Có một ma trận trực giao khi ma trận đã nói nhân với chuyển vị của nó sẽ tạo ra ma trận nhận dạng. Nếu nghịch đảo của ma trận bằng phép chuyển vị thì ma trận ban đầu là trực giao.
Ma trận trực giao có đặc điểm là số hàng bằng số cột. Hơn nữa, các vectơ hàng là vectơ trực giao đơn vị và các vectơ hàng chuyển vị cũng là.
Hình 1. Ví dụ về ma trận trực giao và cách nó biến đổi các đối tượng hình học. (Chuẩn bị bởi Ricardo Pérez)
Khi một ma trận trực giao được nhân với các vectơ của không gian vectơ, nó tạo ra một phép biến đổi đẳng phương, tức là một phép biến đổi không thay đổi khoảng cách và bảo toàn các góc.
Một đại diện điển hình của ma trận trực giao là ma trận xoay. Các phép biến đổi của ma trận trực giao trên không gian vectơ được gọi là phép biến đổi trực giao.
Các phép biến đổi hình học về phép quay và phản xạ của các điểm được biểu diễn bằng vectơ Descartes của chúng được thực hiện bằng cách áp dụng ma trận trực giao trên các vectơ gốc để thu được tọa độ của các vectơ đã biến đổi. Chính vì lý do này mà ma trận trực giao được sử dụng rộng rãi trong xử lý đồ họa máy tính.
Tính chất
Một ma trận M là trực giao nếu nhân với chuyển vị của nó M T đưa ra kết quả là ma trận sắc tôi . Tương tự, tích của phép hoán vị ma trận trực giao bằng ma trận ban đầu dẫn đến ma trận nhận dạng:
MM T = M T M = I
Theo kết quả của phát biểu trước, chúng ta có rằng chuyển vị của một ma trận trực giao bằng ma trận nghịch đảo của nó:
M T = M -1 .
Tập hợp các ma trận trực giao có chiều nxn tạo thành nhóm trực giao O (n). Và tập con O (n) của ma trận trực giao với định thức +1 tạo thành Nhóm ma trận đặc biệt đơn nhất SU (n). Các ma trận của nhóm SU (n) là các ma trận tạo ra phép quay tuyến tính, còn được gọi là nhóm phép quay.
Trình diễn
Chúng ta muốn chứng minh rằng ma trận là trực giao nếu và chỉ khi, các vectơ hàng (hoặc vectơ cột) là trực giao với nhau và có chuẩn 1.
Giả sử rằng các hàng của ma trận trực giao nxn là n vectơ trực giao có chiều n. Nếu nó được ký hiệu là v 1 , v 2 ,…., V n với n vectơ thì:
Rõ ràng là tập các vectơ hàng là một tập các vectơ trực giao với chuẩn là một.
Ví dụ
ví dụ 1
Chứng tỏ rằng ma trận 2 x 2 mà ở hàng đầu tiên của nó có vectơ v1 = (-1 0) và ở hàng thứ hai của nó là vectơ v2 = (0 1) là một ma trận trực giao.
Giải: Ma trận M được xây dựng và tính chuyển vị M T của nó :
Trong ví dụ này, ma trận M là tự chuyển vị, tức là ma trận và chuyển vị của nó giống hệt nhau. Nhân M với phép chuyển vị M T :
Người ta xác minh rằng MM T bằng với ma trận nhận dạng:
Khi ma trận M được nhân với tọa độ của một vectơ hoặc một điểm, các tọa độ mới sẽ thu được tương ứng với phép biến đổi mà ma trận thực hiện trên vectơ hoặc điểm.
Hình 1 cho thấy cách M biến vectơ u thành u ' và cũng là cách M biến đa giác xanh thành đa giác đỏ. Vì M là trực giao nên nó là một phép biến hình trực giao, bảo toàn khoảng cách và góc.
Ví dụ 2
Giả sử bạn có một ma trận 2 x 2 được xác định trong các số thực được cho bởi biểu thức sau:
Tìm các giá trị thực của a, b, c và d sao cho ma trận M là ma trận trực giao.
