HOÁN VỊ VÒNG TRÒN: CHỨNG MINH, VÍ DỤ, BÀI TẬP ĐÃ GIẢI - DUDAS - 2026

Các hoán vị vòng tròn nhiều loại khác nhau của các nhóm của tất cả các yếu tố của một bộ, khi họ đang có để được sắp xếp theo vòng tròn. Trong kiểu hoán vị này, thứ tự quan trọng và các phần tử không được lặp lại.

Ví dụ, giả sử bạn muốn biết số mảng phân biệt gồm các chữ số từ một đến bốn, đặt mỗi số tại một trong các đỉnh của hình thoi. Tổng cộng đây sẽ là 6 cách sắp xếp:

Không nên nhầm lẫn rằng số một ở vị trí phía trên của hình thoi trong mọi trường hợp là một vị trí cố định. Các hoán vị vòng tròn không bị thay đổi bởi sự quay của mảng. Sau đây là một hoán vị đơn hoặc giống nhau:

Demo và công thức

Trong ví dụ về các mảng tròn gồm 4 chữ số khác nhau nằm ở các đỉnh của hình thoi, số mảng (6) có thể được tìm thấy như sau:

1- Bất kỳ trong bốn chữ số được lấy làm điểm bắt đầu tại bất kỳ đỉnh nào và tiến tới đỉnh tiếp theo. (không quan trọng nếu nó được quay theo chiều kim đồng hồ hay ngược chiều kim đồng hồ)

2- Còn 3 phương án để chọn đỉnh thứ hai, sau đó có 2 phương án chọn đỉnh thứ ba và tất nhiên chỉ có một phương án chọn cho đỉnh thứ tư.

3- Như vậy, số hoán vị vòng tròn, ký hiệu là (4 - 1) P (4 - 1), thu được bằng tích của các phương án chọn ở mỗi vị trí:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 mảng tròn có 4 chữ số khác nhau.

Nói chung, số hoán vị vòng có thể thực hiện được với tất cả n phần tử của một tập hợp là:

(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Lưu ý rằng (n - 1)! Nó được gọi là n giai thừa và viết tắt tích của tất cả các số từ số (n - 1) đến số một, bao gồm cả.

Ví dụ

ví dụ 1

Có bao nhiêu cách khác nhau để 6 người ngồi vào một bàn tròn?

Bạn muốn tìm số cách khác nhau để 6 người có thể ngồi quanh một bàn tròn.

Số cách ngồi = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

Số cách ngồi = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 cách khác nhau

Ví dụ 2

Có bao nhiêu cách khác nhau để 5 người có thể xác định vị trí của mình tại các đỉnh của một ngũ giác?

Số cách sao cho 5 người có thể được định vị tại mỗi đỉnh của một ngũ giác.

Số cách đặt = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

Số cách được định vị = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 cách khác nhau

Bài tập đã giải

- Bài tập 1

Một thợ kim hoàn mua 12 viên đá quý khác nhau để đặt chúng vào các điểm chỉ giờ của đồng hồ mà anh ta đang thay mặt cho hoàng gia của một quốc gia châu Âu chuẩn bị.

a) Người đó có bao nhiêu cách khác nhau để sắp xếp các viên đá trên đồng hồ?

b) Nếu hòn đá đi đến vị trí 12 giờ là duy nhất thì nó có bao nhiêu hình dạng khác nhau?

c) Có bao nhiêu hình dạng khác nhau nếu viên đá ở vị trí 12 giờ là duy nhất và viên đá ở ba điểm chính khác là 3, 6 và 9 giờ; Có ba viên đá cụ thể nào có thể được trao đổi và thời gian còn lại được chỉ định từ những viên đá còn lại không?

Các giải pháp

a) Yêu cầu số cách xếp tất cả các viên đá theo chu vi đồng hồ; tức là, số lượng sắp xếp hình tròn liên quan đến tất cả các viên đá có sẵn.

