ĐỊNH LÝ MOIVRE: BÀI TẬP CHỨNG MINH VÀ GIẢI - TOÁN HỌC - 2025

Các định lý của Moivre áp dụng đại số khâu cơ bản, chẳng hạn như quyền hạn và rễ chiết xuất với số lượng phức tạp. Định lý được phát biểu bởi nhà toán học nổi tiếng người Pháp Abraham de Moivre (1730), người đã liên kết số phức với lượng giác.

Abraham Moivre đã tạo ra mối liên hệ này thông qua các biểu thức của sin và cosine. Nhà toán học này đã tạo ra một loại công thức mà qua đó có thể nâng một số phức z lên lũy thừa n, là một số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 1.

Định lý Moivre là gì?

Định lý Moivre phát biểu như sau:

Nếu chúng ta có một số phức ở dạng cực z = r _Ɵ , trong đó r là môđun của số phức z, và góc Ɵ được gọi là biên độ hoặc đối số của bất kỳ số phức nào với 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, để tính n– lũy thừa không cần thiết phải nhân nó với chính nó n lần; nghĩa là, không nhất thiết phải tạo ra sản phẩm sau:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*. . . *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *. . . *} r _Ɵ n-lần.

Ngược lại, định lý nói rằng, khi viết z ở dạng lượng giác, để tính lũy thừa thứ n, chúng ta tiến hành như sau:

Nếu z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) thì z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Ví dụ, nếu n = 2, thì z ² = r ² . Nếu n = 3 thì z ³ = z ² _* z. Cũng thế:

z ³ = r ² _* r = r ³ .

Theo cách này, ta có thể thu được các tỉ số lượng giác của sin và cosin đối với bội của một góc, miễn là biết tỉ số lượng giác của góc.

Theo cách tương tự, nó có thể được sử dụng để tìm các biểu thức chính xác hơn và ít khó hiểu hơn cho căn bậc n của số phức z, sao cho z ⁿ = 1.

Để chứng minh định lý Moivre, nguyên tắc quy nạp toán học được sử dụng: nếu một số nguyên "a" có thuộc tính "P" và nếu với bất kỳ số nguyên nào "n" lớn hơn "a" có thuộc tính "P" Nó đáp ứng rằng n + 1 cũng có thuộc tính "P", khi đó tất cả các số nguyên lớn hơn hoặc bằng "a" đều có thuộc tính "P".

Trình diễn

Như vậy, việc chứng minh định lý được thực hiện theo các bước sau:

Cơ sở quy nạp

Đầu tiên nó được kiểm tra cho n = 1.

Vì z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ¹ = r ¹ , định lý phù hợp với n = 1.

Giả thuyết quy nạp

Công thức được giả định là đúng với một số nguyên dương, tức là, n = k.

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

xác minh

Nó được chứng minh là đúng với n = k + 1.

Vì z ^{k + 1} = z ^k _* z nên z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* senƟ).

Sau đó, các biểu thức được nhân:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* senƟ)).

Trong giây lát, hệ số r ^{k + 1} bị bỏ qua , và hệ số chung i được lấy:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ).

Vì i ² = -1, chúng ta thay thế nó trong biểu thức và chúng ta nhận được:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Bây giờ phần thực và phần ảo được sắp xếp theo thứ tự:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i.

Để đơn giản hóa biểu thức, các đồng dạng lượng giác của tổng các góc được áp dụng cho cosin và sin, đó là:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

Trong trường hợp này, các biến là góc Ɵ và kƟ. Áp dụng đồng dạng lượng giác, ta có:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sin kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = sin (kƟ + Ɵ)

Theo cách này, biểu thức là:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin).

Do đó, có thể chứng minh rằng kết quả đúng với n = k + 1. Bằng nguyên tắc quy nạp toán học, người ta kết luận rằng kết quả đúng với mọi số nguyên dương; nghĩa là, n ≥ 1.