Giải: Theo định nghĩa, một ma trận là trực giao nếu nhân với phép chuyển vị của nó thì thu được ma trận nhận dạng. Hãy nhớ rằng ma trận chuyển vị được lấy từ ban đầu, đổi hàng thành cột, ta nhận được đẳng thức sau:
Thực hiện phép nhân ma trận ta có:
Cân bằng các phần tử của ma trận bên trái với các phần tử của ma trận đồng dạng bên phải, ta thu được một hệ bốn phương trình với bốn ẩn số a, b, c và d.
Chúng tôi đề xuất cho a, b, c và d các biểu thức sau dưới dạng các tỷ số lượng giác sin và cosin:
Với đề xuất này và do sự đồng nhất lượng giác cơ bản, các phương trình bậc nhất và bậc ba được tự động thỏa mãn trong sự bằng nhau của các phần tử ma trận. Các phương trình thứ ba và thứ tư giống nhau và trong đẳng thức ma trận sau khi thay thế cho các giá trị được đề xuất, nó trông giống như sau:
dẫn đến giải pháp sau:
Cuối cùng, các nghiệm sau thu được cho ma trận trực giao M:
Lưu ý rằng nghiệm đầu tiên có định thức +1 nên nó thuộc nhóm SU (2), trong khi nghiệm thứ hai có định thức -1 và do đó không thuộc nhóm này.
Ví dụ 3
Cho ma trận sau, tìm giá trị của a và của b để chúng ta có ma trận trực giao.
Giải pháp: Để một ma trận đã cho là trực giao, tích với phép chuyển vị của nó phải là ma trận đồng nhất. Sau đó, tích ma trận của ma trận đã cho với ma trận chuyển vị của nó được thực hiện, cho kết quả sau:
Tiếp theo, kết quả được tương đương với ma trận nhận dạng 3 x 3:
Trong hàng thứ hai, cột thứ ba có (ab = 0), nhưng a không được bằng 0, vì nếu không thì sự bằng nhau của các phần tử của hàng thứ hai và cột thứ hai sẽ không được đáp ứng. Khi đó nhất thiết b = 0. Thay b cho giá trị 0 ta có:
Khi đó phương trình được giải: 2a ^ 2 = 1, có nghiệm là: + ½√2 và -½√2.
Lấy nghiệm dương của a, ta thu được ma trận trực giao sau:
Người đọc có thể dễ dàng xác minh rằng các vectơ hàng (và cả các vectơ cột) là trực giao và đơn nhất, tức là trực chuẩn.
Ví dụ 4
Chứng tỏ rằng ma trận A có vectơ hàng là v1 = (0, -1 0) , v2 = (1, 0, 0) và v3 = (0 0 -1) là ma trận trực giao. Ngoài ra, hãy tìm các vectơ được biến đổi từ cơ sở chính tắc i, j, k thành vectơ u1 , u2 và u3 .
Giải pháp: Cần nhớ rằng phần tử (i, j) của ma trận nhân với chuyển vị của nó, là tích vô hướng của vectơ của hàng (i) với của cột (j) của chuyển vị. Hơn nữa, tích này bằng đồng bằng Kronecker trong trường hợp ma trận là trực giao:
Trong trường hợp của chúng tôi, nó trông như thế này:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
Với nó, nó được chỉ ra rằng nó là một ma trận trực giao.
Hơn nữa u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) và cuối cùng là u3 = A k = (0, 0, -1)
Người giới thiệu
- Anthony Nicolaides (1994) Các yếu tố quyết định & Ma trận. Vượt qua ấn phẩm.
- Birkhoff và MacLane. (1980). Đại số hiện đại, ed. Vicens-Vives, Madrid.
- Casteleiro Villalba M. (2004) Giới thiệu về đại số tuyến tính. Biên tập ESIC.
- Dave Kirkby (2004) Kết nối toán học. Heinemann.
- Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Nhà xuất bản Đại học Cambridge.
- Richard J. Brown (2012) Toán 30 giây: 50 lý thuyết mở rộng tư duy nhất trong toán học. Ivy Press Limited.
- Wikipedia. Ma trận trực giao. Phục hồi từ: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Ma trận trực giao. Khôi phục từ: en.wikipedia.com