HOÁN VỊ KHÔNG LẶP LẠI: CÔNG THỨC, CHỨNG MINH, BÀI TẬP, VÍ DỤ - DUDAS - 2026

Một hoán vị không lặp lại của n phần tử là các nhóm khác nhau của các phần tử khác nhau có thể nhận được khi không lặp lại bất kỳ phần tử nào, chỉ thay đổi thứ tự sắp xếp của các phần tử.

Để tìm ra số hoán vị mà không lặp lại, công thức sau được sử dụng:

Pn = n!

Khai triển nào sẽ là Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Vì vậy, trong ví dụ thực tế trước, nó sẽ được áp dụng như sau:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 số có 4 chữ số khác nhau.

Đây là tổng cộng 24 mảng: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Có thể thấy, không có sự lặp lại trong mọi trường hợp, là 24 số khác nhau.

Demo và công thức

24 Cách sắp xếp của 4 hình khác nhau

Chúng ta sẽ phân tích cụ thể hơn ví dụ về 24 cách sắp xếp có 4 chữ số khác nhau có thể được tạo thành với các chữ số của số 2468. Số cách sắp xếp (24) có thể được biết như sau:

Bạn có 4 tùy chọn để chọn chữ số đầu tiên, trong đó có 3 tùy chọn để chọn chữ số thứ hai. Hai chữ số đã được đặt và vẫn còn 2 tùy chọn để chọn chữ số thứ ba. Chữ số cuối cùng chỉ có một tùy chọn lựa chọn.

Do đó, số hoán vị, ký hiệu là P4, thu được bằng tích của các phương án chọn ở mỗi vị trí:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 số có 4 chữ số khác nhau

Nói chung, số hoán vị hoặc sắp xếp khác nhau có thể thực hiện được với tất cả n phần tử của một tập hợp đã cho là:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Biểu thức n! nó được gọi là n giai thừa và có nghĩa là tích của tất cả các số tự nhiên nằm giữa số n và số một, bao gồm cả hai.

12 Cách sắp xếp của 2 hình khác nhau

Bây giờ, giả sử bạn muốn biết số hoán vị hoặc số có hai chữ số có thể được tạo thành với các chữ số của số 2468.

Tổng cộng đây sẽ là 12 cách sắp xếp: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Bạn có 4 tùy chọn để chọn chữ số đầu tiên, để lại 3 chữ số để chọn chữ số thứ hai. Do đó, số hoán vị của 4 chữ số lấy hai bằng hai, ký hiệu là 4P2, là tích của các phương án chọn ở mỗi vị trí:

4P2 = 4 * 3 = 12 số có 2 chữ số khác nhau

Nói chung, số các hoán vị hoặc sắp xếp khác nhau có thể được thực hiện với r phần tử của n trong một tập hợp đã cho là:

nPr = n (n - 1) (n - 2)…

Biểu thức trên được cắt bớt trước khi chơi n !. Để hoàn thành n! từ đó chúng ta nên viết:

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1)

Đến lượt mình, các yếu tố mà chúng tôi thêm vào đại diện cho một giai thừa:

(n - r)… (2) (1) = (n - r)!

Vì vậy,

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)!

Từ đây

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2)… = nPr

Ví dụ

ví dụ 1

Có thể tạo ra bao nhiêu tổ hợp chữ cái gồm 5 chữ cái khác nhau với các chữ cái của từ KEY?

Chúng ta muốn tìm số lượng các tổ hợp chữ cái khác nhau của 5 chữ cái có thể được tạo ra với 5 chữ cái của từ KEY; nghĩa là, số lượng mảng 5 chữ cái liên quan đến tất cả các chữ cái có trong từ KEY.

N ° của 5 từ ký tự = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 tổ hợp chữ cái gồm 5 chữ cái khác nhau.

Đó sẽ là: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC… tổng cộng lên đến 120 tổ hợp chữ cái khác nhau.

Ví dụ 2

Bạn có 15 quả bóng được đánh số và bạn muốn biết Có bao nhiêu nhóm 3 quả bóng khác nhau với 15 quả bóng được đánh số?

Bạn muốn tìm số nhóm 3 quả bóng có thể được tạo ra với 15 quả bóng được đánh số.