Số cách sắp xếp trên đồng hồ = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Số bản sửa lỗi trên đồng hồ = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Số cách sắp xếp trên đồng hồ = 39976800 hình dạng khác nhau

b) Anh ta tự hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự khác nhau, biết rằng viên đá trên tay cầm ở vị trí 12 giờ là duy nhất và cố định; tức là số lần sắp xếp hình tròn liên quan đến 11 viên đá còn lại.

Số cách sắp xếp trên đồng hồ = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Số lượng sửa chữa trên đồng hồ = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Số cách sắp xếp trên đồng hồ = 3,628,800 hình dạng khác nhau

c) Cuối cùng, số cách sắp xếp tất cả các viên đá tìm được trừ viên đá 12h cố định, các viên đá thứ 3, 6 và 9 có 3 viên đá xếp xen kẽ nhau; đó là, 3! khả năng sắp xếp, và số lượng sắp xếp hình tròn liên quan đến 8 viên đá còn lại.

Số lần sửa trong đồng hồ = 3! * = 3! * (8–1)!

Số cách sắp xếp trong đồng hồ = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Số cách sắp xếp trên đồng hồ = 241920 hình dạng khác nhau

- Bài tập 2

Ban chỉ đạo của một công ty bao gồm 8 thành viên và họ họp tại một chiếc bàn bầu dục.

a) Ủy ban có bao nhiêu hình thức sắp xếp khác nhau xung quanh bàn?

b) Giả sử chủ tọa ngồi đầu bàn trong một ban bố trí bất kỳ, các thành viên còn lại có bao nhiêu hình thức sắp xếp khác nhau?

c) Giả sử phó chủ tịch và thư ký ngồi ở hai bên của chủ tịch trong một ban bố trí bất kỳ thì thành viên còn lại có bao nhiêu hình thức sắp xếp khác nhau?

Các giải pháp

a) Chúng ta muốn tìm số cách khác nhau để sắp xếp 12 thành viên của ủy ban xung quanh bàn bầu dục.

N ° sắp xếp ủy ban = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

N ° sắp xếp ủy ban = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° sắp xếp ủy ban = 39976800 hình thức khác nhau

b) Vì chủ tịch ủy ban được đặt ở một vị trí cố định nên tìm số cách sắp xếp 11 thành viên ủy ban còn lại xung quanh bàn bầu dục.

N ° sắp xếp ủy ban = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

N ° sắp xếp ủy ban = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° sắp xếp ủy ban = 3,628,800 hình thức khác nhau

c) Chủ tịch nằm ở một vị trí cố định, hai bên là phó chủ tịch và thư ký với hai khả năng sắp xếp: phó chủ tịch bên phải và thư ký bên trái hoặc phó chủ tịch bên trái và thư ký bên phải. Sau đó, bạn muốn tìm số cách khác nhau để sắp xếp 9 thành viên còn lại của ủy ban xung quanh bàn bầu dục và nhân với 2 hình thức sắp xếp mà phó chủ tịch và thư ký có.

N ° sắp xếp ủy ban = 2 * = 2 *

N ° sắp xếp ủy ban = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

N ° sắp xếp ủy ban = 80640 hình thức khác nhau

Người giới thiệu

1. Boada, A. (2017). Sử dụng hoán vị có lặp lại như dạy thí nghiệm. Tạp chí Vivat Academia. Phục hồi từ researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Xác suất và Thống kê. Ứng dụng và phương pháp. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Kính, G .; Stanley, J. (1996). Phương pháp thống kê không áp dụng cho khoa học xã hội. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Số liệu thống kê. Lần xuất bản thứ tư. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R .; Myers, R .; Myers, S .; Ye, Ka. (2007). Xác suất & Thống kê cho các kỹ sư & nhà khoa học. Eighth ed. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Thống kê áp dụng cho kinh doanh và nền kinh tế. Lần xuất bản thứ ba. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. Wikipedia. (2019). Hoán vị. Khôi phục từ en.wikipedia.org.