem kết quả thu được là chính xác.
- Ví dụ 2
Thực hiện phép chia các đa thức sau bằng phương pháp chia tổng hợp
(7x 3 -x + 2): (x + 2)
Giải pháp
Trong trường hợp này, chúng ta có số hạng x 2 không xuất hiện, vì vậy chúng ta sẽ viết 0 làm hệ số của nó. Do đó, đa thức sẽ là 7x 3 + 0x 2 -x + 2.
Chúng tôi viết các hệ số của chúng liên tiếp, đây là:
Chúng ta viết giá trị của C = -2 vào bên trái của hàng thứ hai và vẽ các đường chia.
Chúng tôi hạ thấp hệ số hàng đầu b n-1 = 7 và nhân nó với -2, viết kết quả của nó vào hàng thứ hai bên phải.
Chúng tôi thêm và tiếp tục như đã giải thích trước đó, cho đến khi chúng tôi đến kỳ cuối cùng:
Trong trường hợp này, số dư là r (x) = - 52 và thương thu được là q (x) = 7x 2 -14x + 27.
- Ví dụ 3
Một cách khác để sử dụng phép chia tổng hợp như sau: giả sử chúng ta có một đa thức P (x) bậc n và chúng ta muốn biết giá trị là bao nhiêu bằng cách đánh giá nó tại x = c.
Bằng thuật toán chia, chúng ta có thể viết đa thức P (x) theo cách sau:
Trong biểu thức này, q (x) và r (x) lần lượt là thương và phần dư. Bây giờ, nếu d (x) = x- c, khi đánh giá tại c trong đa thức, chúng ta nhận được như sau:
Do đó, chỉ cần tìm ar (x), và chúng ta có thể làm điều này nhờ phép chia tổng hợp.
Ví dụ, chúng ta có đa thức P (x) = x 7 -9x 6 + 19x 5 + 12x 4 -3x 3 + 19x 2 -37x-37 và chúng ta muốn biết giá trị của nó bằng cách đánh giá nó tại x = 5. Để làm điều này, chúng ta thực hiện phép chia giữa P (x) và d (x) = x -5 bằng phương pháp chia tổng hợp:
Khi các phép toán đã được thực hiện, chúng ta biết rằng chúng ta có thể viết P (x) như sau:
P (x) = (x 6 -4x 5 –x 4 + 7x 3 + 32x 2 + 179x + 858) * (x-5) + 4253
Do đó, khi đánh giá nó, chúng ta phải:
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253
P (5) = 0 + 4253 = 4253
Như chúng ta thấy, có thể sử dụng phép chia tổng hợp để tìm giá trị của đa thức bằng cách đánh giá nó tại c chứ không chỉ đơn giản là thay c cho x.
Nếu chúng ta cố gắng đánh giá P (5) theo cách truyền thống, chúng ta sẽ buộc phải thực hiện một số phép tính thường trở nên tẻ nhạt.
- Ví dụ 4
Thuật toán chia cho đa thức cũng đúng cho đa thức với hệ số phức và kết quả là chúng ta có phương pháp chia tổng hợp cũng hoạt động với những đa thức như vậy. Chúng ta sẽ xem một ví dụ bên dưới.
Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp chia tổng hợp để chỉ ra rằng z = 1+ 2i là số 0 của đa thức P (x) = x 3 + (1 + i) x 2 - (1 + 2i) x + (15 + 5i); nghĩa là phần dư của phép chia P (x) cho d (x) = x - z bằng không.
Ta tiến hành như trước: ở hàng đầu tiên ta viết các hệ số của P (x), sau đó ở hàng thứ hai ta viết z và vẽ các đường chia.
Chúng tôi thực hiện việc phân chia như trước đây; đây là:
Chúng ta có thể quan sát rằng phần còn lại bằng 0; do đó ta kết luận rằng z = 1+ 2i là số không của P (x).
Người giới thiệu
- Baldor Aurelio. Đại số học Grupo biên tập Patria.
- Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precalculus: Graphical, Numerical, Algebraic 7th Ed. Pearson Education.
- Flemming W & Varserg D. Đại số và lượng giác với Hình học giải tích. Tiền sảnh
- Michael Sullivan. Precalculus 4th Ed. Giáo dục Pearson.
- Màu đỏ. Armando O. Đại số 1 6th Ed. Athenaeum.