- Các yếu tố của một vectơ
- Các thành phần hình chữ nhật của một vectơ
- Dạng cực của vectơ
- Các loại
- Vectơ đơn vị trực giao
- Thêm vectơ
- Các thuộc tính của phép cộng vectơ
- Ví dụ về vectơ
- Các phép toán khác giữa các vectơ
- Tích của một vô hướng và một vectơ
- Chấm sản phẩm hoặc chấm sản phẩm giữa các vectơ
- Sản phẩm chéo hoặc sản phẩm vectơ giữa các vectơ
- Tích chéo giữa các vectơ đơn vị
- Bài tập đã giải
- - Bài tập 1
- Giải pháp
- - Bài tập 2
- Giải pháp
- Người giới thiệu
Các vectơ là các thực thể toán học thường đi kèm với một đơn vị đo lường -positiva- độ lớn và hướng tốt. Các đặc điểm như vậy rất thích hợp để mô tả các đại lượng vật lý như tốc độ, lực, gia tốc và nhiều đại lượng khác.
Với vectơ có thể thực hiện các phép toán như cộng, trừ và tích. Phép chia không được định nghĩa cho vectơ và đối với tích, có ba lớp mà chúng ta sẽ mô tả sau: tích chấm hoặc điểm, tích vectơ hoặc chéo và tích vô hướng của vectơ.
Hình 1. Các phần tử của một vector. Nguồn: Wikimedia Commons.
Để mô tả đầy đủ một vectơ, tất cả các đặc điểm của nó phải được chỉ ra. Độ lớn hoặc môđun là một giá trị số đi kèm với một đơn vị, trong khi hướng và giác được thiết lập với sự trợ giúp của hệ tọa độ.
Hãy xem một ví dụ: giả sử một chiếc máy bay bay từ thành phố này đến thành phố khác với tốc độ 850 km / h theo hướng NE. Ở đây chúng ta có một vectơ được chỉ định đầy đủ, vì độ lớn có sẵn: 850 km / h, trong khi hướng và giác là NE.
Các vectơ thường được biểu diễn bằng đồ thị bằng các đoạn thẳng có định hướng, có độ dài tỷ lệ với độ lớn.
Mặc dù để xác định hướng và cảm giác, cần phải có đường tham chiếu, thường là trục hoành, mặc dù hướng bắc cũng có thể được lấy làm tham chiếu, chẳng hạn như trường hợp tốc độ của máy bay:
Hình 2. Một vectơ vận tốc. Nguồn: F. Zapata.
Các show hình vector tốc độ của máy bay, ký hiệu là v trong loại táo bạo , để phân biệt với một số lượng vô hướng, mà chỉ đòi hỏi một giá trị số và một số đơn vị được xác định.
Các yếu tố của một vectơ
Như chúng ta đã nói, các phần tử của vectơ là:
-Độ lớn hoặc môđun, đôi khi còn được gọi là giá trị tuyệt đối hoặc chuẩn của vectơ.
-Địa chỉ
-Giác quan
Trong ví dụ ở Hình 2, môđun của v là 850 km / h. Mô đun được ký hiệu là v mà không in đậm, hoặc là - v -, trong đó các thanh đại diện cho giá trị tuyệt đối.
Hướng của v được xác định so với hướng Bắc. Trong trường hợp này, nhiệt độ là 45º Bắc Đông (45º NE). Cuối cùng đầu mũi tên thông báo về cảm giác của v .
Trong ví dụ này, gốc của vectơ đã được vẽ trùng với điểm gốc O của hệ tọa độ, đây được gọi là một vectơ liên kết. Mặt khác, nếu gốc của vectơ không trùng với gốc của hệ quy chiếu thì nó được coi là vectơ tự do.
Cần lưu ý rằng để xác định đầy đủ vectơ thì phải lưu ý 3 yếu tố này, nếu không thì phần mô tả vectơ sẽ không đầy đủ.
Các thành phần hình chữ nhật của một vectơ
Hình 3. Các thành phần hình chữ nhật của một vector trong mặt phẳng. Nguồn: Wikimedia Commons. uranther
Trong hình ảnh, chúng ta có vectơ ví dụ v , nằm trong mặt phẳng xy.
