CHỨC NĂNG SIÊU VIỆT: KIỂU, ĐỊNH NGHĨA, THUỘC TÍNH, VÍ DỤ - TOÁN HỌC - 2026

Các hàm siêu việt cơ bản là các hàm số mũ, logarit, lượng giác, hàm lượng giác nghịch đảo, hyperbolic và hàm hyperbol nghịch đảo. Nghĩa là, chúng là những giá trị không thể được biểu diễn bằng một đa thức, thương của đa thức hoặc căn của đa thức.

Các hàm siêu việt không sơ cấp còn được gọi là các hàm đặc biệt và trong số đó có thể đặt tên cho hàm lỗi. Các hàm đại số (đa thức, thương của đa thức và nghiệm của đa thức) cùng với các hàm siêu việt sơ cấp tạo thành cái mà trong toán học gọi là các hàm cơ bản.

Các hàm siêu việt cũng được coi là kết quả của các phép toán giữa các hàm siêu việt hoặc giữa các hàm siêu việt và đại số. Các phép toán này là: tổng và hiệu của các hàm, tích và thương của các hàm, cũng như thành phần của hai hoặc nhiều hàm.

Định nghĩa và tính chất

Hàm số mũ

Nó là một hàm thực của biến độc lập thực có dạng:

f (x) = a ^ x = a ^x

trong đó a là số thực dương cố định (a> 0) được gọi là cơ sở. Dấu mũ hoặc dấu trên được sử dụng để biểu thị hoạt động tăng áp.

Giả sử a = 2 thì hàm có dạng như sau:

f (x) = 2 ^ x = 2 ^x

Giá trị nào sẽ được đánh giá cho một số giá trị của biến độc lập x:

Dưới đây là đồ thị trong đó hàm mũ được biểu diễn cho một số giá trị của cơ số, bao gồm cơ số e (số Neper e ≃ 2,72). Cơ số e quan trọng đến mức nói chung về một hàm mũ, chúng ta nghĩ đến e ^ x, cũng được ký hiệu là exp (x).

Hình 1. Hàm mũ a ^ x, với các giá trị khác nhau của cơ số a. (Công phu riêng)

Các thuộc tính của hàm mũ

Từ hình 1, có thể nhận thấy rằng miền của các hàm mũ là các số thực (Dom f = R ) và phạm vi hoặc đường dẫn là các số thực dương (Ran f = R ⁺ ).

Mặt khác, không phụ thuộc vào giá trị của cơ số a, mọi hàm số mũ đều đi qua điểm (0, 1) và đi qua điểm (1, a).

Khi cơ số a> 1 thì hàm số tăng và khi 0 <a <1 thì hàm số giảm dần.

Các đường cong y = a ^ x và y = (1 / a) ^ x đối xứng nhau qua trục Y.

Ngoại trừ trường hợp a = 1, hàm mũ là không xác định, nghĩa là, mỗi giá trị của hình ảnh tương ứng với một và chỉ một giá trị bắt đầu.

Hàm lôgarit

Nó là một hàm thực của biến độc lập thực dựa trên định nghĩa về lôgarit của một số. Lôgarit dựa trên số x là số y mà cơ số phải được nâng lên để thu được đối số x:

log _a (x) = y ⇔ a ^ y = x

Tức là, hàm số lôgarit dựa trên là hàm số nghịch đảo của hàm số mũ dựa trên.

Ví dụ:

log ₂ 1 = 0, vì 2 ^ 0 = 1

Một trường hợp khác, log ₂ 4 = 2, vì 2 ^ 2 = 4

Lôgarit cơ số của 2 là log ₂ √2 = ½, vì 2 ^ ½ = √2

log ₂ ¼ = -2, vì 2 ^ (- 2) = ¼

Dưới đây là đồ thị của hàm số logarit trong các cơ số khác nhau.

Hình 2. Hàm mũ đối với các giá trị khác nhau của cơ số. (Công phu riêng)

Tính chất của hàm logarit

Miền của hàm logarit y (x) = log a (x) là các số thực dương R + . Phạm vi đi lại hoặc là có thật số R .

