XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN: CÔNG THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH, TÍNH CHẤT, VÍ DỤ - DUDAS - 2026

Các khả năng có điều kiện là khả năng xảy ra một sự kiện nào đó, cho rằng khác xảy ra như một điều kiện. Thông tin bổ sung này có thể (hoặc có thể không) sửa đổi nhận thức rằng điều gì đó sẽ xảy ra.

Ví dụ, chúng ta có thể tự hỏi: "Xác suất trời sẽ mưa hôm nay là bao nhiêu khi trời đã không mưa trong hai ngày?" Sự kiện mà chúng ta muốn biết xác suất là hôm nay trời mưa, và thông tin bổ sung sẽ tạo điều kiện cho câu trả lời là "trời đã không mưa trong hai ngày."

Hình 1. Xác suất trời sẽ mưa hôm nay nếu trời mưa ngày hôm qua cũng là một ví dụ về xác suất có điều kiện. Nguồn: Pixabay.

Cho một không gian xác suất bao gồm Ω (không gian mẫu), ℬ (các sự kiện ngẫu nhiên) và P (xác suất của mỗi sự kiện), cộng với các sự kiện A và B thuộc ℬ.

Xác suất có điều kiện mà A xảy ra, với điều kiện B xảy ra, được ký hiệu là P (A│B), được xác định như sau:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A và B) / P (B)

Trong đó: P (A) là xác suất xuất hiện của A, P (B) là xác suất của biến cố B và khác 0, và P (A∩B) là xác suất giao nhau giữa A và B, nghĩa là , xác suất để cả hai sự kiện xảy ra (xác suất chung).

Đây là một biểu thức cho định lý Bayes được áp dụng cho hai sự kiện, được đề xuất vào năm 1763 bởi nhà thần học và toán học người Anh Thomas Bayes.

Tính chất

-Tất cả xác suất có điều kiện nằm trong khoảng từ 0 đến 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

-Xác suất để sự kiện A xảy ra, cho rằng sự kiện đã nói xảy ra, hiển nhiên là 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-Nếu hai sự kiện là loại trừ, tức là, các sự kiện không thể xảy ra đồng thời, thì xác suất có điều kiện để một trong hai sự kiện xảy ra là 0, vì giao điểm bằng 0:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-Nếu B là tập con của A thì xác suất có điều kiện cũng là 1:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

Quan trọng

P (A│B) nói chung không bằng P (B│A), do đó chúng ta phải cẩn thận không thay đổi các sự kiện khi tìm xác suất có điều kiện.

Quy tắc chung của phép nhân

Nhiều khi bạn muốn tìm xác suất chung P (A∩B), hơn là xác suất có điều kiện. Khi đó, thông qua định lý sau, ta có:

P (A∩B) = P (A và B) = P (A│B). P (B)

Định lý có thể được mở rộng cho ba sự kiện A, B và C:

P (A∩B∩C) = P (A và B và C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

Và đối với các sự kiện khác nhau, chẳng hạn như A ₁ , A ₂ , A ₃ và hơn thế nữa, nó có thể được biểu thị như sau:

P (A ₁ ∩ A ₂ ∩ A ₃ … ∩ A _n ) = P (A ₁ ). P (A ₂ │A ₁ ). P (A ₃ │A ₁ ∩ A ₂ )… P (A _n ││A ₁ ∩ A ₂ ∩… A _n-1 )

Khi đó là trường hợp các sự kiện xảy ra theo trình tự và qua các giai đoạn khác nhau, thì việc tổ chức dữ liệu dưới dạng biểu đồ hoặc bảng sẽ rất thuận tiện. Điều này giúp bạn dễ dàng hình dung các tùy chọn đạt được xác suất được yêu cầu hơn.

Ví dụ như sơ đồ cây và bảng dự phòng. Từ một trong số chúng, bạn có thể xây dựng cái còn lại.

Ví dụ về xác suất có điều kiện

Hãy xem xét một số tình huống trong đó xác suất của một sự kiện bị thay đổi khi xảy ra sự kiện khác:

- Ví dụ 1

Hai loại bánh được bán trong tiệm ngọt là dâu tây và socola. Bằng cách đăng ký sở thích của 50 khách hàng của cả hai giới, các giá trị sau được xác định:

-27 phụ nữ, trong đó 11 người thích bánh dâu và 16 vị sô cô la.

-23 nam: 15 chọn sô cô la và 8 dâu tây.

Xác suất khách hàng chọn một chiếc bánh sô cô la có thể được xác định bằng cách áp dụng quy tắc Laplace, theo đó xác suất của bất kỳ sự kiện nào là:

P = số sự kiện thuận lợi / tổng số sự kiện

Trong trường hợp này, trong số 50 khách hàng, có tổng cộng 31 khách hàng thích sô cô la, vì vậy xác suất sẽ là P = 31/50 = 0,62. Tức là 62% khách hàng thích bánh sô cô la.

Nhưng sẽ khác nếu khách hàng là phụ nữ? Đây là một trường hợp xác suất có điều kiện.

