KỸ THUẬT ĐẾM: KỸ THUẬT, ỨNG DỤNG, VÍ DỤ, BÀI TẬP - DUDAS - 2026

Các kỹ thuật đếm là một loạt các phương pháp xác suất để đếm số lượng các thỏa thuận có thể trong một bộ hoặc một số bộ của các đối tượng. Chúng được sử dụng khi việc thực hiện các tài khoản theo cách thủ công trở nên phức tạp do số lượng lớn các đối tượng và / hoặc biến.

Ví dụ, giải pháp cho vấn đề này rất đơn giản: hãy tưởng tượng rằng sếp của bạn yêu cầu bạn đếm những sản phẩm mới nhất đã đến tay bạn trong giờ trước. Trong trường hợp này, bạn có thể đi và đếm từng sản phẩm một.

Tuy nhiên, hãy tưởng tượng rằng vấn đề là thế này: sếp của bạn yêu cầu bạn đếm xem có thể tạo ra bao nhiêu nhóm gồm 5 sản phẩm cùng loại với những sản phẩm đã đến trong giờ trước. Trong trường hợp này, việc tính toán rất phức tạp. Đối với những loại tình huống này, cái gọi là kỹ thuật đếm được sử dụng.

Các kỹ thuật này rất đa dạng, nhưng quan trọng nhất được chia thành hai nguyên tắc cơ bản, đó là phép nhân và phép cộng; Hoán vị và kết hợp.

Nguyên tắc nhân

Các ứng dụng

Nguyên tắc nhân, cùng với phép cộng, là cơ bản để hiểu hoạt động của các kỹ thuật đếm. Trong trường hợp của phép nhân, nó bao gồm những điều sau:

Hãy tưởng tượng một hoạt động bao gồm một số bước cụ thể (chúng tôi đánh dấu tổng số là “r”), trong đó bước đầu tiên có thể được thực hiện theo N1 cách, bước thứ hai trong N2 và bước “r” theo Nr cách. Trong trường hợp này, hoạt động có thể được thực hiện từ số hình dạng thu được từ hoạt động này: N1 x N2 x ……… .x Nr hình dạng

Đó là lý do tại sao nguyên tắc này được gọi là đa nhân, và nó ngụ ý rằng từng bước cần thiết để thực hiện hoạt động này phải được thực hiện lần lượt.

Thí dụ

Hãy tưởng tượng một người muốn xây dựng một trường học. Để làm được điều này, hãy xem xét rằng nền của tòa nhà có thể được xây dựng theo hai cách khác nhau, xi măng hoặc bê tông. Đối với tường, chúng có thể được làm bằng không nung, xi măng hoặc gạch.

Về phần mái có thể làm bằng xi măng hoặc tôn mạ kẽm. Cuối cùng, bức tranh cuối cùng chỉ có thể được thực hiện theo một cách. Câu hỏi đặt ra như sau: Anh ta có bao nhiêu cách để xây dựng trường học?

Đầu tiên, chúng tôi xem xét số lượng các bước, đó sẽ là cơ sở, tường, mái nhà và sơn. Tổng cộng là 4 bước, do đó r = 4.

Sau đây là danh sách của N:

N1 = cách xây dựng cơ sở = 2

N2 = cách xây tường = 3

N3 = cách làm mái nhà = 2

N4 = cách vẽ = 1

Do đó, số lượng hình dạng có thể có sẽ được tính bằng công thức được mô tả ở trên:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 cách làm của trường.

Nguyên tắc cộng

Các ứng dụng

Nguyên tắc này rất đơn giản, và nó bao gồm thực tế là, trong trường hợp có một số lựa chọn thay thế để thực hiện cùng một hoạt động, các cách khả thi bao gồm tổng các cách có thể khác nhau để thực hiện tất cả các cách thay thế.

Nói cách khác, nếu chúng ta muốn thực hiện một hoạt động với ba phương án, trong đó phương án đầu tiên có thể được thực hiện theo M cách, phương án thứ hai trong N cách và cuối cùng trong W cách, hoạt động có thể được thực hiện theo: M + N + ……… + W hình dạng.

