MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO: TÍNH TOÁN VÀ GIẢI BÀI TẬP - TOÁN HỌC - 2024

Các ma trận nghịch đảo của một ma trận nhất định là ma trận mà nhân với ban đầu đưa ra nhận dạng ma trận. Ma trận nghịch đảo rất hữu ích để giải các hệ phương trình tuyến tính, do đó tầm quan trọng của việc biết cách tính toán nó.

Ma trận rất hữu ích trong vật lý, kỹ thuật và toán học, vì chúng là một công cụ nhỏ gọn để giải quyết các vấn đề phức tạp. Tiện ích của ma trận được nâng cao khi chúng khả nghịch và nghịch đảo của chúng cũng được biết đến.

Hình 1. Một ma trận 2 × 2 chung chung và ma trận nghịch đảo của nó được hiển thị. (Chuẩn bị bởi Ricardo Pérez)

Trong các lĩnh vực xử lý đồ họa, Dữ liệu lớn, Khai thác dữ liệu, Học máy và các lĩnh vực khác, các thuật toán hiệu quả và nhanh chóng được sử dụng để đánh giá ma trận nghịch đảo của ma trận nxn với n rất lớn, theo thứ tự hàng nghìn hoặc hàng triệu.

Để minh họa việc sử dụng ma trận nghịch đảo trong việc xử lý một hệ phương trình tuyến tính, chúng ta sẽ bắt đầu với trường hợp đơn giản nhất trong tất cả: ma trận 1 × 1.

Trường hợp đơn giản nhất: phương trình tuyến tính của một biến đơn được coi là: 2 x = 10.

Ý tưởng là để tìm giá trị của x, nhưng nó sẽ được thực hiện "ma trận".

Ma trận M = (2) nhân vectơ (x) là ma trận 1 × 1 mà kết quả là vectơ (10):

M (x) = (10)

Nghịch đảo của ma trận M được ký hiệu là M ^-1 .

Cách chung để viết "hệ thống tuyến tính" này là:

MX = B, trong đó X là vectơ (x) và B là vectơ (10).

Theo định nghĩa, ma trận nghịch đảo là ma trận nhân với ma trận ban đầu cho kết quả là ma trận nhận dạng I:

M ^-1 M = I

Trong trường hợp đã xét, ma trận M ^-1 là ma trận (½), tức là M ^-1 = (½) vì M ^-1 M = (½) (2) = (1) = I

Để tìm vectơ chưa biết X = (x), trong phương trình đề xuất, cả hai phần tử được nhân với ma trận nghịch đảo:

M ^-1 M (x) = M ^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

Đã đạt được đẳng thức của hai vectơ, chúng chỉ bằng nhau khi các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau, nghĩa là x = 5.

Tính nghịch đảo của ma trận

Điều gì thúc đẩy việc tính toán ma trận nghịch đảo là để tìm ra một phương pháp phổ quát cho nghiệm của các hệ tuyến tính chẳng hạn như hệ 2 × 2 sau:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Tiếp theo các bước của trường hợp 1 × 1 đã nghiên cứu ở phần trước, chúng ta viết hệ phương trình dưới dạng ma trận:

Hình 2. Hệ thống tuyến tính dạng ma trận.

Lưu ý rằng hệ thống này được viết bằng ký hiệu vectơ nhỏ gọn như sau:

MX = B

Ở đâu

Bước tiếp theo là tìm nghịch đảo của M.

Phương pháp 1: Sử dụng loại bỏ Gaussian

Phương pháp khử Gaussian sẽ được áp dụng. Bao gồm thực hiện các phép toán cơ bản trên các hàng của ma trận, các phép toán này là:

- Nhân một hàng với một số khác không.

- Cộng hoặc trừ một hàng khác khỏi một hàng, hoặc bội số của một hàng khác.

- Đổi chỗ các hàng.

Mục tiêu là, thông qua các hoạt động này, chuyển ma trận ban đầu thành ma trận nhận dạng.

