ELLIPSOID: ĐẶC ĐIỂM VÀ VÍ DỤ - ARTE - 2025

Các ellipsoid là một bề mặt trong không gian đó thuộc về nhóm các bề mặt bậc hai và có phương trình tổng quát có dạng:

Nó là tương đương ba chiều của một hình elip, được đặc trưng bởi có các vết hình elip và hình tròn trong một số trường hợp đặc biệt. Các vết là các đường cong thu được bằng cách giao ellipsoid với một mặt phẳng.

Hình 1. Ba hình elip khác nhau: ở trên cùng một hình cầu trong đó ba bán trục bằng nhau, ở dưới cùng bên trái một hình cầu, với hai bán trục bằng nhau và một hình cầu khác, và cuối cùng ở dưới cùng bên phải, một hình cầu ba trục, với ba trục khác nhau chiều dài. Nguồn: Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Ngoài ellipsoid, có năm phần tư nữa: một tấm và hai tấm hyperboloid, hai loại paraboloid (hypebol và elip), và hình nón elip. Dấu vết của nó cũng hình nón.

Ellipsoid cũng có thể được biểu diễn bằng phương trình chuẩn trong hệ tọa độ Descartes. Một ellipsoid có tâm ở điểm gốc (0,0,0) và được biểu diễn theo cách này, giống ellipse, nhưng có thêm một số hạng:

Giá trị của a, b và c là các số thực lớn hơn 0 và đại diện cho ba bán trục của ellipsoid.

Đặc điểm của ellipsoid

- Phương trình chuẩn

Phương trình chuẩn trong hệ tọa độ Descartes cho hình elip có tâm tại điểm (h, k, m) là:

- Phương trình tham số của ellipsoid

Trong tọa độ cầu, ellipsoid có thể được mô tả như sau:

x = a sin θ. cos φ

y = b sin θ. sen φ

z = c cos θ

Các bán trục của ellipsoid vẫn là a, b và c, trong khi các tham số là góc θ và φ của hình sau:

Hình 2. Hệ tọa độ mặt cầu. Ellipsoid có thể được tham số hóa bằng cách sử dụng các góc hiển thị theta và phi làm tham số. Nguồn: Wikimedia Commons. Andeggs / Miền công cộng.

- Dấu vết của ellipsoid

Phương trình tổng quát của một bề mặt trong không gian là F (x, y, z) = 0 và dấu vết của bề mặt là các đường cong:

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- z = c; F (x, y, c) = 0

Trong trường hợp của một ellipsoid, những đường cong như vậy là hình elip và đôi khi là hình tròn.

- Âm lượng

Thể tích V của elipsoid được cho bằng (4/3) π lần tích của ba bán trục:

V = (4/3) π. abc

Các trường hợp đặc biệt của ellipsoid

-Một ellipsoid trở thành hình cầu khi tất cả các bán trục đều có cùng kích thước: a = b = c ≠ 0. Điều này có ý nghĩa, vì ellipsoid giống như một hình cầu được kéo dài khác nhau dọc theo trục.

-Hình cầu là một ellipsoid trong đó hai trong số các bán trục giống hệt nhau và bán trục thứ ba khác nhau, ví dụ nó có thể là a = b ≠ c.

Hình cầu còn được gọi là một hình elip của cuộc cách mạng, vì nó có thể được tạo ra bằng cách quay các hình elip quanh một trục.

Nếu trục quay trùng với trục chính, hình cầu sẽ nghiêng, nhưng nếu nó trùng với trục nhỏ, nó sẽ nghiêng:

Hình 3. Hình cầu xiên ở bên trái và hình cầu nghiêng ở bên phải. Nguồn: Wikimedia Commons.

Số đo độ dẹt của hình cầu (elip) được cho bởi sự khác biệt về độ dài giữa hai bán trục, được biểu thị dưới dạng phân số, nghĩa là nó là đơn vị làm phẳng, cho bởi:

f = (a - b) / a

Trong phương trình này, a đại diện cho bán trục chính và b là bán trục nhỏ, hãy nhớ rằng trục thứ ba bằng một trong những trục này đối với hình cầu. Giá trị của f nằm trong khoảng từ 0 đến 1 và đối với một hình cầu, nó phải lớn hơn 0 (nếu nó bằng 0, chúng ta chỉ đơn giản là có một hình cầu).

Tham chiếu ellipsoid

Các hành tinh và nói chung là các ngôi sao, thường không phải là những hình cầu hoàn hảo, bởi vì chuyển động quay quanh trục của chúng làm phẳng vật thể ở các cực và phình ra ở đường xích đạo.