Thí dụ

Hãy tưởng tượng lần này một người muốn mua một cây vợt tennis. Để làm điều này, bạn có ba thương hiệu để lựa chọn: Wilson, Babolat hoặc Head.

Khi đến cửa hàng, bạn sẽ thấy vợt Wilson có thể được mua với hai kích cỡ khác nhau, L2 hoặc L3 với bốn kiểu khác nhau và có thể kéo dây hoặc tháo dây.

Mặt khác, vợt Babolat có ba tay cầm (L1, L2 và L3), có hai mô hình khác nhau và nó cũng có thể được xâu chuỗi hoặc không kéo.

Về phần mình, vợt Head chỉ có sẵn với một tay cầm, L2, với hai kiểu khác nhau và chỉ không có tay cầm. Câu hỏi đặt ra là: Người này có bao nhiêu cách để mua vợt của họ?

M = Số cách chọn vợt Wilson

N = Số cách chọn vợt Babolat

W = Số cách chọn vợt Head

Chúng tôi thực hiện nguyên tắc số nhân:

M = 2 x 4 x 2 = 16 hình

N = 3 x 2 x 2 = 12 cách

W = 1 x 2 x 1 = 2 cách

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 cách chọn vợt.

Để biết khi nào sử dụng nguyên tắc nhân và phép cộng, bạn chỉ cần xem hoạt động đó có một loạt các bước để thực hiện hay không và nếu có một số lựa chọn thay thế thì phép cộng.

Hoán vị

Các ứng dụng

Để hiểu hoán vị là gì, điều quan trọng là phải giải thích tổ hợp là gì để bạn có thể phân biệt chúng và biết khi nào sử dụng chúng.

Sự kết hợp sẽ là sự sắp xếp của các phần tử mà chúng ta không quan tâm đến vị trí mà mỗi phần tử đó chiếm giữ.

Mặt khác, một hoán vị sẽ là một sự sắp xếp các phần tử mà chúng ta quan tâm đến vị trí mà mỗi phần tử đó chiếm giữ.

Hãy đặt một ví dụ để hiểu rõ hơn về sự khác biệt.

Thí dụ

Hãy tưởng tượng một lớp học có 35 sinh viên và với các tình huống sau:

1. Giáo viên muốn ba học sinh của mình giúp anh giữ lớp học sạch sẽ hoặc phát tài liệu cho các học sinh khác khi cần.
2. Giáo viên muốn chỉ định các đại biểu của lớp (một chủ tịch, một trợ lý và một nhà tài chính).

Giải pháp sẽ như sau:

1. Hãy tưởng tượng rằng bằng cách bỏ phiếu, Juan, María và Lucía được chọn để dọn dẹp lớp học hoặc giao tài liệu. Rõ ràng, những nhóm ba người khác có thể đã được thành lập, trong số 35 sinh viên có thể.

Chúng ta phải tự hỏi mình những điều sau: thứ tự hoặc vị trí của mỗi học sinh có quan trọng khi chọn họ không?

Ngẫm lại thì chúng ta thấy điều đó thực sự không quan trọng, vì cả nhóm sẽ đảm nhiệm hai nhiệm vụ như nhau. Trong trường hợp này, nó là một sự kết hợp, vì chúng ta không quan tâm đến vị trí của các phần tử.

1. Bây giờ, hãy tưởng tượng rằng Juan được bầu làm chủ tịch, Maria làm trợ lý và Lucia là nhà tài chính.

Trong trường hợp này, liệu thứ tự có quan trọng không? Câu trả lời là có, bởi vì nếu chúng ta thay đổi các yếu tố, kết quả sẽ thay đổi. Có nghĩa là, nếu thay vì đặt Juan làm chủ tịch, chúng tôi đưa anh ấy làm trợ lý và María làm chủ tịch, kết quả cuối cùng sẽ thay đổi. Trong trường hợp này nó là một hoán vị.

