- Cách tính hệ số xác định?
- Trường hợp minh họa
- Diễn dịch
- Ví dụ
- - Ví dụ 1
- Giải pháp
- - Ví dụ 2
- Giải pháp
- - Ví dụ 3
- Giải pháp
- So sánh phù hợp
- Kết luận
- Người giới thiệu
Các hệ số xác định là một số giữa 0 và 1 đại diện cho phần của điểm (X, Y) mà theo đường hồi quy của sự phù hợp của một tập dữ liệu với hai biến.
Nó còn được gọi là độ phù hợp và được ký hiệu là R 2 . Để tính toán nó, thương số giữa phương sai của dữ liệu Ŷi được ước tính bởi mô hình hồi quy và phương sai của dữ liệu Yi tương ứng với mỗi Xi của dữ liệu được lấy.
R 2 = Sŷ / Sy
Hình 1. Hệ số tương quan cho bốn cặp dữ liệu. Nguồn: F. Zapata.
Nếu 100% dữ liệu nằm trên dòng của hàm hồi quy, thì hệ số xác định sẽ là 1.
Ngược lại, nếu đối với một tập dữ liệu và một hàm phù hợp nào đó mà hệ số R 2 bằng 0,5 thì có thể nói rằng sự phù hợp là 50% đạt yêu cầu hoặc tốt.
Tương tự, khi mô hình hồi quy cho giá trị R 2 thấp hơn 0,5, điều này cho thấy rằng hàm điều chỉnh đã chọn không thích ứng một cách thỏa đáng với dữ liệu, do đó cần phải tìm kiếm một hàm điều chỉnh khác.
Và khi hiệp phương sai hoặc hệ số tương quan có xu hướng bằng không, thì các biến X và Y trong dữ liệu không có liên quan và do đó R 2 cũng sẽ có xu hướng bằng không.
Cách tính hệ số xác định?
Trong phần trước, người ta đã nói rằng hệ số xác định được tính bằng cách tìm thương số giữa các phương sai:
-Được đánh giá bằng hàm hồi quy của biến Y
- Đó là của biến Yi tương ứng với mỗi biến Xi của N cặp dữ liệu.
Nói một cách toán học, nó trông như thế này:
R 2 = Sŷ / Sy
Từ công thức này, R 2 đại diện cho tỷ lệ phương sai được giải thích bởi mô hình hồi quy. Ngoài ra, R 2 có thể được tính theo công thức sau, hoàn toàn tương đương với công thức trước:
R 2 = 1 - (Sε / Sy)
Trong đó Sε đại diện cho phương sai của các phần dư εi = Ŷi - Yi, trong khi Sy là phương sai của tập các giá trị Yi của dữ liệu. Để xác định Ŷi, hàm hồi quy được áp dụng, nghĩa là khẳng định rằng Ŷi = f (Xi).
Phương sai của tập dữ liệu Yi, với i từ 1 đến N được tính theo cách này:
Sy =
Và sau đó tiến hành theo cách tương tự đối với Sŷ hoặc Sε.
Trường hợp minh họa
Để hiển thị chi tiết cách tính hệ số xác định, chúng ta sẽ lấy bộ bốn cặp dữ liệu sau:
(X, Y): {(1, 1); (2. 3); (3, 6) và (4, 7)}.
Một hồi quy tuyến tính phù hợp được đề xuất cho tập dữ liệu này, được thu thập bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất:
f (x) = 2.1 x - 1
Áp dụng chức năng điều chỉnh này, các mômen thu được:
(X, Ŷ): {(1, 1.1); (2, 3.2); (3, 5.3) và (4, 7.4)}.
Sau đó, chúng tôi tính giá trị trung bình cộng cho X và Y:
Variance Sy
Sy = / (4-1) =
= = 7,583
Phương sai Sŷ
Sŷ = / (4-1) =
= = 7,35
Hệ số xác định R 2
R 2 = Sŷ / Sy = 7,35 / 7,58 = 0,97
Diễn dịch
Hệ số xác định cho trường hợp minh họa được xem xét trong phân đoạn trước hóa ra là 0,98. Nói cách khác, điều chỉnh tuyến tính thông qua chức năng:
f (x) = 2.1x - 1
Nó đáng tin cậy 98% trong việc giải thích dữ liệu mà nó thu được bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất.
Ngoài hệ số xác định còn có hệ số tương quan tuyến tính hay còn gọi là hệ số Pearson. Hệ số này, ký hiệu là r, được tính theo mối quan hệ sau:
r = Sxy / (Sx Sy)
Ở đây tử số đại diện cho hiệp phương sai giữa các biến X và Y, trong khi mẫu số là tích của độ lệch chuẩn đối với biến X và độ lệch chuẩn đối với biến Y.
Hệ số Pearson có thể nhận giá trị từ -1 đến +1. Khi hệ số này có xu hướng +1 thì có một mối tương quan tuyến tính trực tiếp giữa X và Y. Thay vào đó, nếu nó có xu hướng -1, có một mối tương quan tuyến tính nhưng khi X phát triển Y giảm. Cuối cùng, nó gần bằng 0 không có mối tương quan giữa hai biến.
Cần lưu ý rằng hệ số xác định trùng với bình phương của hệ số Pearson, chỉ khi hệ số đầu tiên được tính toán dựa trên khớp tuyến tính, nhưng đẳng thức này không có giá trị đối với các phép khớp phi tuyến tính khác.
