- Trình diễn
- Sin và côsin
- Bản sắc cơ bản
- Trục của tiếp tuyến
- Nhận dạng Pitago của tiếp tuyến
- Thí dụ
- Bài tập đã giải
- Bài tập 1
- Bài tập 2
- Người giới thiệu
Định dạng Pitago là tất cả các phương trình lượng giác giữ cho bất kỳ giá trị nào của góc và dựa trên định lý Pitago. Đặc điểm nổi tiếng nhất trong số các nhận dạng của Pitago là nhận dạng lượng giác cơ bản:
Sin 2 (α) + Cos 2 (α) = 1
Hình 1. Nhận dạng lượng giác Pitago.
Tiếp theo về tầm quan trọng và tôi sử dụng đặc điểm nhận dạng Pitago của tiếp tuyến và tiếp tuyến:
Tan 2 (α) + 1 = Sec 2 (α)
Và nhận dạng lượng giác Pitago liên quan đến cotang và cosec:
1 + Ctg 2 (α) = Csc 2 (α)
Trình diễn
Các tỉ số lượng giác sin và côsin được biểu diễn trên một đường tròn bán kính một (1) được gọi là đường tròn lượng giác. Cho biết đường tròn có tâm tại gốc tọa độ O.
Các góc được đo từ bán trục dương của Xs, ví dụ góc α trong hình 2 (xem bên dưới). Ngược chiều kim đồng hồ nếu góc là dương và theo chiều kim đồng hồ nếu là góc âm.
Người ta vẽ tia có gốc O và góc α chắn đường tròn đơn vị tại điểm P. Điểm P được chiếu vuông góc lên trục hoành X sinh ra điểm C. Tương tự P được chiếu vuông góc lên trục tung Y cho nơi đến điểm S.
Ta có tam giác vuông OCP tại C.
Sin và côsin
Cần nhớ rằng sin tỉ số lượng giác được xác định trên một tam giác vuông như sau:
Sin của một góc của tam giác là tỷ số hoặc thương số giữa chân đối diện của góc và cạnh huyền của tam giác.
Áp dụng cho tam giác OCP của hình 2, nó sẽ giống như sau:
Sen (α) = CP / OP
nhưng CP = OS và OP = 1, do đó:
Sen (α) = OS
Có nghĩa là hệ điều hành chiếu trên trục Y có giá trị bằng sin của góc hiển thị. Cần lưu ý rằng giá trị lớn nhất của sin của một góc (+1) xảy ra khi α = 90º và nhỏ nhất (-1) khi α = -90º hoặc α = 270º.
Hình 2. Đường tròn lượng giác cho thấy mối quan hệ giữa định lý Pitago và định dạng lượng giác cơ bản. (Công phu riêng)
Tương tự, cosin của một góc là thương số giữa chân kề của góc và cạnh huyền của tam giác.
Áp dụng cho tam giác OCP của hình 2, nó sẽ giống như sau:
Cos (α) = OC / OP
nhưng OP = 1, do đó:
Cos (α) = OC
Điều này có nghĩa là hình chiếu OC trên trục X có giá trị bằng sin của góc cho thấy. Cần lưu ý rằng giá trị lớn nhất của cosin (+1) xảy ra khi α = 0º hoặc α = 360º, trong khi giá trị nhỏ nhất của cosin là (-1) khi α = 180º.
Bản sắc cơ bản
Đối với tam giác vuông OCP ở C, định lý Pitago được áp dụng, trong đó nói rằng tổng bình phương của các chân bằng bình phương của cạnh huyền:
CP 2 + OC 2 = OP 2
Nhưng người ta đã nói rằng CP = OS = Sen (α), OC = Cos (α) và OP = 1, vì vậy biểu thức trước đó có thể được viết lại dưới dạng một hàm của sin và cosin của góc:
Sin 2 (α) + Cos 2 (α) = 1
Trục của tiếp tuyến
Cũng giống như trục X trong đường tròn lượng giác là trục côsin và trục Y là trục sin, theo cùng một phương có trục tiếp tuyến (xem hình 3) chính xác là đường tiếp tuyến với đường tròn đơn vị tại điểm B của tọa độ (1, 0).
Muốn biết giá trị của tiếp tuyến của một góc thì góc vẽ từ bán trục dương của X, giao điểm của góc với trục của tiếp tuyến xác định một điểm Q, độ dài đoạn thẳng OQ là tiếp tuyến của góc.
Điều này là do theo định nghĩa, tiếp tuyến của góc α là chân đối diện QB giữa chân kề OB. Tức là, Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.