Số nhóm 3 quả bóng = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

Số nhóm 3 bóng = 15 * 14 * 13 = 2730 nhóm 3 bóng

Bài tập đã giải

Bài tập 1

Một cửa hàng trái cây có quầy triển lãm gồm một dãy các ngăn nằm ở sảnh vào khuôn viên. Trong một ngày, người bán rau mua được để bán: cam, chuối, dứa, lê và táo.

a) Bạn có bao nhiêu cách khác nhau để sắp xếp gian hàng triển lãm?

b) Có bao nhiêu cách xếp thứ tự khác nhau nếu ngoài các loại trái cây nêu (5), bạn nhận được vào ngày hôm đó: xoài, đào, dâu và nho (4)?

a) Chúng ta muốn tìm số cách khác nhau để xếp tất cả các loại quả trong hàng hiển thị; có nghĩa là, số cách sắp xếp của 5 mặt hàng trái cây bao gồm tất cả các loại trái cây có sẵn để bán trong ngày đó.

N ° sắp xếp chân đế = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° sắp xếp giá đỡ = 120 cách sắp xếp giá đỡ

b) Chúng ta muốn tìm số cách khác nhau để xếp tất cả các loại quả trong hàng trưng bày nếu thêm 4 quả; tức là, số lượng sắp xếp của 9 mặt hàng trái cây bao gồm tất cả các loại trái cây có sẵn để bán trong ngày đó.

N ° sắp xếp chân đế = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° sắp xếp giá đỡ = 362.880 cách sắp xếp giá đỡ

Bài tập 2

Một cửa hàng ăn uống nhỏ có một khu đất đủ chỗ để 6 chiếc xe.

a) Có thể chọn bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự các loại xe trong khu đất?

b) Giả sử thu hồi một khu đất liền kề có kích thước cho phép đỗ 10 xe, có thể chọn bao nhiêu hình thức bố trí xe khác nhau hiện nay?

a) Chúng ta muốn tìm số cách khác nhau để sắp xếp 6 chiếc xe có thể được đặt trong một khu đất.

Số cách sắp xếp của 6 xe = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Số cách sắp xếp của 6 chiếc xe = 720 cách khác nhau để sắp xếp 6 chiếc xe trong khu đất.

b) Chúng ta muốn tìm số cách sắp xếp khác nhau của 10 chiếc xe có thể được đặt trong khu đất sau khi mở rộng khu đất.

N ° sắp xếp của 10 xe = P10 = 10!

Số lượng xe sắp xếp = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Số cách sắp xếp của 10 chiếc xe = 3.628.800 cách khác nhau để sắp xếp 10 chiếc xe trên mảnh đất.

Bài tập 3

Một người bán hoa cắm hoa có 6 màu khác nhau để làm cờ hoa của các quốc gia chỉ có 3 màu. Nếu biết rằng thứ tự màu sắc là quan trọng trong các lá cờ,

a) Trong 6 màu có sẵn có thể tạo được bao nhiêu lá cờ có 3 màu khác nhau?

b) Người bán mua thêm các bông hoa có 2 màu vào số 6 đã có, bây giờ có thể tạo ra bao nhiêu lá cờ có 3 màu khác nhau?

c) Vì bạn có 8 màu nên bạn quyết định mở rộng phạm vi các lá cờ của mình, bạn có thể tạo ra bao nhiêu lá cờ 4 màu khác nhau?

d) Có bao nhiêu trong số 2 màu?

a) Chúng ta muốn tìm số lượng cờ có 3 màu khác nhau có thể được tạo ra bằng cách chọn từ 6 màu có sẵn.

Số cờ 3 màu = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

Số cờ 3 màu = 6 * 5 * 4 = 120 cờ

b) Muốn tìm số cờ có 3 màu khác nhau bằng cách chọn trong 8 màu có sẵn.

Số cờ 3 màu = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

Số cờ 3 màu = 8 * 7 * 6 = 336 cờ

c) Phải tính số cờ 4 màu khác nhau có thể tạo ra bằng cách chọn từ 8 màu có sẵn.

Số cờ 4 màu = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

Số cờ 4 màu = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 cờ

d) Bạn muốn xác định số lượng cờ 2 màu khác nhau có thể được thực hiện bằng cách chọn từ 8 màu có sẵn.

Số cờ 2 màu = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

Số cờ 2 màu = 8 * 7 = 56 cờ

Người giới thiệu

1. Boada, A. (2017). Sử dụng hoán vị có lặp lại như dạy thí nghiệm. Tạp chí Vivat Academia. Phục hồi từ researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Xác suất và Thống kê. Ứng dụng và phương pháp. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Kính, G .; Stanley, J. (1996). Phương pháp thống kê không áp dụng cho khoa học xã hội. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Số liệu thống kê. Lần xuất bản thứ tư. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R .; Myers, R .; Myers, S .; Ye, Ka. (2007). Xác suất & Thống kê cho các kỹ sư & nhà khoa học. Eighth ed. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Thống kê áp dụng cho kinh doanh và nền kinh tế. Lần xuất bản thứ ba. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. (2019). Hoán vị. Khôi phục từ en.wikipedia.org.