ENEAGON: ĐẶC TÍNH, CÁCH TẠO RA MỘT HÌNH DẠNG, VÍ DỤ - TOÁN HỌC

Một enegon là một đa giác với chín bên và chín đỉnh, mà có thể hoặc không thể được thường xuyên. Tên gọi Enegono bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp và được tạo thành từ các từ tiếng Hy Lạp ennea (chín) và gonon (góc).

Một tên thay thế cho đa giác chín cạnh là nonagon, xuất phát từ từ tiếng Latin nonus (chín) và gonon (đỉnh). Mặt khác, nếu các cạnh hoặc góc của hình thụt vào không bằng nhau, thì bạn có hình thụt không đều. Ngược lại, nếu tất cả chín cạnh và chín góc của hình chóp đều bằng nhau thì đó là hình chóp thông thường.

Hình 1. Este thông thường và thụt tháo không đều. (Công phu riêng)

Tính chất của thụt đầu dòng

Đối với một đa giác có n cạnh, tổng các góc trong của nó là:

(n - 2) * 180º

Trong hình tam giác, nó sẽ là n = 9, vì vậy tổng các góc trong của nó là:

Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

Trong bất kỳ đa giác nào, số đường chéo là:

D = n (n - 3) / 2 và trong trường hợp là đường tròn, vì n = 9 nên ta có D = 27.

Thuốc xổ thông thường

Trong hình tam giác thông thường hoặc nonagon có chín (9) góc trong có số đo bằng nhau, do đó mỗi góc đo bằng một phần chín của tổng các góc trong.

Số đo các góc bên trong của một hình tròn khi đó là 1260º / 9 = 140º.

Hình 2. Apothem, bán kính, cạnh, góc và đỉnh của một hình lục giác đều. (Công phu riêng)

Để suy ra công thức diện tích của một hình chóp đều với cạnh d, có thể thuận tiện để thực hiện một số công trình phụ, chẳng hạn như các công trình được chỉ ra trong hình 2.

Tâm O được tìm bằng cách kẻ đường phân giác của hai cạnh kề nhau. Tâm O cách đều các đỉnh.

Bán kính có độ dài r là đoạn từ tâm O đến một đỉnh của hình chóp. Hình 2 cho thấy bán kính OD và OE có độ dài r.

Apothem là đoạn đi từ tâm đến điểm giữa của một cạnh của hình chóp. Ví dụ OJ là một apothem có độ dài là a.

Diện tích của một hình chữ nhật được biết đến bên cạnh và phần apothem

Ta xét tam giác ODE trong hình 2. Diện tích tam giác này là tích của đáy DE và chiều cao OJ chia cho 2:

Diện tích ODE = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2

Vì có 9 tam giác có diện tích bằng nhau trong hình tam giác nên kết luận rằng diện tích của các tam giác đó là:

Diện tích Enegon = (9/2) (d * a)

Diện tích của một cạnh đã biết

Nếu chỉ biết độ dài d của các cạnh của hình chóp thì cần phải tìm độ dài của cạnh đáy để áp dụng công thức ở phần trước.

Ta xét tam giác vuông OJE tại J (xem hình 2). Nếu áp dụng tỉ số lượng giác tiếp tuyến, ta thu được:

tan (∡ OEJ) = OJ / EJ.

Góc ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, vì EO là tia phân giác của góc trong của hình chóp.

Mặt khác, OJ là apothem có độ dài a.

Khi đó, vì J là trung điểm của ED nên EJ = d / 2.

Thay thế các giá trị trước đó trong quan hệ tiếp tuyến chúng ta có:

tan (70º) = a / (d / 2).

Bây giờ chúng ta xóa độ dài của apothem:

a = (d / 2) tan (70º).