Hình 3. Đường tròn lượng giác biểu diễn trục của tiếp tuyến và đồng dạng Pitago của tiếp tuyến. (Công phu riêng)
Nhận dạng Pitago của tiếp tuyến
Nhận dạng Pitago của tiếp tuyến có thể được chứng minh bằng cách xét tam giác vuông OBQ tại B (Hình 3). Áp dụng định lý Pitago cho tam giác này ta có BQ 2 + OB 2 = OQ 2 . Nhưng người ta đã nói rằng BQ = Tan (α), OB = 1 và OQ = Sec (α), do đó thay vào đẳng thức Pitago cho tam giác vuông OBQ ta có:
Tan 2 (α) + 1 = Sec 2 (α).
Thí dụ
Kiểm tra xem đồng dạng Pitago có được thỏa mãn trong tam giác vuông có chân AB = 4 và BC = 3 hay không.
Lời giải: Chân đã biết, cạnh huyền cần xác định, đó là:
AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.
Góc ∡BAC sẽ được gọi là α, ∡BAC = α. Bây giờ các tỷ số lượng giác được xác định:
Sen α = BC / AC = 3/5
Cos α = AB / AC = 4/5
Vậy α = BC / AB = 3/4
Cotan α = AB / BC = 4/3
Sec α = AC / AB = 5/4
Csc α = AC / BC = 5/3
Nó bắt đầu với nhận dạng lượng giác cơ bản:
Sin 2 (α) + Cos 2 (α) = 1
(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1
Nó được kết luận rằng nó được hoàn thành.
- Nhận dạng tiếp theo của Pitago là của tiếp tuyến:
Tan 2 (α) + 1 = Sec 2 (α)
(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2
Và người ta kết luận rằng danh tính của tiếp tuyến được xác minh.
- Theo cách tương tự của cotang:
1 + Ctg 2 (α) = Csc 2 (α)
1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2
Người ta kết luận rằng nó cũng được hoàn thành, với đó nhiệm vụ xác minh các đặc điểm của Pitago cho tam giác đã cho đã hoàn thành.
Bài tập đã giải
Chứng minh các đồng dạng sau, dựa trên định nghĩa của các tỉ số lượng giác và đồng dạng Pitago.
Bài tập 1
Chứng minh rằng Cos 2 x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).
Lời giải: Ở phía bên phải, chúng ta nhận ra tích đáng kể của phép nhân một nhị thức với liên hợp của nó, như chúng ta biết, là một hiệu của các bình phương:
Cos 2 x = 1 2 - sin 2 x
Sau đó, thuật ngữ có sin ở bên phải chuyển sang bên trái với dấu hiệu được thay đổi:
Cos 2 x + Sen 2 x = 1
Lưu ý rằng đã đạt đến đồng nhất lượng giác cơ bản, do đó, kết luận rằng biểu thức đã cho là một đồng nhất, nghĩa là, nó đúng với bất kỳ giá trị nào của x.
Bài tập 2
Bắt đầu từ nhận dạng lượng giác cơ bản và sử dụng các định nghĩa của các tỷ số lượng giác, chứng minh nhận dạng Pythagore của vũ trụ.
Giải pháp: Bản sắc cơ bản là:
Sin 2 (x) + Cos 2 (x) = 1
Cả hai thành viên được chia cho Sen 2 (x) và mẫu số được chia cho thành viên đầu tiên:
Sin 2 (x) / Sin 2 (x) + Cos 2 (x) / Sin 2 (x) = 1 / Sin 2 (x)
Nó được đơn giản hóa:
1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2
Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) là một danh tính (không phải là Pitago) được xác minh bằng chính định nghĩa của các tỷ số lượng giác. Điều tương tự cũng xảy ra với đồng dạng sau: 1 / Sen (x) = Csc (x).
Cuối cùng bạn phải:
1 + Ctg 2 (x) = Csc 2 (x)
Người giới thiệu
- Baldor J. (1973). Hình học mặt phẳng và không gian với phần giới thiệu về lượng giác. Văn hóa Trung Mỹ. AC
- CEA (2003). Yếu tố hình học: với các bài tập và hình học compa. Đại học Medellin.
- Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Toán học 2. Grupo Editorial Patria.
- IGER. (sf). Toán học học kỳ I Tacaná. IGER.
- Hình học Jr. (2014). Đa giác. Lulu Press, Inc.
- Miller, Heeren và Hornsby. (2006). Toán học: Lập luận và Ứng dụng (Tái bản lần thứ mười). Giáo dục Pearson.
- Patiño, M. (2006). Toán học 5. Progreso biên tập.
- Wikipedia. Nhận dạng và công thức lượng giác. Phục hồi từ: es.wikipedia.com