ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT: CHỨNG MINH, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP - TOÁN HỌC - 2025

Các tồn tại và độc đáo lý thiết lập các điều kiện cần và đủ để một phương trình vi phân bậc nhất, với một điều kiện ban đầu được đưa ra, để có một giải pháp và giải pháp mà là duy nhất.

Tuy nhiên, định lý không đưa ra bất kỳ kỹ thuật hoặc chỉ dẫn nào về cách tìm ra một giải pháp như vậy. Định lý tồn tại và tính duy nhất cũng được mở rộng cho các phương trình vi phân bậc cao với các điều kiện ban đầu, được gọi là bài toán Cauchy.

Hình 1. Một phương trình vi phân với điều kiện ban đầu và nghiệm của nó được hiển thị. Định lý Tồn tại và Tính duy nhất đảm bảo rằng nó là giải pháp khả thi duy nhất.

Phát biểu chính thức của định lý tồn tại và duy nhất như sau:

“Đối với phương trình vi phân y '(x) = f (x, y) với điều kiện ban đầu y (a) = b, tồn tại ít nhất một nghiệm trong vùng hình chữ nhật của mặt phẳng XY chứa điểm (a, b), nếu f (x, y) liên tục trong vùng đó. Và nếu đạo hàm riêng của f đối với y: g = ∂f / ∂y liên tục trong cùng một vùng hình chữ nhật đó, thì nghiệm là duy nhất trong vùng lân cận của điểm (a, b) nằm trong vùng liên tục của fy g. "

Tính hữu ích của định lý này trước hết nằm ở chỗ biết được vùng nào của mặt phẳng XY mà trong đó một nghiệm có thể tồn tại và cũng có thể biết được liệu giải pháp tìm được là duy nhất khả thi hay là có những nghiệm khác.

Lưu ý rằng trong trường hợp điều kiện duy nhất không được thỏa mãn, định lý không thể dự đoán tổng cộng bài toán Cauchy có bao nhiêu nghiệm: có lẽ là một, hai hoặc nhiều hơn.

Chứng minh định lý tồn tại và duy nhất

Hình 2. Charles Émile Picard (1856-1941) được ghi nhận là một trong những bằng chứng đầu tiên của Định lý Tồn tại và Duy nhất. Nguồn: Wikimedia Commons.

Đối với định lý này, người ta đã biết hai cách chứng minh, một trong số chúng là chứng minh của Charles Émile Picard (1856-1941) và chứng minh còn lại là của Giuseppe Peano (1858-1932) dựa trên các công trình của Augustin Louis Cauchy (1789-1857) .

Đáng chú ý là những bộ óc toán học lỗi lạc nhất của thế kỷ 19 đã tham gia vào việc chứng minh định lý này, vì vậy có thể thấy rằng cả hai đều không đơn giản.

Để chính thức chứng minh định lý, trước tiên cần thiết lập một loạt các khái niệm toán học nâng cao hơn, chẳng hạn như hàm kiểu Lipschitz, không gian Banach, định lý tồn tại Carathéodory và một số khái niệm khác, nằm ngoài phạm vi của bài báo.

Một phần lớn các phương trình vi phân được xử lý trong vật lý liên quan đến các hàm liên tục trong các vùng quan tâm, do đó chúng tôi sẽ giới hạn bản thân trong việc chỉ ra cách áp dụng định lý trong các phương trình đơn giản.

Ví dụ

- Ví dụ 1

Hãy xem xét phương trình vi phân sau với điều kiện ban đầu:

y '(x) = - y; với y (1) = 3

Đây có phải là giải pháp cho vấn đề này không? Nó có phải là giải pháp khả thi duy nhất?

Câu trả lời

Ở vị trí đầu tiên, sự tồn tại của nghiệm của phương trình vi phân được đánh giá và nó cũng thỏa mãn điều kiện ban đầu.

Trong ví dụ này, f (x, y) = - và điều kiện tồn tại yêu cầu phải biết f (x, y) có liên tục trong một vùng của mặt phẳng XY chứa điểm có tọa độ x = 1, y = 3 hay không.

Nhưng f (x, y) = - y là hàm afin, liên tục trong miền số thực và tồn tại trong toàn bộ dãy số thực.

Do đó kết luận rằng f (x, y) liên tục trong R ² nên định lý đảm bảo sự tồn tại của ít nhất một nghiệm.

Biết được điều này, cần phải đánh giá xem giải pháp là duy nhất hay ngược lại, có nhiều hơn một. Vì vậy, cần phải tính đạo hàm riêng của f đối với biến y:

Khi đó g (x, y) = -1 là một hàm hằng số, cũng được xác định với mọi R ² và cũng liên tục ở đó. Theo đó, định lý tồn tại và duy nhất đảm bảo rằng bài toán giá trị ban đầu này có một nghiệm duy nhất, mặc dù nó không cho chúng ta biết nó là gì.

