- nhân ra diện rộng α số thực bởi một vector v : α v cho vector khác và thuộc V .

Tầm nhìn nghệ thuật của một không gian vector. Nguồn: Pixabay

Để biểu thị một vectơ, chúng tôi sử dụng chữ in đậm ( v là một vectơ), và đối với các chữ cái Hy Lạp vô hướng hoặc số (α là một số).

Tiên đề và tính chất

Đối với một không gian vectơ đã cho, tám tiên đề sau phải có:

1-tính giao hoán: u + v = v + u

2-Độ nhạy: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3-Sự tồn tại của vector rỗng 0 sao cho 0 + v = v

4-Sự tồn tại của điều ngược lại: đối của v là (- v ), vì v + (- v ) = 0

5-Phân phối của tích đối với tổng vectơ: α ( u + v ) = α u + α v

6-Phân phối của tích đối với tổng vô hướng: (α + β) v = α v + β v

7-Tính liên kết của tích vô hướng: α (β v ) = (α β) v

8-Số 1 là phần tử trung lập vì: 1 v = v

Ví dụ về không gian vectơ

ví dụ 1

Vectơ trong mặt phẳng (R²) là một ví dụ về không gian vectơ. Vectơ trong mặt phẳng là một đối tượng hình học có độ lớn và hướng. Nó được biểu diễn bằng một đoạn có định hướng thuộc mặt phẳng nói trên và có kích thước tỷ lệ với độ lớn của nó.

Bạn có thể xác định tổng của hai vectơ trong mặt phẳng là phép tịnh tiến hình học của vectơ thứ hai sau vectơ thứ nhất. Kết quả của tổng là đoạn được định hướng bắt đầu từ điểm gốc của đầu tiên và đến đỉnh của thứ hai.

Trong hình có thể thấy rằng tổng trong R² là giao hoán.

Hình 2. Vectơ trong mặt phẳng tạo thành không gian vectơ. Nguồn: tự làm.

Tích của một số α và một vectơ cũng được xác định. Nếu là số dương, hướng của vectơ ban đầu được giữ nguyên và kích thước bằng α lần vectơ ban đầu. Nếu số là số âm, hướng ngược lại và kích thước của vectơ kết quả là giá trị tuyệt đối của số đó.

Các vector ngược lại bất kỳ vector v là - v = (- 1) v .

Vectơ null là một điểm trong mặt phẳng R² và số 0 nhân với một vectơ cho vectơ null.

Tất cả những gì đã nói được minh họa trong Hình 2.

Ví dụ 2

Tập hợp P của tất cả các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng hai, kể cả bậc 0, tạo thành một tập thỏa mãn tất cả các tiên đề của không gian vectơ.

Cho đa thức P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

Tổng của hai đa thức được xác định: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

Tổng các đa thức thuộc tập P là giao hoán và bắc cầu.

Đa thức rỗng thuộc tập P là một đa thức có tất cả các hệ số của nó bằng 0:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Tổng của một vô hướng α bởi một đa thức được định nghĩa là: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

Đa thức đối của P (x) là -P (x) = (-1) P (x).

Từ tất cả những điều trên, ta thấy rằng tập P của tất cả các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng hai là một không gian vectơ.

Ví dụ 3

Tập hợp M gồm tất cả các ma trận gồm m hàng xn cột có phần tử là số thực tạo thành một không gian vectơ thực, đối với các phép toán cộng ma trận và tích một số với ma trận.

Ví dụ 4

Tập F các hàm liên tục của biến thực, tạo thành một không gian vectơ, vì có thể xác định tổng của hai hàm, phép nhân vô hướng với một hàm, hàm rỗng và hàm đối xứng. Chúng cũng đáp ứng các tiên đề đặc trưng cho không gian vectơ.

Cơ sở và số chiều của không gian vectơ

Căn cứ

Cơ sở của không gian vectơ được định nghĩa là một tập các vectơ độc lập tuyến tính sao cho từ sự kết hợp tuyến tính của chúng với bất kỳ vectơ nào của không gian vectơ đó đều có thể được tạo ra.

Việc kết hợp tuyến tính hai hoặc nhiều vectơ bao gồm nhân các vectơ với một số vô hướng và sau đó cộng chúng theo phương pháp trực tuyến.

Ví dụ, trong không gian vectơ của vectơ trong ba chiều tạo bởi R³, cơ sở chính tắc được xác định bởi các vectơ đơn vị (có độ lớn 1) i , j , k được sử dụng .

Trong đó i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Đây là các vectơ Descartes hoặc chính tắc.

Vectơ V bất kỳ thuộc R³ được viết dưới dạng V = a i + b j + c k , là tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở i , j , k . Một đại lượng vô hướng hoặc số a, b, c được gọi là thành phần Descartes của V .

Người ta cũng nói rằng các vectơ cơ sở của một không gian vectơ tạo thành một tập hợp sinh của không gian vectơ.

Kích thước

Số chiều của không gian vectơ là số chính của cơ sở vectơ đối với không gian đó; tức là, số vectơ tạo nên cơ sở nói trên.