Đó là lý do tại sao Trái đất hóa ra giống như một khối cầu hình cầu, mặc dù không phóng đại như hình trước, và về phần nó, sao Thổ khổng lồ khí là hành tinh phẳng nhất trong hệ mặt trời.

Vì vậy, một cách thực tế hơn để biểu diễn các hành tinh là giả định rằng chúng giống như một hình cầu hoặc ellipsoid quay, có trục bán chính là bán kính xích đạo và trục bán chính là bán kính cực.

Các phép đo cẩn thận được thực hiện trên địa cầu đã giúp có thể xây dựng hình elipsoid tham chiếu của Trái đất như một cách chính xác nhất để xử lý nó về mặt toán học.

Các ngôi sao cũng có chuyển động quay khiến chúng ít nhiều có hình dạng dẹt. Ngôi sao siêu tốc Achernar, ngôi sao sáng thứ tám trên bầu trời đêm, trong chòm sao Eridanus phía nam có hình elip đáng kể khi so sánh với hầu hết các sao khác. Nó cách chúng ta 144 năm ánh sáng.

Ở một thái cực khác, cách đây vài năm, các nhà khoa học đã tìm thấy vật thể hình cầu nhất từng được tìm thấy: ngôi sao Kepler 11145123, cách chúng ta 5000 năm ánh sáng, có kích thước gấp đôi Mặt trời của chúng ta và chênh lệch giữa các bán trục chỉ 3 km. Như dự đoán, nó cũng quay chậm hơn.

Đối với Trái đất, nó cũng không phải là một hình cầu hoàn hảo vì bề mặt gồ ghề và sự biến đổi cục bộ của lực hấp dẫn. Vì lý do này, có nhiều hơn một hình cầu tham chiếu có sẵn và tại mỗi trang web, lựa chọn phù hợp nhất với địa lý địa phương.

Sự giúp đỡ của các vệ tinh là vô giá trong việc tạo ra các mô hình ngày càng chính xác về hình dạng của Trái đất, chẳng hạn nhờ chúng mà người ta biết rằng cực nam gần xích đạo hơn cực bắc.

Hình 4. Haumea, hành tinh lùn xuyên Neptunian có hình elip. Nguồn: Wikimedia Commons.

Ví dụ số

Do sự quay của Trái đất, một lực ly tâm được tạo ra khiến nó có hình dạng của một hình elip thuôn dài, thay vì một hình cầu. Bán kính xích đạo của Trái Đất được biết đến là 3963 dặm và bán kính vùng cực là 3942 dặm.

Tìm phương trình của đường xích đạo, của ellipsoid này và số đo độ phẳng của nó. Cũng so sánh với hình elip của Sao Thổ, với dữ liệu được cung cấp bên dưới:

-Bán kính Xích đạo: 60.268 km

-Bán kính cực của Sao Thổ: 54.364 km

Giải pháp

Cần có một hệ tọa độ, mà chúng tôi sẽ giả định là trung tâm của điểm gốc (trung tâm của Trái đất). Chúng ta sẽ giả sử trục z thẳng đứng và vết tương ứng với đường xích đạo nằm trên mặt phẳng xy, tương đương với mặt phẳng z = 0.

Trong mặt phẳng xích đạo các bán trục a và b đều bình đẳng, do đó a = b = 3963 dặm, trong khi c = 3942 dặm. Đây là một trường hợp đặc biệt: một hình cầu có tâm tại điểm (0,0,0) như đã nói ở trên.

Các dấu vết xích đạo là một vòng tròn bán kính R = 3963 dặm, tập trung ở gốc. Nó được tính bằng cách đặt z = 0 trong phương trình chuẩn:

Và phương trình chuẩn của ellipsoid trên cạn là:

f _{Trái Đất} = (a - b) / a = (3963-3942) dặm / 3963 dặm = 0,0053

f _{Sao Thổ} = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980

Lưu ý rằng ellipticity f là một đại lượng không thứ nguyên.

Người giới thiệu

1. ArcGIS dành cho Máy tính để bàn. Hình cầu và hình cầu. Được khôi phục từ: desktop.arcgis.com.
2. BBC Thế giới. Bí ẩn về vật thể hình cầu nhất từng được phát hiện trong Vũ trụ. Được khôi phục từ: bbc.com.
3. Larson, R. Giải tích và Hình học Giải tích. Phiên bản thứ sáu. Tập 2. McGraw Hill.
4. Wikipedia. Ellipsoid. Được khôi phục từ: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Hình cầu. Được khôi phục từ: en.wikipedia.org.