Dễ thấy rằng hình chiếu của v trên các trục toạ độ x và y xác định một tam giác vuông. Các hình chiếu này là v y và v x và được gọi là các thành phần hình chữ nhật của v .
Một cách để biểu thị v bằng các thành phần hình chữ nhật của nó như sau: v =
Nếu vectơ nằm trong không gian ba chiều, thì cần thêm một thành phần nữa, để:
v =
Biết các thành phần hình chữ nhật độ lớn của vector được tính toán, tương đương với việc tìm kiếm cạnh huyền của tam giác vuông có chân v x và v và ,. Theo định lý Pitago, nó như sau:
Dạng cực của vectơ
Khi biết độ lớn của vectơ - v - và góc θ của nó với trục tham chiếu, thường là trục hoành, thì vectơ cũng được xác định. Sau đó vectơ được biểu diễn ở dạng cực.
Các thành phần hình chữ nhật trong trường hợp này có thể dễ dàng tính toán:
Theo trên, các thành phần hình chữ nhật của vectơ vận tốc v của máy bay sẽ là:
Các loại
Có một số loại vectơ. Có các vectơ vận tốc, vị trí, độ dời, lực, điện trường, động lượng, và nhiều thứ khác. Như chúng ta đã nói, trong vật lý có một số lượng lớn các đại lượng vectơ.
Về vectơ có những đặc điểm nhất định, chúng ta có thể kể đến các loại vectơ sau:
-Không : đây là các vectơ có độ lớn bằng 0 và được ký hiệu là 0. Hãy nhớ rằng chữ cái in đậm tượng trưng cho ba đặc điểm cơ bản của một vectơ, trong khi chữ cái bình thường chỉ đại diện cho môđun.
Ví dụ, trên một vật thể ở trạng thái cân bằng tĩnh, tổng các lực phải là một vectơ rỗng.
- Tự do và liên kết : vectơ tự do là những vectơ có điểm gốc và điểm đến là bất kỳ cặp điểm nào trong mặt phẳng hoặc không gian, không giống như vectơ liên kết, có gốc trùng với điểm gốc của hệ quy chiếu được sử dụng để mô tả chúng.
Cặp đôi hoặc khoảnh khắc được tạo ra bởi một cặp lực là một ví dụ điển hình về vectơ tự do, vì cặp đôi này không áp dụng cho bất kỳ điểm cụ thể nào.
- Tương đương : chúng là hai vectơ tự do có chung các đặc điểm giống nhau. Do đó chúng có độ lớn, hướng và giác bằng nhau.
- Đồng phẳng hay đồng phẳng : các vectơ cùng thuộc một mặt phẳng.
- Đối nhau : là các vectơ có cùng độ lớn và hướng nhưng ngược chiều nhau. Vectơ đối với vectơ v là vectơ - v và tổng của cả hai là vectơ rỗng: v + (- v ) = 0 .
- Đồng quy : các vectơ có đường biểu diễn đều đi qua cùng một điểm.
- Thanh trượt : là những vectơ mà điểm ứng dụng của nó có thể trượt dọc theo một đường cụ thể.
- Collinear : các vectơ nằm trên cùng một đường thẳng.
- Unitary : những vectơ có môđun là 1.
Vectơ đơn vị trực giao
Có một loại véc tơ rất hữu ích trong vật lý gọi là véc tơ đơn vị trực giao. Vectơ đơn vị trực giao có môđun bằng 1 và các đơn vị có thể là bất kỳ, ví dụ như tốc độ, vị trí, lực hoặc các đơn vị khác.
Có một tập hợp các vectơ đặc biệt giúp dễ dàng biểu diễn các vectơ khác và thực hiện các phép toán với chúng: chúng là các vectơ đơn vị trực giao i , j và k , đơn vị và vuông góc với nhau.
Trong hai chiều, các vectơ này hướng theo chiều dương của cả trục x và trục y. Và trong ba chiều, một vectơ đơn vị được thêm vào theo hướng của trục z dương. Chúng được trình bày như sau:
i = <1, 0,0>
j = <0,1,0>
k = <0,0,1>
Một vectơ có thể được biểu diễn bằng các vectơ đơn vị i , j và k như sau:
v = v x i + v y j + v z k
Ví dụ, vectơ vận tốc v trong các ví dụ trước có thể được viết là:
v = 601,04 i + 601,04 j km / h
Thành phần trong k là không cần thiết, vì vectơ này nằm trong mặt phẳng.
