HỆ SỐ TƯƠNG QUAN: CÔNG THỨC, TÍNH TOÁN, DIỄN GIẢI, VÍ DỤ - DUDAS - 2025

Các hệ số tương quan trong thống kê là một chỉ báo rằng các biện pháp xu hướng của hai biến định lượng X và Y để có một mối quan hệ tuyến tính hoặc tỷ lệ giữa chúng.

Nói chung, các cặp biến X và Y là hai đặc điểm của cùng một tổng thể. Ví dụ, X có thể là chiều cao của một người và Y là cân nặng của người đó.

Hình 1. Hệ số tương quan cho bốn cặp dữ liệu (X, Y). Nguồn: F. Zapata.

Trong trường hợp này, hệ số tương quan sẽ cho biết có hay không có xu hướng đối với mối quan hệ tỷ lệ giữa chiều cao và cân nặng trong một quần thể nhất định.

Hệ số tương quan tuyến tính của Pearson được biểu thị bằng chữ cái viết thường r và các giá trị tối thiểu và tối đa của nó lần lượt là -1 và +1.

Giá trị r = +1 sẽ chỉ ra rằng tập hợp các cặp (X, Y) hoàn toàn thẳng hàng và khi X lớn lên, Y sẽ tăng theo cùng một tỷ lệ. Mặt khác, nếu điều đó xảy ra rằng r = -1, tập hợp các cặp cũng sẽ hoàn toàn thẳng hàng, nhưng trong trường hợp này khi X tăng, Y giảm theo cùng một tỷ lệ.

Hình 2. Các giá trị khác nhau của hệ số tương quan tuyến tính. Nguồn: Wikimedia Commons.

Mặt khác, giá trị r = 0 sẽ chỉ ra rằng không có mối tương quan tuyến tính giữa các biến X và Y. Trong khi giá trị r = +0,8 sẽ chỉ ra rằng các cặp (X, Y) có xu hướng tập hợp về một phía và khác của một dòng nhất định.

Công thức tính hệ số tương quan r như sau:

Cách tính hệ số tương quan?

Hệ số tương quan tuyến tính là một đại lượng thống kê được tích hợp trong các máy tính khoa học, hầu hết các bảng tính và các chương trình thống kê.

Tuy nhiên, thật tiện lợi khi biết công thức xác định nó được áp dụng như thế nào và đối với điều này, một phép tính chi tiết sẽ được hiển thị, thực hiện trên một tập dữ liệu nhỏ.

Và như đã trình bày ở phần trước, hệ số tương quan là hiệp phương sai Sxy chia cho tích của độ lệch chuẩn Sx cho các biến X và Sy cho biến Y.

Phương sai và phương sai

Hiệp phương sai Sxy là:

Sxy = / (N-1)

Trong đó tổng đi từ 1 đến N cặp dữ liệu (Xi, Yi). và là trung bình cộng của dữ liệu Xi và Yi tương ứng.

Về phần mình, độ lệch chuẩn của biến X là căn bậc hai của phương sai của tập dữ liệu Xi, với i từ 1 đến N:

Sx = √

Tương tự, độ lệch chuẩn của biến Y là căn bậc hai của phương sai của tập dữ liệu Yi, với i từ 1 đến N:

Sy = √

Trường hợp minh họa

Để trình bày cụ thể cách tính hệ số tương quan, chúng ta sẽ lấy bộ bốn cặp dữ liệu sau

(X, Y): {(1, 1); (2. 3); (3, 6) và (4, 7)}.

Đầu tiên, chúng tôi tính giá trị trung bình cộng cho X và Y, như sau:

= (1 + 2 + 3 + 4) / 4 = 2,5

= (1 + 3 + 6 + 7) / 4 = 4,25

Sau đó, các tham số còn lại được tính:

Covariance Sxy

Sxy = / (4-1)

Sxy = / (3) = 10,5 / 3 = 3,5

Độ lệch chuẩn Sx

Sx = √ = √ = 1,29

Độ lệch chuẩn Sy

Sx = √ =

√ = 2,75

Hệ số tương quan r

r = 3,5 / (1,29 * 2,75) = 0,98

Diễn dịch

Trong tập dữ liệu của trường hợp trước, mối tương quan tuyến tính mạnh mẽ được quan sát thấy giữa các biến X và Y, được thể hiện cả trong biểu đồ phân tán (thể hiện trong Hình 1) và trong hệ số tương quan, điều này mang lại một giá trị khá gần với sự thống nhất.

Trong phạm vi hệ số tương quan càng gần 1 hoặc đến -1, thì việc khớp dữ liệu vào một dòng càng có ý nghĩa, kết quả của hồi quy tuyến tính.

Hồi quy tuyến tính

Đường hồi quy tuyến tính thu được từ phương pháp bình phương nhỏ nhất. trong đó các tham số của đường hồi quy thu được từ việc tối thiểu hóa tổng bình phương của chênh lệch giữa giá trị Y ước tính và Yi của N dữ liệu.

Mặt khác, các tham số a và b của đường hồi quy y = a + bx, thu được bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất, là:

* b = Sxy / (Sx ² ) cho hệ số góc

* a = - b đối với giao điểm của đường hồi quy với trục Y.

Nhớ lại rằng Sxy là hiệp phương sai được xác định ở trên và Sx ² là phương sai hoặc bình phương của độ lệch chuẩn được xác định ở trên. và là trung bình cộng của dữ liệu X và Y tương ứng.

Thí dụ

Hệ số tương quan được sử dụng để xác định xem có mối tương quan tuyến tính giữa hai biến hay không. Nó có thể áp dụng khi các biến được nghiên cứu là định lượng và hơn nữa, giả định rằng chúng tuân theo phân phối kiểu chuẩn.

Dưới đây là một ví dụ minh họa: thước đo mức độ béo phì là chỉ số khối cơ thể, được tính bằng cách lấy cân nặng của một người tính bằng kilôgam chia cho chiều cao bình phương của người đó theo đơn vị mét bình phương.

Bạn muốn biết liệu có mối tương quan chặt chẽ giữa chỉ số khối cơ thể và nồng độ HDL cholesterol trong máu, được đo bằng milimol mỗi lít. Vì mục đích này, một nghiên cứu đã được thực hiện với 533 người, được tóm tắt trong biểu đồ sau, trong đó mỗi điểm đại diện cho dữ liệu của một người.

Hình 3. Nghiên cứu BMI và HDL cholesterol ở 533 bệnh nhân. Nguồn: Viện Khoa học Y tế Aragon (IACS).

Quan sát kỹ biểu đồ cho thấy có một xu hướng tuyến tính nhất định (không rõ ràng lắm) giữa nồng độ HDL cholesterol và chỉ số khối cơ thể. Thước đo định lượng của xu hướng này là hệ số tương quan, trong trường hợp này hóa ra là r = -0,276.

Người giới thiệu

1. González C. Thống kê chung. Được khôi phục từ: tarwi.lamolina.edu.pe
2. IACS. Viện Khoa học Y tế Aragon. Phục hồi từ: ics-aragon.com
3. Salazar C. và Castillo S. Các nguyên tắc cơ bản của thống kê. (2018). Được khôi phục từ: dspace.uce.edu.ec
4. Siêu lợi nhuận. Hệ số tương quan. Được phục hồi từ: superprof.es
5. USAC. Sổ tay thống kê mô tả. (2011). Đã khôi phục từ: Statistics.ingenieria.usac.edu.gt
6. Wikipedia. Hệ số tương quan của Pearson. Được khôi phục từ: es.wikipedia.com.