VECTƠ ĐỒNG QUY: ĐẶC ĐIỂM, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP - TOÁN HỌC - 2025

Các vectơ đồng thời là nhóm vectơ có trục trùng tại một thời điểm, tạo thành giữa mỗi cặp nội bộ và bên ngoài một góc độ khác. Một ví dụ rõ ràng được thấy trong hình dưới đây, trong đó A, B và C là các vectơ đồng quy với nhau.

D và E không giống như phần còn lại là không. Có các góc tạo thành giữa các vectơ AB, AC và CB đồng quy. Chúng được gọi là góc quan hệ giữa các vectơ.

nét đặc trưng

-Chúng có điểm chung trùng với gốc tọa độ: độ lớn của các vectơ đồng quy đều bắt đầu từ một điểm chung đến các điểm cuối tương ứng của chúng.

- Điểm gốc được coi là điểm tác động của vectơ: một điểm tác động phải được thiết lập sẽ chịu ảnh hưởng trực tiếp của từng vectơ đồng quy.

- Miền của nó trong mặt phẳng và không gian lần lượt là R ² và R ³ : vectơ đồng quy tự do bao phủ toàn bộ không gian hình học.

-Cho phép các ký hiệu khác nhau trong cùng một nhóm vectơ. Theo các nhánh của nghiên cứu, các ký hiệu khác nhau hiện diện trong các phép toán với vectơ.

Các loại vectơ

Nhánh của vectơ có nhiều phân thức, trong số chúng có thể được đặt tên là: song song, vuông góc, đồng phẳng, tương ứng, đối nhau và đơn ánh. Các vectơ đồng thời được liệt kê ở đây và giống như tất cả những vectơ có tên ở trên, chúng có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác nhau.

Chúng rất phổ biến trong nghiên cứu vectơ, vì chúng đại diện cho sự tổng quát hữu ích trong các phép toán với chúng. Cả trong mặt phẳng và trong không gian, vectơ đồng quy thường được sử dụng để biểu diễn các phần tử khác nhau và nghiên cứu ảnh hưởng của chúng đối với một hệ thống cụ thể.

Ký hiệu vectơ

Có một số cách để biểu diễn một phần tử vectơ. Chính và được biết đến nhiều nhất là:

Descartes

Được đề xuất bằng cách tiếp cận toán học tương tự này, nó biểu thị các vectơ có bộ ba tương ứng với độ lớn của mỗi trục (x, y, z)

A: (1, 1, -1) Không gian A: (1, 1) Mặt phẳng

Cực

Chúng chỉ dùng để biểu thị các vectơ trong mặt phẳng, mặc dù trong phép tính tích phân, nó được gán thành phần độ sâu. Nó được tạo thành với độ lớn r và một góc so với trục cực Ɵ.

A: (3, 45 ⁰ ) Mặt phẳng A: (2, 45 ⁰ , 3) Không gian

Phân tích

Họ xác định độ lớn của vectơ bằng cách sử dụng các so sánh. Các so sánh (i + j + k) đại diện cho các vectơ đơn vị tương ứng với các trục X, Y và

A: 3i + 2j - 3k

Hình cầu

Chúng tương tự như ký hiệu cực, nhưng có thêm góc thứ hai quét qua mặt phẳng xy được ký hiệu bằng δ.

A: (4, 60 ^hoặc , π / 4)

Các phép toán vectơ đồng thời

Các vectơ đồng thời chủ yếu được sử dụng để xác định các phép toán giữa các vectơ, vì dễ dàng so sánh các phần tử của vectơ khi chúng được trình bày đồng thời.

Tổng (A + B)

Tổng các vectơ đồng quy nhằm mục đích tìm vectơ kết quả V _r . Mà, theo nhánh nghiên cứu, tương ứng với một hành động cuối cùng

Ví dụ: 3 chuỗi {A, B, C} được buộc vào một hộp, mỗi đầu của chuỗi do một chủ thể giữ. Mỗi đối tượng trong 3 đối tượng phải kéo dây theo hướng khác với 2 đối tượng còn lại.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ay + by + cy; az + bz + cz) = V _r

Hộp sẽ chỉ có thể chuyển động theo một hướng, do đó V _r sẽ cho biết phương và chiều chuyển động của hộp.

Sự khác biệt (A - B)

Có nhiều tiêu chí liên quan đến sự khác biệt giữa các vectơ, nhiều tác giả chọn loại trừ nó và nói rằng chỉ quy định tổng giữa các vectơ, trong đó sự khác biệt là về tổng của vectơ đối diện. Sự thật là các vectơ có thể được trừ đại số.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; ay-by; az-bz) =

Tích vô hướng (A. B)

Còn được gọi là sản phẩm chấm, nó tạo ra một giá trị vô hướng có thể liên quan đến các cường độ khác nhau tùy thuộc vào ngành nghiên cứu.