Thêm vectơ
Tổng các vectơ xuất hiện rất thường xuyên trong các tình huống khác nhau, ví dụ khi bạn muốn tìm lực kết quả lên một vật thể chịu tác dụng của các lực khác nhau. Để bắt đầu, giả sử rằng chúng ta có hai vectơ u và v tự do trên mặt phẳng, như thể hiện trong hình sau bên trái:
Hình 4. Đồ thị tổng của hai vectơ. Nguồn: Wikimedia Commons. Lluc cabanach.
Nó được chuyển ngay lập tức một cách cẩn thận sang vectơ v mà không cần sửa đổi độ lớn, hướng hoặc giác của nó, sao cho gốc của nó trùng với điểm cuối của u .
Tổng vectơ được gọi là w và được vẽ bắt đầu từ u kết thúc bằng v , theo hình bên phải. Điều quan trọng cần lưu ý là độ lớn của vectơ w không nhất thiết phải là tổng độ lớn của v và u .
Nếu bạn suy nghĩ kỹ về nó, thời điểm duy nhất mà độ lớn của vectơ kết quả là tổng độ lớn của các phụ tố là khi cả hai phụ tố cùng hướng và có cùng ý nghĩa.
Và điều gì xảy ra nếu các vectơ không tự do? Nó cũng rất dễ dàng để thêm chúng. Cách thực hiện là thêm component vào component, hoặc phương pháp phân tích.
Ví dụ, chúng ta hãy xem xét các vectơ trong hình sau, điều đầu tiên là biểu diễn chúng theo một trong những cách Descartes đã giải thích trước đây:
Hình 5. Tổng của hai vectơ liên kết. Nguồn: Wikimedia Commons.
v = <5,1>
u = <2,3>
Để có được thành phần x của vectơ tổng w , hãy cộng các thành phần x tương ứng của v và u : w x = 5 + 2 = 7. Và để có được w y, một quy trình tương tự được tuân theo: w y = 1 + 3. Như vậy:
u = <7.4>
Các thuộc tính của phép cộng vectơ
-Tổng của hai hay nhiều vectơ cho kết quả là một vectơ khác.
-Có tính chất giao hoán, thứ tự của các phụ tố không làm thay đổi tổng, theo cách:
u + v = v + u
- Phần tử trung hòa của tổng các vectơ là vectơ rỗng: v + 0 = v
- Phép trừ hai vectơ được định nghĩa là tổng đối nghịch: v - u = v + (-u)
Ví dụ về vectơ
Như chúng ta đã nói, có rất nhiều đại lượng vectơ trong vật lý. Trong số những thứ được biết đến nhiều nhất là:
-Chức vụ
-Vị trí
-Tốc độ trung bình và tốc độ tức thời
-Sự tăng tốc
-Lực lượng
-Số lượng chuyển động
- Mômen hoặc mômen của một lực
-Thúc đẩy
-Trường điện
-Từ trường
-Momen từ
Mặt khác, chúng không phải là vectơ mà là vô hướng:
- Thời tiết
-Khối lượng
-Nhiệt độ
-Âm lượng
-Tỉ trọng
-Công việc cơ khí
-Năng lượng
-Nóng bức
-Quyền lực
-Vôn
-Dòng điện
Các phép toán khác giữa các vectơ
Ngoài phép cộng và phép trừ vectơ, có ba phép toán rất quan trọng khác giữa các vectơ, vì chúng làm phát sinh các đại lượng vật lý mới rất quan trọng:
-Sản phẩm vô hướng theo vectơ.
-Sản phẩm chấm hoặc sản phẩm chấm giữa các vectơ
-Và tích chéo hoặc tích vectơ giữa hai vectơ.
Tích của một vô hướng và một vectơ
Hãy xem xét định luật thứ hai của Newton, trong đó nói rằng lực F và gia tốc a là tỷ lệ thuận. Hằng số tỉ lệ thuận là khối lượng m của vật, do đó:
F = m. đến
Khối lượng là một đại lượng vô hướng; về phần của chúng, lực và gia tốc là vectơ. Vì lực có được bằng cách nhân khối lượng với gia tốc, nó là kết quả của tích vô hướng và một vectơ.