Khi điều này được thực hiện, trong ma trận M, các phép toán giống hệt nhau được áp dụng cho ma trận nhận dạng. Khi sau một số phép toán trên các hàng M được chuyển thành ma trận đơn nhất, thì ma trận ban đầu là đơn vị sẽ trở thành ma trận nghịch đảo của M, tức là M ^-1 .

1- Chúng ta bắt đầu quá trình bằng cách viết ma trận M và bên cạnh nó là ma trận đơn vị:

2- Chúng tôi thêm hai hàng và đặt kết quả vào hàng thứ hai, theo cách này, chúng tôi nhận được số 0 trong phần tử đầu tiên của hàng thứ hai:

3- Chúng tôi nhân hàng thứ hai với -1 để thu được 0 và 1 ở hàng thứ hai:

4- Hàng đầu tiên được nhân với ½:

5- Dòng thứ hai và thứ nhất được thêm vào và kết quả được đặt ở hàng đầu tiên:

6- Bây giờ để kết thúc quá trình, hàng đầu tiên được nhân với 2 để thu được ma trận đồng nhất ở hàng đầu tiên và ma trận nghịch đảo của ma trận ban đầu M ở hàng thứ hai:

Điều đó có nghĩa là:

Giải pháp hệ thống

Sau khi thu được ma trận nghịch đảo, hệ phương trình được giải bằng cách áp dụng ma trận nghịch đảo cho cả hai phần tử của phương trình vectơ thu gọn:

M ^-1 M X = M ^-1 B

X = M ^-1 B

Trông rõ ràng như thế này:

Sau đó phép nhân ma trận được thực hiện để thu được vectơ X:

Phương pháp 2: sử dụng ma trận đính kèm

Trong phương pháp thứ hai này ma trận nghịch đảo được tính từ ma trận liên hợp của ma trận ban đầu Một .

Giả sử một ma trận A được cho bởi:

nơi _{i, j} là phần tử trong hàng i, cột j của ma trận A .

Phần phụ của ma trận A sẽ được gọi là Adj (A) và các phần tử của nó là:

ad _{i, j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai, j¦

nơi Ái, j là ma trận dưới bổ sung thu được bằng cách loại bỏ các hàng i, cột j của ma trận ban đầu Một . Các thanh ¦ ¦ chỉ ra rằng định thức được tính toán, nghĩa là , ¦Ai, j¦ là định thức của ma trận bổ sung nhỏ.

Công thức ma trận nghịch đảo

Công thức tìm ma trận nghịch đảo bắt đầu từ ma trận liền kề của ma trận ban đầu như sau:

Là, ma trận nghịch đảo của A , A ^-1 , là transpose của liên hợp của A chia cho yếu tố quyết định của Một .

Chuyển vị A ^T của ma trận A thu được bằng cách đổi hàng thành cột, tức là hàng đầu tiên trở thành cột đầu tiên và hàng thứ hai trở thành cột thứ hai và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi hoàn thành n hàng của ma trận ban đầu.

Bài tập đã giải quyết

Cho ma trận A như sau:

Mỗi và mọi phần tử của ma trận liền kề của A được tính: Adj (A)

Kết quả là ma trận liền kề của A, Adj (A) như sau:

Sau đó, định thức của ma trận A, det (A) được tính:

Cuối cùng thu được ma trận nghịch đảo của A:

Người giới thiệu

1. Anthony Nicolaides (1994) Các yếu tố quyết định & Ma trận. Vượt qua ấn phẩm.
2. Awol Assen (2013) Một nghiên cứu về tính toán các yếu tố quyết định của một 3 × 3
3. Casteleiro Villalba M. (2004) Giới thiệu về đại số tuyến tính. Biên tập ESIC.
4. Dave Kirkby (2004) Kết nối toán học. Heinemann.
5. Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Nhà xuất bản Đại học Cambridge.
6. Richard J. Brown (2012) Toán 30 giây: 50 lý thuyết mở rộng tư duy nhất trong toán học. Ivy Press Limited.
7. Ma trận. Nhà xuất bản Học thuật Lap Lambert.