Ví dụ
- Ví dụ 1
Một nhóm học sinh trung học đã đặt ra định luật thực nghiệm cho chu kỳ của con lắc là một hàm của chiều dài của nó. Để đạt được mục tiêu này, họ thực hiện một loạt các phép đo trong đó đo thời gian dao động của con lắc với các độ dài khác nhau, thu được các giá trị sau:
| Chiều dài (m) | Chu kỳ) |
|---|---|
| 0,1 | 0,6 |
| 0,4 | 1,31 |
| 0,7 | 1,78 |
| một | 1,93 |
| 1,3 | 2,19 |
| 1,6 | 2,66 |
| 1,9 | 2,77 |
| 3 | 3,62 |
Nó được yêu cầu tạo biểu đồ phân tán của dữ liệu và thực hiện điều chỉnh tuyến tính thông qua hồi quy. Đồng thời, hiển thị phương trình hồi quy và hệ số xác định của nó.
Giải pháp
Hình 2. Đồ thị lời giải cho bài tập 1. Nguồn: F. Zapata.
Một hệ số xác định khá cao (95%) có thể được quan sát thấy, do đó có thể nghĩ rằng sự phù hợp tuyến tính là tối ưu. Tuy nhiên, nếu các điểm được xem cùng nhau, chúng dường như có xu hướng cong xuống. Chi tiết này không được xem xét trong mô hình tuyến tính.
- Ví dụ 2
Đối với cùng một dữ liệu trong Ví dụ 1, hãy tạo một biểu đồ phân tán của dữ liệu. Trong trường hợp này, không giống như trong ví dụ 1, điều chỉnh hồi quy được yêu cầu sử dụng một hàm tiềm năng.
Hình 3. Đồ thị lời giải bài tập 2. Nguồn: F. Zapata.
Đồng thời hiển thị hàm phù hợp và hệ số xác định R 2 của nó .
Giải pháp
Hàm thế có dạng f (x) = Ax B , trong đó A và B là các hằng số được xác định bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất.
Hình trước cho thấy hàm tiềm năng và các tham số của nó, cũng như hệ số xác định với giá trị rất cao là 99%. Lưu ý rằng dữ liệu tuân theo độ cong của đường xu hướng.
- Ví dụ 3
Sử dụng cùng dữ liệu từ Ví dụ 1 và Ví dụ 2, thực hiện chỉnh hợp đa thức bậc hai. Hiển thị đồ thị, đa thức phù hợp và hệ số xác định tương ứng R 2 .
Giải pháp
Hình 4. Đồ thị lời giải cho bài tập 3. Nguồn: F. Zapata.
Với sự phù hợp đa thức bậc hai, bạn có thể thấy một đường xu hướng phù hợp với độ cong của dữ liệu. Ngoài ra, hệ số xác định nằm trên phù hợp tuyến tính và dưới phù hợp tiềm năng.
So sánh phù hợp
Trong số ba sự phù hợp được hiển thị, cái có hệ số xác định cao nhất là sự phù hợp tiềm năng (ví dụ 2).
Thế năng phù hợp với lý thuyết vật lý của con lắc, như đã biết, thiết lập rằng chu kỳ của con lắc tỷ lệ với căn bậc hai chiều dài của nó, hằng số tỷ lệ là 2π / √g trong đó g là gia tốc trọng trường.
Loại phù hợp tiềm năng này không chỉ có hệ số xác định cao nhất, mà số mũ và hằng số tỷ lệ phù hợp với mô hình vật lý.
Kết luận
-Việc điều chỉnh hồi quy xác định các tham số của hàm nhằm giải thích dữ liệu bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất. Phương pháp này bao gồm việc giảm thiểu tổng chênh lệch bậc hai giữa giá trị Y điều chỉnh và giá trị Yi của dữ liệu đối với các giá trị Xi của dữ liệu. Điều này xác định các tham số của chức năng điều chỉnh.
-Như chúng ta đã thấy, hàm điều chỉnh phổ biến nhất là dòng, nhưng nó không phải là hàm duy nhất, vì các điều chỉnh cũng có thể là đa thức, tiềm năng, hàm mũ, logarit và các hàm khác.
-Trong mọi trường hợp, hệ số xác định phụ thuộc vào dữ liệu và loại điều chỉnh và là một dấu hiệu cho thấy mức độ tốt của điều chỉnh được áp dụng.
-Cuối cùng, hệ số xác định cho biết tỷ lệ phần trăm của tổng biến thiên giữa giá trị Y của dữ liệu so với giá trị Ŷ của điều chỉnh cho X đã cho.
Người giới thiệu
- González C. Thống kê chung. Được khôi phục từ: tarwi.lamolina.edu.pe
- IACS. Viện Khoa học Y tế Aragon. Phục hồi từ: ics-aragon.com
- Salazar C. và Castillo S. Các nguyên tắc cơ bản của thống kê. (2018). Được khôi phục từ: dspace.uce.edu.ec
- Siêu lợi nhuận. Hệ số xác định. Được phục hồi từ: superprof.es
- USAC. Sổ tay thống kê mô tả. (2011). Được khôi phục từ: Statistics.ingenieria.usac.edu.gt.
- Wikipedia. Hệ số xác định. Được khôi phục từ: es.wikipedia.com.