Bảng dữ liệu thống kê

Sử dụng bảng dự phòng như thế này, các tổng số được hiển thị dễ dàng:

Sau đó, các trường hợp thuận lợi được quan sát và áp dụng quy tắc Laplace, nhưng trước tiên chúng ta xác định các sự kiện:

-B là sự kiện "khách hàng nữ".

-A là sự kiện "thích bánh sô cô la hơn" khi là phụ nữ.

Chúng tôi chuyển đến cột có nhãn "phụ nữ" và ở đó chúng tôi thấy rằng tổng số là 27.

Sau đó, trường hợp thuận lợi được tìm kiếm trong hàng "sô cô la". Có 16 sự kiện trong số các sự kiện này, do đó xác suất được tìm kiếm, trực tiếp là:

P (A│B) = 16/27 = 0,5924

59,24% khách hàng nữ thích bánh sô cô la.

Giá trị này khớp khi chúng tôi đối chiếu nó với định nghĩa ban đầu của xác suất có điều kiện:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Chúng tôi đảm bảo bằng cách sử dụng quy tắc của Laplace và các giá trị bảng:

P (B) = 27/50

P (A và B) = 16/50

Trong đó P (A và B) là xác suất khách hàng thích sô cô la và là phụ nữ. Bây giờ các giá trị được thay thế:

P (A│B) = P (A và B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.

Và nó được chứng minh rằng kết quả là như nhau.

- Ví dụ 2

Trong ví dụ này áp dụng quy tắc nhân. Giả sử có ba loại quần được trưng bày trong một cửa hàng: nhỏ, vừa và lớn.

Trong một lô có tổng số 24 chiếc quần, trong đó có 8 chiếc mỗi cỡ và tất cả đều được trộn lẫn, xác suất để lấy ra hai chiếc và cả hai chiếc đều nhỏ là bao nhiêu?

Rõ ràng là xác suất bỏ một chiếc quần nhỏ ở lần thử thứ nhất là 8/24 = 1/3. Bây giờ, phép chiết thứ hai có điều kiện đối với sự kiện đầu tiên, vì khi loại bỏ một chiếc quần, không còn 24 nữa mà là 23. Và nếu một chiếc quần nhỏ bị loại bỏ, sẽ có 7 thay vì 8.

Sự kiện A đang kéo một chiếc quần nhỏ, đã kéo một chiếc khác trong lần thử đầu tiên. Và sự kiện B là lần đầu tiên có chiếc quần nhỏ. Như vậy:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24

Cuối cùng, sử dụng quy tắc nhân:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097

Bài tập đã giải quyết

Trong một nghiên cứu về tính đúng giờ trên các chuyến bay thương mại, có sẵn dữ liệu sau:

-P (B) = 0,83, là xác suất máy bay cất cánh đúng giờ.

-P (A) = 0,81, là xác suất hạ cánh đúng giờ.

-P (B∩A) = 0,78 là xác suất để chuyến bay đến đúng giờ cất cánh đúng giờ.

Nó được yêu cầu tính toán:

a) Tính xác suất để máy bay hạ cánh đúng giờ đã cất cánh đúng giờ?

b) Xác suất trên có giống với xác suất bạn lên đường đúng giờ nếu bạn hạ cánh đúng giờ?

c) Và cuối cùng: xác suất nó đến đúng giờ là bao nhiêu khi nó không rời đi đúng giờ?

Hình 2. Đúng giờ trên các chuyến bay thương mại là rất quan trọng, vì sự chậm trễ gây thiệt hại hàng triệu đô la. Nguồn: Pixabay.

Giải pháp cho

Để trả lời câu hỏi, định nghĩa của xác suất có điều kiện được sử dụng:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A và B) / P (B) = 0,78 /0,83 = 0,9398

Giải pháp b

Trong trường hợp này, các sự kiện trong định nghĩa được trao đổi:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A và B) / P (A) = 0,78 /0,81 = 0,9630

Lưu ý rằng xác suất này hơi khác so với xác suất trước đó, như chúng tôi đã chỉ ra trước đây.

Giải pháp c

Xác suất để không khởi hành đúng giờ là 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, chúng ta sẽ gọi nó là P (B ^C ), vì nó là sự kiện bổ sung để cất cánh đúng giờ. Xác suất có điều kiện được tìm là:

P (A│B ^C ) = P (A∩B ^C ) / P (B ^C ) = P (A và B ^C ) / P (B ^C )

Mặt khác:

P (A∩B ^C ) = P (hạ cánh đúng giờ) - P (hạ cánh đúng giờ và cất cánh đúng giờ) = 0,81-0,78 = 0,03

Trong trường hợp này, xác suất có điều kiện được tìm là:

P (A│B ^C ) = 0,03 / 0,17 = 0,1765

Người giới thiệu

1. Canavos, G. 1988. Xác suất và Thống kê: Các ứng dụng và phương pháp. Đồi McGraw.
2. Devore, J. 2012. Xác suất và Thống kê cho Kỹ thuật và Khoa học. Thứ 8. Phiên bản. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Xác suất. Đồi McGraw.
4. Obregón, I. 1989. Lý thuyết xác suất. Biên tập Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Xác suất và Thống kê cho Kỹ thuật và Khoa học. Lề.
6. Wikipedia. Xác suất có điều kiện. Được khôi phục từ: es.wikipedia.org.