Kết quả trước đó được thay thế trong công thức diện tích để thu được:

Diện tích hình chóp = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) tan (70º))

Cuối cùng, chúng ta tìm ra công thức cho phép thu được diện tích của hình chóp thông thường nếu chỉ biết độ dài d của các cạnh của nó:

Diện tích hình chóp = (9/4) d ² tan (70º) = 6.1818 d ²

Chu vi của đường thụt thông thường đã biết mặt của nó

Chu vi của một đa giác là tổng các cạnh của nó. Trong trường hợp của hình chữ nhật, vì mỗi cạnh đều đo độ dài d, chu vi của nó sẽ bằng tổng của chín lần d, nghĩa là:

Chu vi = 9 d

Chu vi của hình chóp đã biết bán kính của nó

Xét tam giác vuông OJE tại J (xem hình 2), áp dụng tỉ số cosin lượng giác:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

Nó được lấy từ đâu:

d = 2r cos (70º)

Thay vào kết quả này, chúng tôi nhận được công thức cho chu vi dưới dạng một hàm của bán kính của hình chóp:

Chu vi = 9 d = 18 r cos (70º) = 6.1564 r

Cách làm thuốc xổ thông thường

1- Để xây dựng một hình lục giác đều, với thước và compa, chúng ta bắt đầu từ chu vi c bao quanh hình lục giác. (xem hình 3)

2- Kẻ hai đường vuông góc đi qua tâm O của chu vi. Khi đó các giao điểm A và B của một trong các đường thẳng được đánh dấu bằng chu vi.

3- Với compa, tâm ở giao điểm B và độ mở bằng bán kính BO, người ta vẽ một cung tròn chắn chu vi ban đầu tại điểm C.

Hình 3. Các bước xây dựng một thụt thông thường. (Công phu riêng)

4- Lặp lại bước trước nhưng tạo tâm tại A và bán kính AO, vẽ một cung tròn chắn chu vi c tại điểm E.

5- Với AC mở và tâm ở A, một cung có chu vi được vẽ. Tương tự với mở BE và tâm B một cung khác được vẽ. Giao điểm của hai cung này được đánh dấu là điểm G.

6- Định tâm tại G và mở GA, người ta vẽ một cung tròn chắn trục thứ cấp (nằm ngang trong trường hợp này) tại điểm H. Giao điểm của trục thứ cấp với chu vi ban đầu c được đánh dấu là I.

7- Độ dài đoạn IH bằng độ dài d của cạnh của hình chóp.

8- Với độ mở la bàn IH = d, lần lượt vẽ các cung tâm A bán kính AJ, tâm J bán kính AK, tâm K bán kính KL và tâm L bán kính LP.

9- Tương tự, bắt đầu từ A và từ phía bên phải, vẽ các cung tròn bán kính IH = d đánh dấu các điểm M, N, C và Q trên chu vi ban đầu c.

10- Cuối cùng là các đoạn AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ và cuối cùng là PB.

Cần lưu ý rằng phương pháp xây dựng không hoàn toàn chính xác, vì có thể xác minh rằng PB phía cuối cùng dài hơn 0,7% so với các cạnh còn lại. Cho đến nay, không có một phương pháp xây dựng nào được biết đến với thước và compa là chính xác 100%.

Ví dụ

Dưới đây là một số ví dụ đã được thực hiện.

ví dụ 1

Chúng tôi muốn xây dựng một hình tròn thông thường có các cạnh đo 2 cm. Bán kính nào phải có chu vi bao quanh nó, để bằng cách áp dụng cấu trúc đã mô tả trước đó, thu được kết quả mong muốn?

Trong phần trước, công thức liên hệ giữa bán kính r của đường tròn ngoại tiếp với cạnh d của một hình chóp đều đã được suy ra:

d = 2r cos (70º)

Giải cho r từ biểu thức trước ta có:

r = d / (2 cos (70º)) = 1,4619 * d

Thay giá trị d = 2 cm vào công thức trước ta được bán kính r là 2,92 cm.

Ví dụ 2

Diện tích của một hình chóp đều có cạnh 2 cm là bao nhiêu?

Để trả lời câu hỏi này, chúng ta phải tham khảo công thức, được hiển thị trước đó, cho phép chúng ta tìm diện tích của một hình tròn đã biết bằng độ dài d của cạnh của nó: