BIẾN ĐỔI FOURIER: THUỘC TÍNH, ỨNG DỤNG, VÍ DỤ - TOÁN HỌC

Các biến đổi Fourier là một phương pháp an toàn phân tích định hướng đến chức năng khả tích đó thuộc về gia đình của biến đổi tích phân. Nó bao gồm việc định nghĩa lại các hàm f (t) theo Cos (t) và Sen (t).

Các đặc điểm lượng giác của các hàm này, cùng với các đặc điểm đạo hàm và phản trị của chúng, phục vụ cho việc xác định phép biến đổi Fourier thông qua hàm phức sau:

Điều này đúng miễn là biểu thức có ý nghĩa, nghĩa là khi tích phân không đúng là hội tụ. Về mặt đại số, phép biến đổi Fourier được cho là phép đồng cấu tuyến tính.

Mọi hàm có thể hoạt động với biến đổi Fourier phải hiển thị null bên ngoài một tham số xác định.

Tính chất

Nguồn: pexels

Biến đổi Fourier đáp ứng các thuộc tính sau:

Sự tồn tại

Để xác minh sự tồn tại của phép biến đổi Fourier trong một hàm f (t) được xác định trong thực R , 2 tiên đề sau phải được thỏa mãn:

f (t) liên tục từng phần với mọi R
f (t) là tích phân trong R

Phép biến đổi Fourier tuyến tính

Gọi M (t) và N (t) là hai hàm bất kỳ với các phép biến đổi Fourier xác định, với các hằng số a và b bất kỳ.

F (z) = a F (z) + b F (z)

Điều này cũng được hỗ trợ bởi tính tuyến tính của tích phân cùng tên.

Biến đổi Fourier của đạo hàm

Có một hàm f liên tục và có thể tích phân trong mọi thực, trong đó:

Và đạo hàm của f (f ') là liên tục và được xác định từng phần trong R

Biến đổi Fourier của một đạo hàm được xác định bằng tích phân theo từng phần, bởi biểu thức sau:

F (z) = iz F (z)

Trong các dẫn xuất của bậc cao hơn, nó sẽ được áp dụng theo cách tương đồng, trong đó với mọi n 1, chúng ta có:

F (z) = (iz) ⁿF (z)

Sự phân biệt biến đổi Fourier

Có một hàm f liên tục và có thể tích phân trong mọi thực, trong đó:

Biến đổi Fourier của một phép dịch

Với mọi θ thuộc tập S và T thuộc tập S ', ta có:

F = e ^-iay FF = e ^-iax F

Với τ _a làm toán tử tịnh tiến trên vectơ a.

Bản dịch của phép biến đổi Fourier

Với mọi θ thuộc tập S và T thuộc tập S ', ta có:

τ _a F = F τ _a F = F

Đối với tất cả các thuộc R

Biến đổi Fourier của một nhóm tỷ lệ

Với mọi θ thuộc tập S. T thuộc tập S '

λ thuộc R - {0} ta có:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ )

F = (1 / -λ-) F (y / λ )

Nếu f là một hàm liên tục và tích phân rõ ràng, trong đó a> 0. Khi đó:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

Để chứng minh kết quả này, chúng ta có thể tiến hành thay đổi biến.

Khi T → + thì s = at → + ∞

Khi T → - thì s = at → - ∞

Đối diện

Để nghiên cứu tính đối xứng của phép biến đổi Fourier, danh tính của Parseval và công thức Plancherel phải được xác minh.

Ta có θ và δ thuộc S. Từ đó có thể suy ra rằng:

Bắt

1 / (2π) ^d { F, F } Nhận dạng phân tích cú pháp

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L²_R^d Công thức Plancherel

Biến đổi Fourier của một tích chập

Theo đuổi các mục tiêu tương tự như trong phép biến đổi Laplace, tích chập của các hàm đề cập đến tích giữa các phép biến đổi Fourier của chúng.

Chúng ta có f và g là 2 hàm có giới hạn, xác định và hoàn toàn có thể tích hợp:

F (f * g) = F (f). F (g)

F (f). F (g) = F (f. G)

Liên tục và rơi vào vô cùng

Phép biến đổi Fourier để làm gì?

Nó phục vụ chủ yếu để đơn giản hóa đáng kể các phương trình, đồng thời biến đổi các biểu thức dẫn xuất thành các phần tử lũy thừa, biểu thị các biểu thức vi phân dưới dạng các đa thức tích phân.

Trong việc tối ưu hóa, điều chế và mô hình hóa kết quả, nó hoạt động như một biểu thức được tiêu chuẩn hóa, là nguồn lực thường xuyên cho kỹ thuật sau nhiều thế hệ.

Chuỗi Fourier

Chúng là những chuỗi được định nghĩa theo Cosines và Sines; Chúng phục vụ để tạo thuận lợi cho công việc với các chức năng định kỳ chung. Khi áp dụng, chúng là một phần của kỹ thuật giải các phương trình vi phân thông thường và riêng.