Khi sự khác biệt được hiểu, chúng ta sẽ có được công thức cho các hoán vị và tổ hợp. Tuy nhiên, trước tiên chúng ta phải định nghĩa thuật ngữ "n!" (giai thừa phụ), vì nó sẽ được sử dụng trong các công thức khác nhau.

n! = tích từ 1 đến n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… ..xn

Sử dụng nó với số thực:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3,628,800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

Công thức cho các hoán vị sẽ như sau:

nPr = n! / (nr)!

Với nó, chúng ta có thể tìm ra các cách sắp xếp mà thứ tự là quan trọng, và nơi n phần tử khác nhau.

Kết hợp

Các ứng dụng

Như chúng ta đã nhận xét trước đây, các tổ hợp là sự sắp xếp mà chúng ta không quan tâm đến vị trí của các phần tử.

Công thức của nó như sau:

nCr = n! / (nr)! r!

Thí dụ

Nếu có 14 học sinh muốn xung phong làm vệ sinh lớp học thì có thể thành lập bao nhiêu nhóm làm vệ sinh nếu mỗi nhóm phải có 5 người?

Do đó, giải pháp sẽ như sau:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 nhóm

Bài tập đã giải

Bài tập 1

Nguồn: Pixabay.com

Natalia được mẹ yêu cầu đi đến một cửa hàng tạp hóa và mua cho cô một lon nước ngọt để giải nhiệt. Khi Natalia hỏi người bán hàng đồ uống, anh ta nói với cô rằng có bốn hương vị nước ngọt, ba loại và ba kích cỡ.

Các hương vị của nước ngọt có thể là: cola, chanh, cam và bạc hà.

Các loại cola có thể là: loại thường, không đường, không chứa caffeine.

Các kích thước có thể là: nhỏ, vừa và lớn.

Mẹ của Natalia không nói rõ cô muốn loại nước ngọt nào, Natalia có bao nhiêu cách để mua loại nước uống đó?

Giải pháp

M = Kích thước và số loại mà bạn có thể chọn khi chọn cola.

N = Số lượng và loại mà bạn có thể chọn khi chọn soda chanh.

W = Kích thước và số loại mà bạn có thể chọn khi chọn soda cam.

Y = Kích thước và số loại mà bạn có thể chọn khi chọn soda bạc hà.

Chúng tôi thực hiện nguyên tắc số nhân:

M = 3 × 3 = 9 cách

N = 3 × 3 = 9 cách

W = 3 × 3 = 9 cách

Y = 3 × 3 = 9 cách

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 cách chọn sôđa.

Bài tập 2

Nguồn: pixabay.com

Một câu lạc bộ thể thao quảng cáo các hội thảo truy cập miễn phí cho trẻ em học trượt băng. Có 20 em ghi danh nên họ quyết định chia thành hai nhóm, mỗi nhóm 10 người để giáo viên dạy các lớp thoải mái hơn.

Lần lượt, họ quyết định bốc thăm mỗi trẻ sẽ thuộc nhóm nào. Một đứa trẻ có thể vào bao nhiêu nhóm khác nhau?

Giải pháp

Trong trường hợp này, cách để tìm câu trả lời là sử dụng kỹ thuật kết hợp, có công thức là: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (số con)

r = 10 (kích thước nhóm)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10! / 10! 10! = 184,756 nhóm.

Người giới thiệu

1. Jeffrey, RC, Xác suất và Nghệ thuật Phán đoán, Nhà xuất bản Đại học Cambridge. (1992).
2. William Feller, "Giới thiệu về Lý thuyết xác suất và các ứng dụng của nó", (Vol 1), 3rd Ed, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Cơ sở logic và phép đo xác suất chủ quan". Acta Psychologica.
4. Hogg, Robert V .; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Giới thiệu về thống kê toán học (xuất bản lần thứ 6). Thượng Saddle River: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) Khoa học phỏng đoán: Bằng chứng và xác suất trước Pascal, Nhà xuất bản Đại học Johns Hopkins.