ĐẠO HÀM: CÔNG THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH, VÍ DỤ, BÀI TẬP - TOÁN HỌC - 2024

Một nguyên hàm F (x) của hàm f (x) cũng được gọi là nguyên thủy hay chỉ đơn giản là không thể thiếu không xác định chức năng cho biết, nếu trong một khoảng thời gian tôi nhất định, nó được hoàn thành mà F'(x) = f (x)

Ví dụ, hãy lấy hàm sau:

f (x) = 4x ³

Một đạo hàm của hàm này là F (x) = x ⁴ , vì khi phân biệt F (x) bằng cách sử dụng quy tắc đạo hàm cho lũy thừa:

Ta thu được chính xác f (x) = 4x ³ .

Tuy nhiên, đây chỉ là một trong rất nhiều đạo hàm của f (x), vì hàm khác này: G (x) = x ⁴ + 2 cũng vậy, vì khi phân biệt G (x) với x, ta thu được hàm tương tự. trở lại f (x).

Hãy cùng kiểm tra nào:

Hãy nhớ rằng đạo hàm của một hằng số là 0. Do đó , chúng ta có thể thêm bất kỳ hằng số nào vào số hạng x ⁴ và đạo hàm của nó sẽ vẫn là 4x ³ .

Kết luận rằng bất kỳ hàm nào có dạng tổng quát F (x) = x ⁴ + C, trong đó C là hằng số thực, đóng vai trò là một đạo hàm của f (x).

Ví dụ minh họa trên có thể được diễn đạt như sau:

dF (x) = 4x ³ dx

Tích phân đối hoặc tích phân không xác định được biểu thị bằng ký hiệu ∫, do đó:

F (x) = ∫4x ³ dx = x ⁴ + C

Trong đó hàm f (x) = 4x ³ được gọi là tích phân và C là hằng số của tích phân.

Ví dụ về chất chống diệt khuẩn

Hình 1. Đạo hàm không hơn gì một tích phân không xác định. Nguồn: Pixabay.

Việc tìm kiếm đạo hàm của một hàm rất đơn giản trong một số trường hợp mà các đạo hàm đã được biết rõ. Ví dụ, cho hàm f (x) = sin x, một đạo hàm của nó là một hàm khác F (x), sao cho khi phân biệt chúng ta thu được f (x).

Chức năng đó có thể là:

F (x) = - cos x

Hãy kiểm tra xem nó có đúng không:

F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x

Do đó chúng ta có thể viết:

∫sen x dx = -cos x + C

Ngoài việc biết đạo hàm, có một số quy tắc tích phân cơ bản và đơn giản để tìm đạo hàm hoặc tích phân bất định.

Gọi k là một hằng số thực, thì:

1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Nếu một hàm h (x) có thể được biểu diễn dưới dạng phép cộng hoặc phép trừ hai hàm, thì tích phân không xác định của nó là:

3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

Đây là thuộc tính của tuyến tính.

Quy tắc lũy thừa đối với tích phân có thể được thiết lập theo cách này:

Đối với trường hợp n = -1, quy tắc sau được sử dụng:

5.- ∫ x ^-1 dx = ln x + C

Dễ dàng chứng minh rằng đạo hàm của ln x chính xác là x ^-1 .

Phương trình vi phân

Một phương trình vi phân là một trong đó ẩn số được tìm thấy dưới dạng một đạo hàm.

Bây giờ, từ các phân tích trước, chúng ta dễ dàng nhận ra rằng phép toán nghịch đảo với đạo hàm là phép đạo hàm hoặc tích phân bất định.

Cho f (x) = y´ (x), tức là đạo hàm của một hàm số nào đó. Chúng ta có thể sử dụng ký hiệu sau để chỉ ra phái sinh này:

Nó ngay sau đó:

Ẩn số của phương trình vi phân là hàm y (x), hàm có đạo hàm là f (x). Để giải quyết nó, biểu thức trước đó được tích hợp ở cả hai bên, tương đương với việc áp dụng hàm phản:

Tích phân bên trái được giải bằng quy tắc tích phân 1, với k = 1, do đó giải được ẩn số mong muốn:

Và vì C là một hằng số thực, nên để biết cái nào phù hợp trong từng trường hợp, câu lệnh phải chứa đủ thông tin bổ sung để tính giá trị của C. Đây được gọi là điều kiện ban đầu.

Chúng ta sẽ xem các ví dụ về ứng dụng của tất cả những điều này trong phần tiếp theo.