Đối với phần hình học, hãy cho biết diện tích của hình bình hành tạo bởi cặp vectơ đồng quy qua phương pháp hình bình hành. Đối với vật lý cơ học, nó xác định công được thực hiện bởi một lực F khi di chuyển vật thể một đoạn Δr.

ѡ = F . Δr

Như tên của nó đã chỉ ra, nó tạo ra một giá trị vô hướng và được định nghĩa như sau:

Cho vectơ A và B là

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

-Hình thức phân tích:

(A. B) = -A -.- B-.Cos θ

Trong đó θ là góc trong giữa cả hai vectơ

- Dạng đại số:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Sản phẩm chéo (A x B)

Các sản phẩm vector hoặc chấm sản phẩm giữa hai vectơ, định nghĩa một vector thứ ba C có chất lượng là vuông góc với B và C . Trong vật lý, vectơ mômen τ là yếu tố cơ bản của động lực học quay.

-Hình thức phân tích:

- A x B - = -A -.- B-.Sen θ

- Dạng đại số:

(A x B) = = (ax. By - ay. Bx) - (ax. Bz - az. Bx) j + (ax. By - ay. Bx) k

- Chuyển động tương đối: r _{A / B}

Cơ sở của thuyết tương đối là chuyển động tương đối và vectơ đồng quy là cơ sở của chuyển động tương đối. Vị trí tương đối, vận tốc và gia tốc có thể được suy ra bằng cách áp dụng thứ tự ý tưởng sau đây.

r _{A / B} = r _A - r _B ; Vị trí tương đối của A đối với B

v _{A / B} = v _A - v _B ; Vận tốc tương đối của A đối với B

a _{A / B} = a _A - a _B ; Gia tốc tương đối của A so với B

Ví dụ: bài tập đã giải

Bài tập 1

Gọi A, B, C là các vectơ đồng quy.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

-Xác định vectơ kết quả V _r = 2A - 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

-Xác định sản phẩm chấm (A. C)

(A. C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5

(A. C) = 3

-Tính góc giữa A và C

(A. C) = -A -.- C-. Cos θ Trong đó θ là góc ngắn nhất giữa các vectơ

θ = 88,63 ⁰

-Tìm vectơ vuông góc với A và B

Đối với điều này, cần phải xác định tích vectơ giữa (-1, 3, 5) và (3, 5, -2). Như đã giải thích trước đây, ma trận 3 x 3 được xây dựng trong đó hàng đầu tiên là bao gồm ba vectơ đơn vị (i, j, k). Sau đó, hàng thứ 2 và thứ 3 được tạo thành từ các vectơ để hoạt động, tôn trọng thứ tự hoạt động.

(A x B) = = i - j + k

(A x B) = (-5 - 9) I - (2 - 15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 I + 13 j - 14 k

Bài tập 2

Gọi V _a và V _b lần lượt là vectơ vận tốc của A và B. Tính vận tốc của B nhìn từ A.

V _a = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

Trong trường hợp này, vận tốc tương đối của B so với A V _{B / A} được yêu cầu

V _{B / A} = V _B - V _A

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Đây là vectơ vận tốc của B nhìn từ A. Trong đó vectơ vận tốc mới của B được mô tả lấy tham chiếu từ một quan sát viên đặt tại A và chuyển động với vận tốc A.

Bài tập đề xuất

1-Dựng 3 vectơ A, B, C đồng quy và liên hệ 3 phép tính giữa chúng qua một bài tập thực hành.

2-Cho các vectơ A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) và C: (-2, -1, 10). Tìm vectơ vuông góc với: A và B, C và B, Tổng A + B + C.

4-Xác định 3 vectơ vuông góc với nhau, không tính các trục tọa độ.

5-Định nghĩa công thực hiện của một lực nâng một vật khối lượng 5 kg lên từ đáy giếng sâu 20m.

6-Chứng tỏ một cách đại số rằng phép trừ các vectơ bằng tổng của vectơ đối. Biện minh cho định đề của bạn.

7-Biểu thị một vector trong tất cả các ký hiệu được phát triển trong bài viết này. (Descartes, cực, giải tích và hình cầu).

8-Lực từ tác dụng lên nam châm đặt trên mặt bàn được cho bởi các vectơ sau; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), H: (-3, 5, -4). Xác định hướng mà nam châm sẽ chuyển động nếu tất cả các lực từ tác dụng cùng một lúc.

Người giới thiệu

1. Hình học Euclid và các phép biến đổi. Clayton W. Dodge. Courier Corporation, ngày 1 tháng 1 2004
2. Cách giải các bài toán ứng dụng L. Moiseiwitsch. Courier Corporation, ngày 10 tháng 4 2013
3. Các khái niệm cơ bản của hình học. Walter Prenowitz, Meyer Jordan. Rowman & Littlefield, ngày 4 tháng 10. 2012
4. Vectơ. Rocío Navarro Lacoba, ngày 7 tháng 6. 2014
5. Đại số tuyến tính. Bernard Kolman, David R. Hill. Pearson Education, 2006