Cardinal này là số vectơ độc lập tuyến tính tối đa của không gian vectơ đó, đồng thời là số vectơ tối thiểu tạo thành một tập máy phát của không gian đó.

Các cơ sở của không gian vectơ không phải là duy nhất, nhưng tất cả các cơ sở của cùng không gian vectơ đều có cùng thứ nguyên.

Không gian con vector

Không gian con vectơ S của không gian vectơ V là một tập con của V trong đó các phép toán tương tự được xác định như trong V và đáp ứng tất cả các tiên đề trong không gian vectơ. Do đó, không gian con S cũng sẽ là một không gian vectơ.

Ví dụ về không gian con vectơ là các vectơ thuộc mặt phẳng XY. Không gian con này là một tập con của không gian vectơ có chiều lớn hơn tập các vectơ thuộc không gian ba chiều XYZ.

Một ví dụ khác về không gian con vectơ S1 của không gian vectơ S được tạo bởi tất cả các ma trận 2 × 2 với các phần tử thực được định nghĩa dưới đây:

Mặt khác, S2 được định nghĩa dưới đây, mặc dù nó là một tập con của S, không tạo thành một không gian con vectơ:

Bài tập đã giải

-Bài tập 1

Cho các vectơ V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) và V3 = (0, 0, 3) trong R³.

a) Chứng tỏ chúng độc lập tuyến tính.

b) Chứng tỏ rằng chúng tạo thành cơ sở trong R³, vì bất kỳ bộ ba nào (x, y, z) có thể được viết dưới dạng kết hợp tuyến tính của V1, V2, V3.

c) Tìm thành phần của bộ ba V = (-3,5,4) trong cơ sở V1 , V2 , V3 .

Giải pháp

Tiêu chí để chứng minh tính độc lập tuyến tính bao gồm việc thiết lập bộ phương trình sau đây trong α, β và γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

Trong trường hợp nghiệm duy nhất của hệ này là α = β = γ = 0 thì các vectơ là độc lập tuyến tính, ngược lại thì không.

Để nhận được các giá trị của α, β và γ, chúng tôi đề xuất hệ phương trình sau:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Lần đầu tiên dẫn đến α = 0, lần thứ hai α = -2 ∙ β nhưng vì α = 0 thì β = 0. Phương trình thứ ba ngụ ý rằng γ = (- 1/3) β, nhưng vì β = 0 nên γ = 0.

Trả lời cho

Kết luận rằng nó là tập các vectơ độc lập tuyến tính trong R³.

Đáp án b

Bây giờ hãy viết bộ ba (x, y, z) dưới dạng kết hợp tuyến tính của V1, V2, V3.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Nơi nào bạn có:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

Đầu tiên chỉ ra α = x, thứ hai β = (yx) / 2 và thứ ba γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. Bằng cách này, chúng tôi đã tìm ra các máy sinh của α, β và γ của bất kỳ bộ ba nào của R³

Đáp án c

Hãy chuyển sang tìm thành phần của bộ ba V = (-3,5,4) trong cơ sở V1 , V2 , V3 .

Chúng tôi thay thế các giá trị tương ứng trong các biểu thức được tìm thấy ở trên cho các trình tạo.

Trong trường hợp này ta có: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4 - 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

Đó là:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Bởi cuối cùng:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Chúng tôi kết luận rằng V1, V2, V3 tạo thành một cơ sở trong không gian vectơ R³ có chiều 3.

-Bài tập 2

Biểu diễn đa thức P (t) = t² + 4t -3 dưới dạng kết hợp tuyến tính của P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t và P3 (t) = t + 3.

Giải pháp

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

trong đó các số x, y, z được xác định.

Bằng cách nhân và nhóm các số hạng có cùng bậc theo t, chúng ta thu được:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Dẫn đến hệ phương trình sau:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Các nghiệm của hệ phương trình này là:

x = -3, y = 2, z = 4.

Đó là:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-Bài tập 3

Chứng tỏ rằng các vectơ v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) và v3 = (2, 1, -1, 1) của R⁴ là độc lập tuyến tính.

Giải pháp

Chúng tôi kết hợp tuyến tính ba vectơ v1 , v2 , v3 và yêu cầu kết hợp đó thêm phần tử rỗng của R⁴

a v1 + b v2 + c v3 = 0

Điều đó có nghĩa là,

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Điều này dẫn chúng ta đến hệ phương trình sau:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Trừ đi thứ nhất và thứ tư ta có: -a + c = 0, nghĩa là a = c.

Nhưng nếu chúng ta nhìn vào phương trình thứ ba, chúng ta có a = -c. Cách duy nhất mà a = c = (- c) giữ là để c bằng 0 và do đó a cũng sẽ bằng 0.

a = c = 0

Nếu chúng ta cắm kết quả này vào phương trình đầu tiên thì chúng ta kết luận rằng b = 0.

Cuối cùng a = b = c = 0, do đó có thể kết luận rằng các vectơ v1, v2 và v3 là độc lập tuyến tính.

Người giới thiệu

1. Lipschutz, S. 1993. Đại số tuyến tính. Phiên bản thứ hai. McGraw-Hill. 167-198.