Bài tập chống đạo hàm

- Bài tập 1

Áp dụng các quy tắc tích phân để thu được các đạo hàm sau hoặc tích phân không xác định của các hàm đã cho, đơn giản hóa kết quả nhất có thể. Nó là thuận tiện để xác minh kết quả bằng cách dẫn xuất.

Hình 2. Bài tập về đạo hàm hoặc tích phân xác định. Nguồn: Pixabay.

Giải pháp cho

Chúng tôi áp dụng quy tắc 3 trước tiên, vì tích phân là tổng của hai số hạng:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

Đối với tích phân đầu tiên, quy tắc lũy thừa áp dụng:

∫ dx = (x ² /2) + C ₁

Trong quy tắc tích phân thứ hai được áp dụng, trong đó k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

Và bây giờ kết quả được thêm vào. Hai hằng số được nhóm thành một, thường được gọi là C:

∫ (x + 7) dx = (x ² /2) + 7x + C

Giải pháp b

Theo tuyến tính, tích phân này được chia thành ba tích phân đơn giản hơn, mà quy tắc lũy thừa sẽ được áp dụng:

∫ (x ^3/2 + x ² + 6) dx = ∫x ^3/2 dx + ∫x ² dx + ∫6 dx =

Lưu ý rằng một hằng số tích phân xuất hiện cho mỗi tích phân, nhưng chúng gặp nhau trong một lần gọi C.

Giải pháp c

Trong trường hợp này, thuận tiện khi áp dụng tính chất phân phối của phép nhân để khai triển tích phân. Sau đó, quy tắc lũy thừa được sử dụng để tìm từng tích phân riêng biệt, như trong bài tập trước.

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x - 2) dx

Người đọc cẩn thận sẽ lưu ý rằng hai thuật ngữ trung tâm tương tự nhau, do đó chúng được giảm bớt trước khi tích hợp:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

Giải pháp e

Một cách để giải tích phân là khai triển lũy thừa, như đã làm trong ví dụ d. Tuy nhiên, vì số mũ cao hơn, nên thay đổi biến để không phải thực hiện một khai triển dài như vậy.

Sự thay đổi của biến như sau:

u = x + 7

Từ biểu thức này cho cả hai bên:

du = dx

Tích phân được chuyển thành một tích phân đơn giản hơn với biến mới, được giải bằng quy tắc lũy thừa:

∫ (x + 7) ⁵ dx = ∫ u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C

Cuối cùng, thay đổi được trả về để trở lại biến ban đầu:

∫ (x + 7) ⁵ dx = (1/6) (x + 7) ⁶ + C

- Bài tập 2

Một hạt ban đầu ở trạng thái nghỉ và chuyển động dọc theo trục x. Gia tốc của nó khi t> 0 được cho bởi hàm a (t) = cos t. Biết rằng tại t = 0, vị trí là x = 3, tất cả đều tính theo đơn vị Hệ Quốc tế. Người ta yêu cầu tìm vận tốc v (t) và vị trí x (t) của hạt.

Giải pháp

Vì gia tốc là đạo hàm bậc nhất của vận tốc theo thời gian nên ta có phương trình vi phân sau:

a (t) = v´ (t) = cos t

Nó sau đó:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C ₁

Mặt khác, chúng ta biết rằng vận tốc lần lượt là đạo hàm của vị trí, do đó chúng ta tích phân lại:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C ₁ ) dt = ∫sen t dt + ∫C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

Các hằng số của tích hợp được xác định từ thông tin được đưa ra trong câu lệnh. Ngay từ đầu, nó nói rằng hạt ban đầu ở trạng thái nghỉ, do đó v (0) = 0:

v (0) = sin 0 + C ₁ = 0

C ₁ = 0

Khi đó ta có x (0) = 3:

x (0) = - cos 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

Chức năng tốc độ và vị trí chắc chắn như thế này:

v (t) = sin t

x (t) = - cos t + 4

Người giới thiệu

1. Engler, A. 2019. Giải tích Tích phân. Đại học Quốc gia Litoral.
2. Larson, R. 2010. Tính toán một biến. Ngày 9. Phiên bản. Đồi McGraw.
3. Toán học Văn bản miễn phí. Các chất diệt khuẩn. Được khôi phục từ: math.liibretexts.org.
4. Wikipedia. Chất diệt khuẩn. Được khôi phục từ: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Tích hợp vô thời hạn. Được khôi phục từ: es.wikipedia.org.