- Ví dụ 2

Xét phương trình vi phân thường bậc nhất sau đây với điều kiện ban đầu:

y '(x) = 2√y; và (0) = 0.

Có một giải pháp y (x) cho vấn đề này? Nếu có, hãy xác định xem có một hoặc nhiều hơn một.

Đáp lại

Ta xét hàm f (x, y) = 2√y. Hàm f chỉ được xác định cho y≥0, vì chúng ta biết rằng một số âm thiếu căn thực. Hơn nữa f (x, y) liên tục trong nửa mặt phẳng trên của R ² bao gồm cả trục X, do đó định lý tồn tại và duy nhất đảm bảo có ít nhất một nghiệm trong vùng nói trên.

Bây giờ điều kiện ban đầu x = 0, y = 0 nằm trên cạnh của vùng nghiệm. Sau đó, chúng tôi lấy đạo hàm riêng của f (x, y) đối với y:

∂f / ∂y = 1 / √y

Trong trường hợp này, hàm không được xác định cho y = 0, chính xác là điều kiện ban đầu.

Định lý cho chúng ta biết điều gì? Nó cho chúng ta biết rằng mặc dù chúng ta biết rằng có ít nhất một nghiệm trong nửa mặt phẳng trên của trục X, bao gồm cả trục X, vì điều kiện duy nhất không được đáp ứng, không có gì đảm bảo rằng sẽ có một nghiệm duy nhất.

Điều này có nghĩa là có thể có một hoặc nhiều nghiệm trong vùng liên tục của f (x, y). Và như mọi khi, định lý không cho chúng ta biết chúng có thể là gì.

Bài tập đã giải

- Bài tập 1

Giải bài toán Cauchy trong ví dụ 1:

y '(x) = - y; với y (1) = 3.

Tìm hàm số y (x) thỏa mãn phương trình vi phân và điều kiện ban đầu.

Giải pháp

Trong ví dụ 1, người ta xác định rằng bài toán này có một giải pháp và cũng là duy nhất. Để tìm ra lời giải, điều đầu tiên cần lưu ý là nó là một phương trình vi phân bậc một của các biến phân tách, được viết như sau:

Phân chia giữa và trong cả hai thành viên để tách các biến chúng ta có:

Tích phân không xác định được áp dụng cho cả hai phần tử:

Giải tích phân không xác định ta có:

trong đó C là hằng số tích phân được xác định bởi điều kiện ban đầu:

Thay giá trị của C và sắp xếp lại nó vẫn còn:

Áp dụng tính chất sau của logarit:

Biểu thức trên có thể được viết lại như sau:

Hàm mũ với cơ số e trong cả hai phần tử được áp dụng để thu được:

y / 3 = e ^{(1 - x)}

Tương đương với:

y = 3e e ^-x

Đây là nghiệm duy nhất của phương trình y '= -y với y (1) = 3. Đồ thị của nghiệm này được thể hiện trong hình 1.

- Bài tập 2

Tìm hai giải pháp cho vấn đề đặt ra trong Ví dụ 2:

y '(x) = 2√ (y); và (0) = 0.

Giải pháp

Nó cũng là một phương trình của các biến phân tách, được viết dưới dạng vi phân, trông giống như sau:

dy / √ (y) = 2 dx

Lấy tích phân không xác định ở cả hai thành viên còn lại:

2 √ (y) = 2 x + C

Vì chúng ta biết rằng y≥0 trong vùng giải pháp, chúng ta có:

y = (x + C) ²

Nhưng vì điều kiện ban đầu x = 0, y = 0 phải được thỏa mãn, khi đó hằng số C bằng 0 và nghiệm sau đây vẫn còn:

y (x) = x ² .

Nhưng lời giải này không phải là duy nhất, hàm số y (x) = 0 cũng là một lời giải cho bài toán đang đặt ra. Định lý tồn tại và duy nhất áp dụng cho bài toán này trong Ví dụ 2 đã dự đoán rằng có thể có nhiều hơn một nghiệm.

Người giới thiệu

1. Coddington, Bá tước A .; Levinson, Norman (1955), Lý thuyết về các phương trình vi phân thông thường, New York: McGraw-Hill.
2. Bách khoa toàn thư về Toán học. Định lý Cauchy-Lipschitz. Được khôi phục từ: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des gần đúng sự kế thừa của aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des khoa học. Quyển 116, 1894, tr. 454–457. Đã khôi phục từ: gallica.bnf.fr.
4. Wikipedia. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp của Picard. Phục hồi từ: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Định lý Picard-Lindelöf. Được khôi phục từ: es.wikipedia.com.
6. Zill, D. 1986. Phương trình vi phân cơ bản có ứng dụng. Prentice Hall.