Chuỗi Fourier thậm chí còn tổng quát hơn chuỗi Taylor, vì chúng phát triển các hàm không liên tục tuần hoàn không có biểu diễn chuỗi Taylor.

Các dạng khác của chuỗi Fourier

Để hiểu phép biến đổi Fourier một cách phân tích, điều quan trọng là phải xem lại các cách khác mà chuỗi Fourier có thể được tìm thấy, cho đến khi chuỗi Fourier có thể được xác định trong ký hiệu phức tạp của nó.

-Dãy Fourier trên một hàm của chu kỳ 2L

Nhiều khi cần phải điều chỉnh cấu trúc của chuỗi Fourier thành các hàm tuần hoàn có chu kỳ là p = 2L> 0 trong khoảng.

-Dãy Fourier trong các hàm lẻ và chẵn

Khoảng được coi là cung cấp lợi thế khi tận dụng các đặc điểm đối xứng của các hàm.

Nếu f chẵn, chuỗi Fourier được thiết lập như một chuỗi Cosin.

Nếu f lẻ, chuỗi Fourier được thiết lập như một chuỗi các Sines.

-Ký hiệu đơn giản của chuỗi Fourier

Nếu chúng ta có một hàm f (t), đáp ứng tất cả các yêu cầu về khả năng khai triển của chuỗi Fourier, thì có thể biểu thị nó trong khoảng bằng cách sử dụng ký hiệu phức tạp của nó:

Các ứng dụng

Nguồn: pexels

Tính toán giải pháp cơ bản

Phép biến đổi Fourier là một công cụ mạnh mẽ trong việc nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng của loại tuyến tính với hệ số không đổi. Chúng áp dụng cho các chức năng có miền không bị ràng buộc như nhau.

Giống như phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Fourier biến một hàm đạo hàm riêng thành một phương trình vi phân thông thường hoạt động đơn giản hơn nhiều.

Bài toán Cauchy cho phương trình nhiệt trình bày một trường ứng dụng thường xuyên của phép biến đổi Fourier nơi hạt nhân nhiệt hoặc hàm hạt nhân Dirichlet được tạo ra.

Liên quan đến việc tính toán lời giải cơ bản, các trường hợp sau đây được trình bày khi người ta thường tìm ra phép biến đổi Fourier:

Lý thuyết tín hiệu

Lý do chung cho việc áp dụng phép biến đổi Fourier trong nhánh này phần lớn là do sự phân rã đặc trưng của một tín hiệu như là một chồng chất vô hạn của các tín hiệu dễ điều trị hơn.

Nó có thể là sóng âm hoặc sóng điện từ, phép biến đổi Fourier thể hiện nó dưới dạng chồng chất của các sóng đơn giản. Biểu diễn này khá thường xuyên trong kỹ thuật điện.

Mặt khác, là các ví dụ về ứng dụng của phép biến đổi Fourier trong lĩnh vực lý thuyết tín hiệu:

Ví dụ

ví dụ 1

Xác định biến đổi Fourier cho biểu thức sau:

Chúng tôi cũng có thể biểu diễn nó theo cách sau:

F (t) = Sen (t)

Xung hình chữ nhật được xác định:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

Biến đổi Fourier được áp dụng cho biểu thức sau đây giống như định lý điều chế.

f (t) = p (t) Sen (t)

Trong đó: F = (1/2) i

Và biến đổi Fourier được xác định bởi:

F = (1/2) tôi

Ví dụ 2

Xác định biến đổi Fourier cho biểu thức:

Vì f (h) là một hàm chẵn, nên có thể phát biểu rằng

Tích hợp theo các bộ phận được áp dụng bằng cách chọn các biến và sự khác biệt của chúng như sau

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

dv = h (e ^-h ) ² v = (e ^-h ) ² /2

Thay thế bạn có

Sau khi đánh giá theo định lý cơ bản của giải tích

Áp dụng kiến thức trước đây về phương trình vi phân bậc nhất, biểu thức được ký hiệu là

Để có được K, chúng tôi đánh giá

Cuối cùng, biến đổi Fourier của biểu thức được định nghĩa là

Bài tập đề xuất

Nhận biến đổi của biểu thức W / (1 + w ² )

Người giới thiệu

Phân tích Duoandikoetxea Zuazo, J., Fourier. Addison– Wesley Iberoamericana, Đại học Tự trị Madrid, 1995.
Lions, JL, Phân tích Toán học và Phương pháp Số cho Khoa học và Công nghệ. Springer - Verlag, 1990.
Các nhân Lieb, EH, Gaussian chỉ có các cực đại gaussian. Phát minh. Môn Toán. 102 , 179-208, 1990.
Dym, H., McKean, HP, Dòng Fourier và Tích phân. Báo chí Học thuật, New York, 1972.
Schwartz, L., Théorie des Phân phối. Ed. Hermann, Paris, 1966.

BIẾN ĐỔI FOURIER: THUỘC TÍNH, ỨNG DỤNG, VÍ DỤ - TOÁN HỌC - 2024