Số nguyên âm

Định lý Moivre cũng được áp dụng khi n ≤ 0. Ta xét một số nguyên âm «n»; thì "n" có thể được viết thành "-m", tức là n = -m, trong đó "m" là một số nguyên dương. Như vậy:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^-m

Để nhận được số mũ «m» theo một cách dương, biểu thức được viết ngược lại:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Bây giờ, người ta sử dụng rằng nếu z = a + b * i là một số phức thì 1 ÷ z = ab * i. Như vậy:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

Sử dụng cos (x) = cos (-x) và -sen (x) = sin (-x), ta có:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ =

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

Như vậy, có thể nói rằng định lý áp dụng cho mọi giá trị nguyên của "n".

Bài tập đã giải

Tính lũy thừa dương

Một trong những phép toán với số phức ở dạng cực của chúng là phép nhân với hai trong số chúng; trong trường hợp đó, các mô-đun được nhân lên và các đối số được thêm vào.

Nếu bạn có hai số phức z _{1 và} z ₂ và bạn muốn tính (z ₁ * z ₂ ) ² , thì bạn thực hiện như sau:

z ₁ z ₂ = *

Thuộc tính phân phối áp dụng:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ).

Chúng được nhóm lại, lấy thuật ngữ "i" làm nhân tử chung của các biểu thức:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Vì i ² = -1 nên nó được thay thế trong biểu thức:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Các thuật ngữ thực được tập hợp lại với thực và ảo với ảo:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Cuối cùng, các tính chất lượng giác được áp dụng:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ .

Tóm lại là:

(z ₁ * z ₂ ) ² = (r ₁ r ₂ ) ²

= r ₁ ² r ₂ ² .

Bài tập 1

Viết số phức dưới dạng có cực nếu z = - 2 -2i. Sau đó, sử dụng định lý Moivre, hãy tính z ⁴ .

Giải pháp

Số phức z = -2 -2i được biểu diễn dưới dạng hình chữ nhật z = a + bi, trong đó:

a = -2.

b = -2.

Biết rằng dạng cực là z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), chúng ta cần xác định giá trị của môđun "r" và giá trị của đối số "Ɵ". Vì r = √ (a² + b²), các giá trị đã cho được thay thế:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Sau đó, để xác định giá trị của «Ɵ», hình dạng hình chữ nhật của nó được áp dụng, được đưa ra bởi công thức:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Vì tan (Ɵ) = 1 và ta có a <0 nên ta có:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Vì đã nhận được giá trị của «r» và «Ɵ», số phức z = -2 -2i có thể được biểu diễn ở dạng cực bằng cách thay các giá trị:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

Bây giờ chúng ta sử dụng định lý Moivre để tính z ⁴ :

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) ⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5Π)).

Bài tập 2

Tìm tích của các số phức bằng cách biểu diễn nó ở dạng cực:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sin 50 ^o )

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sin 100 ^o ).

Sau đó tính (z1 * z2) ².

Giải pháp

Đầu tiên, tích của các số đã cho được tạo thành:

z ₁ z ₂ = *

Sau đó, các mô-đun được nhân với nhau và các đối số được thêm vào:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

Biểu thức được đơn giản hóa:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o ).

Cuối cùng, định lý Moivre được áp dụng:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o )) ² = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o )).

Tính lũy thừa âm

Để chia hai số phức z _{1 và} z ₂ ở dạng cực của chúng, môđun bị chia và trừ các đối số. Như vậy, thương số là z ₁ ÷ z ₂ và được biểu thị như sau:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ().

Như trong trường hợp trước, nếu chúng ta muốn tính (z1 ÷ z2) ³, trước tiên phải thực hiện phép chia và sau đó sử dụng định lý Moivre.

Bài tập 3

Dices:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

tính (z1 ÷ z2) ³.

Giải pháp

Làm theo các bước được mô tả ở trên, có thể kết luận rằng:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Người giới thiệu

1. Arthur Goodman, LH (1996). Đại số và lượng giác với hình học giải tích. Giáo dục Pearson.
2. Croucher, M. (nd). Từ Định lý Moivre cho các nhận dạng Trig. Dự án trình diễn Wolfram.
3. Hazewinkel, M. (2001). Bách khoa toàn thư về Toán học.
4. Max Peters, WL (1972). Đại số và Lượng giác.
5. Pérez, CD (2010). Giáo dục Pearson.
6. Stanley, G. (nd). Đại số tuyến tính. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Tính toán trước. Giáo dục Pearson.