Không phụ thuộc vào cơ số, hàm số lôgarit luôn đi qua điểm (1,0) và điểm (a, 1) thuộc đồ thị của hàm số đó.

Trong trường hợp cơ số a lớn hơn đơn vị (a> 1) thì hàm số lôgarit đang tăng. Nhưng nếu (0 <a <1) thì nó là một hàm giảm.

Các hàm sin, cosine và tiếp tuyến

Hàm sin gán một số thực và cho mỗi giá trị x, trong đó x đại diện cho số đo của một góc tính bằng radian. Để có giá trị Sen (x) của một góc, góc được biểu diễn trong đường tròn đơn vị và hình chiếu của góc nói trên trên trục tung là sin tương ứng với góc đó.

Hình tròn lượng giác và sin cho các giá trị góc khác nhau X1, X2, X3 và X4 được hiển thị bên dưới (trong Hình 3).

Hình 3. Đường tròn lượng giác và sin của các góc khác nhau. (Công phu riêng)

Được xác định theo cách này, giá trị lớn nhất mà hàm Sen (x) có thể có là 1, giá trị này xảy ra khi x = π / 2 + 2π n, với n là số nguyên (0, ± 1, ± 2,). Giá trị nhỏ nhất mà hàm Sen (x) có thể nhận xảy ra khi x = 3π / 2 + 2π n.

Hàm cosin y = Cos (x) được xác định theo cách tương tự, nhưng hình chiếu của các vị trí góc P1, P2, v.v. được thực hiện trên trục hoành của đường tròn lượng giác.

Mặt khác, hàm y = Tan (x) là thương số giữa hàm sin và hàm cosin.

Dưới đây là đồ thị của các hàm siêu việt Sen (x), Cos (x) và Tan (x)

Hình 4. Đồ thị của các hàm siêu việt, Sine, Cosine và Tangent. (Công phu riêng)

Đạo hàm và tích phân

Đạo hàm của hàm mũ

Đạo hàm y 'của hàm số mũ y = a ^ x là hàm số a ^ x nhân với logarit tự nhiên của cơ số a:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

Trong trường hợp cụ thể của cơ số e, đạo hàm của hàm số mũ là chính hàm số mũ.

Tích phân của hàm số mũ

Tích phân không xác định của a ^ x là chính hàm số chia cho lôgarit tự nhiên của cơ số.

Trong trường hợp cụ thể của cơ số e, tích phân của hàm số mũ là chính hàm số mũ.

Bảng đạo hàm và tích phân của hàm siêu việt

Dưới đây là bảng tóm tắt của các hàm siêu việt chính, đạo hàm và tích phân bất định (đạo hàm) của chúng:

Bảng đạo hàm và tích phân bất định cho một số hàm siêu việt. (Công phu riêng)

Ví dụ

ví dụ 1

Tìm hàm kết quả từ phép hợp của hàm f (x) = x ^ 3 với hàm g (x) = cos (x):

(sương mù) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

Đạo hàm và tích phân không xác định của nó là:

Ví dụ 2

Tìm thành phần của hàm g với hàm f, trong đó g và f là các hàm được xác định trong ví dụ trước:

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³ )

Cần lưu ý rằng thành phần của các hàm không phải là một phép toán giao hoán.

Đạo hàm và tích phân không xác định của hàm này lần lượt là:

Tích phân bị bỏ lại vì không thể viết kết quả dưới dạng tổ hợp các hàm cơ bản một cách chính xác.

Người giới thiệu

1. Tính tích của một biến đơn. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, ngày 10 tháng 11 2008
2. Định lý Hàm ẩn: Lịch sử, Lý thuyết và Ứng dụng. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, ngày 9 tháng 11. 2012
3. Phân tích đa biến. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, ngày 13 tháng 12. 2010
4. Động lực học hệ thống: Mô hình hóa, mô phỏng và điều khiển các hệ thống cơ điện tử. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, ngày 7 tháng 3 2012
5. Giải tích: Toán học và Mô hình hóa. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, ngày 1 tháng 1 1999
6. wikipedia. Chức năng siêu việt. Phục hồi từ: es.wikipedia.com