KỲ VỌNG TOÁN HỌC: CÔNG THỨC, TÍNH CHẤT, VÍ DỤ, BÀI TẬP - DUDAS - 2026

Các kỳ vọng toán học hoặc giá trị kỳ vọng của biến X ngẫu nhiên, được ký hiệu là E (X) và được định nghĩa là tổng của các sản phẩm giữa xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên xảy ra và giá trị của sự kiện cho biết.

Ở dạng toán học, nó được biểu thị như sau:

Hình 1. Kỳ vọng toán học được sử dụng rộng rãi trên thị trường chứng khoán và bảo hiểm. Nguồn: Pixabay.

Trong đó x _i là giá trị của sự kiện và P (x _i ) xác suất xuất hiện của nó. Tổng mở rộng trên tất cả các giá trị mà X. Và nếu những giá trị này là hữu hạn, thì tổng được chỉ ra sẽ hội tụ đến giá trị E (X), nhưng nếu tổng không hội tụ, thì biến đơn giản là không có giá trị mong đợi.

Khi nó là một biến liên tục x, biến có thể có vô số giá trị và các tích phân thay thế các tổng:

Ở đây f (x) biểu diễn hàm mật độ xác suất.

Nói chung, kỳ vọng toán học (là trung bình có trọng số) không bằng trung bình cộng hoặc trung bình, trừ khi chúng ta xử lý các phân phối rời rạc trong đó mỗi sự kiện đều có thể xảy ra như nhau. Sau đó, và chỉ sau đó:

Trong đó n là số giá trị có thể có.

Khái niệm này rất hữu ích trong thị trường tài chính và các công ty bảo hiểm, nơi thường thiếu sự chắc chắn nhưng vẫn tồn tại xác suất.

Tính chất của kỳ vọng toán học

Trong số các tính chất quan trọng nhất của kỳ vọng toán học, nổi bật sau:

- Dấu hiệu: nếu X dương thì E (X) cũng dương.

- Giá trị kỳ vọng của một hằng số : giá trị kỳ vọng của một hằng số thực k là hằng số.

- Tính tuyến tính trong tổng: kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên mà tổng của hai biến X và Y là tổng của kỳ vọng.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- Nhân với một hằng số : nếu biến ngẫu nhiên có dạng kX, trong đó k là hằng số (một số thực) thì nó ra ngoài giá trị kỳ vọng.

- Giá trị kỳ vọng của sản phẩm và tính độc lập giữa các biến : nếu một biến ngẫu nhiên là tích của hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập thì giá trị kỳ vọng của sản phẩm là tích của các giá trị kỳ vọng.

Nói chung, nếu Y = g (X):

- Thứ tự theo giá trị mong đợi: nếu X ≤ Y, thì:

Vì có các giá trị mong đợi của mỗi người trong số họ.

Kỳ vọng toán học trong cá cược

Khi nhà thiên văn học nổi tiếng Christian Huygens (1629-1695) không quan sát bầu trời, ông đã chuyên tâm vào việc nghiên cứu, trong số các môn học khác, xác suất trong trò chơi may rủi. Chính ông đã đưa ra khái niệm hy vọng toán học trong tác phẩm năm 1656 của mình mang tên: Lý luận về trò chơi may rủi.

Hình 2. Christiaan Huygens (1629-1625) là một nhà khoa học lỗi lạc và đa năng, người mà chúng ta mắc nợ khái niệm giá trị kỳ vọng.

Huygens nhận thấy rằng các cược có thể được phân loại theo ba cách, dựa trên giá trị kỳ vọng:

-Trò chơi có lợi thế: E (X)> 0

- Cược công bằng: E ​​(X) = 0

-Game gặp bất lợi: E (X) <0

Vấn đề là trong một trò chơi may rủi, kỳ vọng toán học không phải lúc nào cũng dễ tính. Và khi bạn có thể, kết quả đôi khi gây thất vọng cho những người phân vân có nên đặt cược hay không.

Hãy thử đặt cược đơn giản: đầu hoặc đuôi và người thua sẽ trả 1 đô la cà phê. Giá trị kỳ vọng của cược này là bao nhiêu?

Vâng, xác suất lật ngửa là ½, tương đương với sấp. Biến ngẫu nhiên là lãi $ 1 hoặc mất $ 1, lãi được biểu thị bằng dấu + và lỗ bằng dấu -.

