HEPTADECAGON: THUỘC TÍNH, ĐƯỜNG CHÉO, CHU VI, DIỆN TÍCH - TOÁN HỌC - 2026

Các hình thất thập giác là một đa giác thường xuyên với 17 mặt và 17 đỉnh. Việc xây dựng nó có thể được thực hiện theo phong cách Euclid, tức là chỉ sử dụng thước và la bàn. Đó là thiên tài toán học vĩ đại Carl Friedrich Gauss (1777-1855), chỉ mới 18 tuổi, người đã tìm ra quy trình xây dựng nó vào năm 1796.

Rõ ràng, Gauss luôn rất nghiêng về hình học này, đến mức từ ngày phát hiện ra cấu tạo của nó, ông đã quyết định trở thành một nhà toán học. Người ta cũng nói rằng ông ấy muốn heptadecagon được khắc trên bia mộ của mình.

Hình 1. Heptadecagon là một đa giác đều có 17 cạnh và 17 đỉnh. Nguồn: F. Zapata.

Gauss cũng đã tìm ra công thức để xác định đa giác đều có khả năng được xây dựng bằng thước và compa, vì một số không có cấu trúc Euclid chính xác.

Đặc điểm của heptadecagon

Đối với các đặc điểm của nó, giống như bất kỳ đa giác nào, tổng các góc bên trong của nó là quan trọng. Trong một đa giác đều có n cạnh, tổng được cho bởi:

Tổng này, được biểu thị bằng radian, có dạng như sau:

Từ các công thức trên, có thể dễ dàng suy ra rằng mỗi góc trong của một heptadecagon có một số đo chính xác α được cho bởi:

Như vậy góc bên trong gần đúng là:

Đường chéo và chu vi

Các đường chéo và chu vi là những khía cạnh quan trọng khác. Trong bất kỳ đa giác nào, số đường chéo là:

D = n (n - 3) / 2 và trong trường hợp của heptadecagon, là n = 17, chúng ta có D = 119 đường chéo.

Mặt khác, nếu biết chiều dài của mỗi cạnh của heptadecagon, thì chu vi của heptadecagon thông thường được tìm thấy đơn giản bằng cách thêm 17 lần chiều dài đó hoặc tương đương với 17 lần chiều dài d của mỗi cạnh:

P = 17 ngày

Chu vi của heptadecagon

Đôi khi chỉ biết bán kính r của heptadecagon, vì vậy cần phải xây dựng công thức cho trường hợp này.

Cuối cùng, khái niệm apothem được đưa ra. Apothem là đoạn đi từ tâm của đa giác đều đến trung điểm của một cạnh. Apothem so với một mặt là vuông góc với mặt đó (xem hình 2).

Hình 2. Các phần của một đa giác đều có bán kính r và các cạnh của nó được thể hiện. (Công phu riêng)

Hơn nữa, apothem là phân giác của góc với đỉnh trung tâm và các cạnh trên hai đỉnh liên tiếp của đa giác, điều này cho phép chúng ta tìm mối quan hệ giữa bán kính r và cạnh d.

Nếu gọi góc ở tâm DOE là β và coi cạnh OJ là tia phân giác thì ta có EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), từ đó ta có quan hệ tìm độ dài d của cạnh của đa giác đã biết bán kính r và góc ở tâm của nó là β:

d = 2 r Sen (β / 2)

Trong trường hợp heptadecagon β = 360º / 17, chúng ta có:

d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0,3675 r

Cuối cùng, công thức tính chu vi của heptadecagon thu được, biết bán kính của nó:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6.2475 r

Chu vi hình tam giác gần bằng chu vi hình tròn xung quanh nó, nhưng giá trị của nó nhỏ hơn, tức là chu vi hình tròn ngoại tiếp là Pcir = 2π r ≈ 6.2832 r.