Loại sản phẩm này luôn dẫn đến một vectơ. Đây là một ví dụ khác: số lượng chuyển động. Gọi P là vectơ động lượng, v là vectơ vận tốc và như mọi khi, m là khối lượng:
P = m. v
Chấm sản phẩm hoặc chấm sản phẩm giữa các vectơ
Chúng ta đã đặt công cơ học vào danh sách các đại lượng không phải là vectơ. Tuy nhiên, công việc trong vật lý là kết quả của phép toán giữa các vectơ được gọi là tích vô hướng, tích bên trong hoặc tích chấm.
Cho vectơ v và u , xác định dấu chấm hoặc tích vô hướng giữa chúng là:
v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ
Trong đó θ là góc giữa hai góc. Từ phương trình cho thấy ngay lập tức kết quả của tích chấm là một vô hướng và nếu cả hai vectơ vuông góc với nhau thì tích chấm của chúng bằng 0.
Quay lại công cơ học W, đây là tích vô hướng giữa vectơ lực F và vectơ độ dời ℓ .
Khi các vectơ có sẵn về mặt thành phần của chúng, tích chấm cũng rất dễ tính. Nếu v =
v ∙ u = v x u x + v y u y + v z u z
Tích số chấm giữa các vectơ là giao hoán, do đó:
v ∙ u = u ∙ v
Sản phẩm chéo hoặc sản phẩm vectơ giữa các vectơ
Nếu v và u là hai vectơ ví dụ của chúng ta, chúng ta định nghĩa tích vectơ là:
v x u = w
Kết quả ngay sau đó là kết quả chéo tạo ra một vectơ, có mô đun được xác định là:
Trong đó θ là góc giữa các vectơ.
Tích chéo không giao hoán, do đó v x u ≠ u x v. Thực tế v x u = - (u x v).
Nếu hai vectơ ví dụ được biểu thị dưới dạng các vectơ đơn vị, thì việc tính tích vectơ sẽ được thực hiện dễ dàng:
v = v x i + v y j + v z k
u = u x i + u y j + u z k
Tích chéo giữa các vectơ đơn vị
Tích chéo giữa các vectơ đơn vị giống hệt nhau bằng 0, vì góc giữa chúng là 0º. Nhưng giữa các vectơ đơn vị khác nhau, góc giữa chúng là 90º và sin 90º = 1.
Sơ đồ sau đây giúp tìm các sản phẩm này. Theo chiều mũi tên, nó có chiều dương và chiều ngược lại là chiều âm:
i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; tôi x k = -j
Áp dụng thuộc tính phân phối, vẫn có giá trị cho các tích giữa các vectơ cộng với các thuộc tính của vectơ đơn vị, chúng ta có:
v x u = (v x i + v y j + v z k ) x (u x i + u y j + u z k ) =
Bài tập đã giải
- Bài tập 1
Cho các vectơ:
v = -5 i + 4 j + 1 k
u = 2 i -3 j + 7 k
Vectơ w phải là gì để tổng v + u + w là 6 i +8 j -10 k ?
Giải pháp
Do đó, nó phải được đáp ứng rằng:
Câu trả lời là: w = 9 i +7 j - 18 k
- Bài tập 2
Góc giữa vectơ v và u trong bài tập 1 là?
Giải pháp
Chúng tôi sẽ sử dụng sản phẩm chấm. Từ định nghĩa, chúng ta có:
v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15
Thay thế các giá trị này:
Người giới thiệu
- Figueroa, D. (2005). Loạt bài: Vật lý cho Khoa học và Kỹ thuật. Tập 1. Động học. Biên tập bởi Douglas Figueroa (USB).
- Giancoli, D. 2006. Vật lý: Các nguyên tắc với ứng dụng. Ngày 6. Ed Prentice Hall.
- Rex, A. 2011. Cơ bản của Vật lý. Lề.
- Sears, Zemansky. 2016. Vật lý Đại học với Vật lý hiện đại. Ngày 14. Ed. Tập 1.
- Serway, R., Jewett, J. 2008. Vật lý cho Khoa học và Kỹ thuật. Tập 1. Thứ 7. Ed. Cengage Learning.