Chúng tôi sắp xếp thông tin trong một bảng:

Chúng tôi nhân các giá trị của các cột: 1. ½ = ½ và (-1). ½ = -½ và cuối cùng kết quả được cộng. Tổng là 0 và đây là một trò chơi công bằng, trong đó những người tham gia không được thắng cũng như không thua.

Roulette Pháp và xổ số là các trò chơi chấp mà hầu hết những người đặt cược đều thua. Sau đó, có một đặt cược phức tạp hơn một chút trong phần bài tập đã giải.

Ví dụ

Dưới đây là một số ví dụ đơn giản trong đó khái niệm kỳ vọng toán học là trực quan và làm rõ khái niệm:

ví dụ 1

Chúng tôi sẽ bắt đầu bằng cách lăn một con chết trung thực. Giá trị kỳ vọng của đợt ra mắt là bao nhiêu? Chà, nếu con súc sắc là trung thực và có 6 đầu, xác suất để bất kỳ giá trị nào (X = 1, 2, 3… 6) sẽ lăn là 1/6, như sau:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

Hình 3. Trong cuộn xúc xắc trung thực, giá trị mong đợi không phải là giá trị khả dĩ. Nguồn: Pixabay.

Giá trị kỳ vọng trong trường hợp này bằng giá trị trung bình, vì mỗi mặt đều có xác suất xuất hiện như nhau. Nhưng E (X) không phải là giá trị khả dĩ, vì không có đầu nào có giá trị là 3,5. Điều này hoàn toàn có thể xảy ra ở một số phân phối, mặc dù trong trường hợp này kết quả không giúp ích gì nhiều cho người đặt cược.

Hãy xem một ví dụ khác với việc tung hai đồng xu.

Ví dụ 2

Hai đồng xu trung thực được tung lên không trung và chúng tôi xác định biến ngẫu nhiên X là số đầu được cuộn. Các sự kiện có thể xảy ra như sau:

-Không có đầu nào xuất hiện: 0 đầu bằng 2 đuôi.

-Nó ra 1 đầu và 1 tem hoặc chữ thập.

-Hai mặt đi ra.

Gọi C là đầu và T là dấu, không gian mẫu mô tả các sự kiện này như sau:

S _m = {Dấu-Làm kín; Mặt kín; Dấu giáp lai; Khuôn mặt} = {TT, TC, CT, CC}

Xác suất của các sự kiện xảy ra là:

P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼

Bảng được xây dựng với các giá trị thu được:

Theo định nghĩa được đưa ra ở phần đầu, kỳ vọng toán học được tính như sau:

Giá trị thay thế:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Kết quả này được giải thích như sau: nếu một người có đủ thời gian để thực hiện một số lượng lớn thí nghiệm bằng cách tung hai đồng xu, người đó sẽ nhận được một cái đầu trên mỗi lần tung.

Tuy nhiên, chúng tôi biết rằng việc phát hành với 2 nhãn là hoàn toàn có thể.

Bài tập đã giải quyết

Trong lần tung hai đồng xu trung thực, bạn đặt cược như sau: nếu 2 con đầu ra bạn thắng 3 đô la, nếu 1 con đầu ra bạn thắng 1 đô la, nhưng nếu hai con tem ra bạn phải trả 5 đô la. Tính số tiền thắng cược dự kiến.

Hình 4. Tùy thuộc vào đặt cược, kỳ vọng toán học thay đổi khi tung hai đồng tiền trung thực. Nguồn: Pixabay.

Giải pháp

Biến ngẫu nhiên X là các giá trị mà số tiền nhận được trong đặt cược và xác suất được tính trong ví dụ trước, do đó bảng đặt cược là:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Vì giá trị kỳ vọng là 0, đây là trò chơi công bằng, vì vậy ở đây người đặt cược không được thắng và cũng không được thua. Tuy nhiên, số tiền đặt cược có thể được thay đổi để đặt cược thành trò chơi chấp hoặc trò chơi chấp.

Người giới thiệu

1. Brase, C. 2009. Thống kê dễ hiểu. Houghton Mifflin.
2. Olmedo, F. Giới thiệu về khái niệm giá trị kỳ vọng hoặc kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên. Đã khôi phục từ: personal.us.es.
3. Thống kê LibreTexts. Giá trị mong đợi của các biến ngẫu nhiên rời rạc. Được khôi phục từ: stats.libretexts.org.
4. Triola, M. 2010. Thống kê sơ cấp. Ngày 11. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, R. 2007. Xác suất và Thống kê cho Khoa học và Kỹ thuật. Thứ 8. Phiên bản. Giáo dục Pearson.