Khu vực

Để xác định diện tích của heptadecagon, chúng ta sẽ tham khảo Hình 2, cho thấy các cạnh và cạnh của một đa giác đều có n cạnh. Trong hình này, tam giác EOD có diện tích bằng đáy d (cạnh của đa giác) nhân với chiều cao a (cạnh của đa giác) chia cho 2:

Diện tích EOD = (dxa) / 2

Vì vậy, khi biết cạnh a của heptadecagon và cạnh d của cùng một mặt, diện tích của nó là:

Diện tích Heptadecagon = (17/2) (dxa)

Diện tích cho bên

Để có được công thức về diện tích của hình tam giác khi biết độ dài của mười bảy cạnh của nó, cần có mối quan hệ giữa độ dài của cạnh a và cạnh d.

Tham khảo hình 2, ta thu được mối quan hệ lượng giác sau:

Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, trong đó β là góc ở tâm DOE. Vì vậy, apothem a có thể được tính nếu độ dài d của cạnh của đa giác và góc ở tâm β biết:

a = (d / 2) Cotan (β / 2)

Nếu biểu thức này bây giờ được thay thế cho apothem, trong công thức cho diện tích của heptadecagon thu được trong phần trước, chúng ta có:

Diện tích Heptadecagon = (17/4) (d ² ) Cotan (β / 2)

Là β = 360º / 17 cho heptadecagon, vì vậy cuối cùng chúng ta có công thức mong muốn:

Diện tích Heptadecagon = (17/4) (d ² ) Cotan (180º / 17)

Diện tích cho bán kính

Trong các phần trước, mối quan hệ đã được tìm thấy giữa cạnh d của một đa giác đều và bán kính r của nó, mối quan hệ này như sau:

d = 2 r Sen (β / 2)

Biểu thức cho d này được chèn vào biểu thức thu được trong phần trước cho diện tích. Nếu các thay thế và đơn giản hóa có liên quan được thực hiện, công thức cho phép tính diện tích của heptadecagon sẽ thu được:

Diện tích Heptadecagon = (17/2) (r ² ) Sen (β) = (17/2) (r ² ) Sen (360º / 17)

Biểu thức gần đúng cho diện tích là:

Diện tích Heptadecagon = 3.0706 (r ² )

Đúng như dự đoán, khu vực này là hơi nhỏ hơn diện tích của vòng tròn circumscribing các hình thất thập giác Một _circ = π r ² ≈ 3,1416 r ² . Nói chính xác, nó nhỏ hơn 2% so với đường tròn ngoại tiếp của nó.

Ví dụ

ví dụ 1

Để trả lời câu hỏi, cần nhớ mối quan hệ giữa cạnh và bán kính của một đa giác đều n mặt:

d = 2 r Sen (180º / n)

Đối với heptadecagon n = 17, sao cho d = 0,3675 r, tức là bán kính của heptadecagon là r = 2 cm / 0,3675 = 5,4423 cm hoặc

Đường kính 10,8844 cm.

Chu vi của một hình tam giác cạnh 2 cm là P = 17 * 2 cm = 34 cm.

Ví dụ 2

Chúng ta phải tham khảo công thức hiển thị trong phần trước, cho phép chúng ta tìm diện tích của một heptadecagon khi nó có độ dài là d cạnh của nó:

Diện tích Heptadecagon = (17/4) (d ² ) / Tan (180º / 17)

Bằng cách thay d = 2 cm vào công thức trước, ta thu được:

Diện tích = 90,94 cm

Người giới thiệu

1. CEA (2003). Yếu tố hình học: với các bài tập và hình học compa. Đại học Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Toán học 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. (2007). Khám phá Đa giác. Công ty Giáo dục Điểm chuẩn.
4. Hendrik, V. (2013). Đa giác tổng quát. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Toán học học kỳ I Tacaná. IGER.
6. Hình học Jr. (2014). Đa giác. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren và Hornsby. (2006). Toán học: Lập luận và Ứng dụng (Tái bản lần thứ mười). Giáo dục Pearson.
8. Patiño, M. (2006). Toán học 5. Progreso biên tập.
9. Sada, M. Đa giác đều 17 cạnh bằng thước và compa. Được khôi phục từ: geogebra.org
10. Wikipedia. Heptadecagon. Phục hồi từ: es.wikipedia.com