TÍNH ĐỒNG DƯ: SỐ LIỆU, TIÊU CHÍ, VÍ DỤ, BÀI TẬP ĐỒNG DƯ - TOÁN HỌC - 2026

Sự đồng dư trong hình học nói rằng nếu hai hình phẳng có cùng hình dạng và kích thước thì chúng là đồng dư. Ví dụ, hai đoạn thẳng đồng dư khi độ dài của chúng bằng nhau. Tương tự như vậy, các góc đồng dư có cùng số đo, mặc dù chúng không được định hướng theo cùng một phương trong mặt phẳng.

Thuật ngữ "đồng dư" xuất phát từ tiếng Latinh congruentia, có nghĩa là sự tương ứng. Do đó, hai hình đồng dư tương ứng chính xác với nhau.

Hình 1. Các tứ giác ABCD và A'B'C'D 'trong hình bên là đồng dạng: các cạnh của chúng có cùng số đo, cũng như các góc trong của chúng. Nguồn: F. Zapata.

Ví dụ, nếu chúng ta chồng hai tứ giác trong hình, chúng ta sẽ thấy rằng chúng đồng dạng, vì sự sắp xếp các cạnh của chúng giống nhau và chúng có số đo như nhau.

Bằng cách đặt các tứ giác ABCD và A'B'C'D 'chồng lên nhau, các hình sẽ khớp chính xác. Các cạnh trùng nhau được gọi là các cạnh tương đồng hoặc tương ứng và ký hiệu ≡ được sử dụng để biểu thị sự tương đồng. Vì vậy ta có thể nói rằng ABCD ≡ A'B'C'D '.

Tiêu chí công suất

Các đặc điểm sau đây là chung cho các đa giác đồng dư:

- Hình dạng và kích thước giống nhau.

-Các số đo trung tâm của các góc của chúng.

-Các số đo như nhau về mỗi cạnh của nó.

Trong trường hợp hai đa giác được đề cập là đều, tức là tất cả các cạnh và các góc trong đều đo bằng nhau, thì sự đồng dư được đảm bảo khi thỏa mãn bất kỳ điều kiện nào sau đây:

-Các bên đồng dư

-Các loại thuốc có cùng biện pháp

- Bán kính của mỗi đa giác đo bằng nhau

Apothem của một đa giác đều là khoảng cách giữa tâm và một trong các cạnh, trong khi bán kính tương ứng với khoảng cách giữa tâm và đỉnh hoặc góc của hình.

Tiêu chí đồng thời được sử dụng thường xuyên vì rất nhiều bộ phận và các loại thuộc loại được sản xuất hàng loạt và phải có hình dạng và số đo giống nhau. Bằng cách này, chúng có thể dễ dàng thay thế khi cần thiết, ví dụ như đai ốc, bu lông, tấm hoặc đá lát trên mặt đất trên đường phố.

Hình 2. Các viên đá lát đường phố là các hình đồng dạng, vì hình dạng và kích thước của chúng hoàn toàn giống nhau, mặc dù hướng của chúng trên sàn có thể thay đổi. Nguồn: Pixabay.

Công suất, bản sắc và sự tương đồng

Có những khái niệm hình học liên quan đến sự đồng dư, ví dụ các hình giống hệt nhau và các hình tương tự, không nhất thiết ngụ ý rằng các hình là đồng dư.

Lưu ý rằng các hình đồng dạng là giống nhau, tuy nhiên các tứ giác trong Hình 1 có thể được định hướng theo các cách khác nhau trên mặt phẳng và vẫn đồng dạng, vì các hướng khác nhau không thay đổi kích thước của các cạnh hoặc góc của chúng. Trong trường hợp đó, chúng sẽ không còn giống nhau nữa.

Khái niệm khác là sự giống nhau của các hình: hai hình phẳng tương tự nhau nếu chúng có hình dạng giống nhau và các góc trong của chúng có số đo như nhau, mặc dù kích thước của các hình có thể khác nhau. Nếu trường hợp này xảy ra, các số liệu không đồng dư.

Ví dụ về sự đồng dư

- Sự đồng dạng của các góc

Như chúng tôi đã chỉ ra ở phần đầu, các góc đồng dư có cùng số đo. Có một số cách để thu được các góc đồng dư:

ví dụ 1

Hai đường thẳng có điểm chung xác định hai góc, gọi là góc đối đỉnh vì có đỉnh. Các góc này có cùng số đo, do đó chúng đồng dư.

Hình 3. Các góc đối đỉnh của đỉnh. Nguồn: Wikimedia Commons.

Ví dụ 2

Có hai đường thẳng song song cộng với một đường thẳng cắt cả hai. Như trong ví dụ trước, khi đường thẳng này cắt các đường song song, nó tạo ra các góc đồng dư, một góc trên mỗi đường ở phía bên phải và hai góc khác ở phía bên trái. Hình bên cho thấy α và α ₁ , ở bên phải đường thẳng t, chúng đồng dư.

Hình 4. Các góc thể hiện trong hình là đồng dư. Nguồn: Wikimedia Commons. Lfahlberg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Ví dụ 3

Trong một hình bình hành có bốn góc trong bằng hai góc bên trong bằng hai góc. Chúng là những điểm nằm giữa các đỉnh đối diện, như trong hình sau đây, trong đó hai góc màu xanh lá cây là đồng dư, cũng như hai góc màu đỏ.

Hình 5. Các góc trong của hình bình hành là đồng dư hai cạnh hai. Nguồn: Wikimedia Commons.

- Tính đồng dạng của tam giác

Hai tam giác có cùng hình dạng và kích thước là đồng dư. Để xác minh điều này, có ba tiêu chí có thể được kiểm tra để tìm kiếm sự phù hợp:

- Tiêu chí ĐL : ba cạnh của tam giác có số đo bằng nhau nên L ₁ = L ' ₁ ; L ₂ = L ' ₂ và L ₃ = L' _3.

Hình 6. Ví dụ về tam giác đồng dư, có số đo các cạnh bằng nhau. Nguồn: F. Zapata.

- Tiêu chí ALA và AAL : tam giác có hai góc trong bằng nhau và cạnh giữa các góc này có cùng số đo.

Hình 7. Các tiêu chí ALA và AAL cho sự đồng dư tam giác. Nguồn: Wikimedia Commons.

- Tiêu chí LAL : hai cạnh giống nhau (tương ứng) và có góc giữa chúng bằng nhau.

Hình 8. Tiêu chí LAL cho đồng dư của tam giác. Nguồn: Wikimedia Commons.

Bài tập đã giải

- Bài tập 1

Hai tam giác được biểu diễn trong hình sau: ΔABC và ΔECF. Biết rằng AC = EF, AB = 6 và CF = 10. Hơn nữa, các góc ∡BAC và ∡FEC đồng dư và các góc ∡ACB và ∡FCB cũng đồng dư.

Hình 9. Hình tam giác cho ví dụ đã làm 1. Nguồn: F. Zapata.

Khi đó độ dài đoạn BE bằng:

(i) 5

(ii) 3

(iii) 4

(iv) 2

(v) 6

Giải pháp

Vì hai tam giác có độ dài cạnh bằng nhau AC = EF giữa các góc ∡BAC = ∡CEF và ∡BCA = ∡CFE bằng nhau, nên có thể nói rằng hai tam giác đồng dạng theo tiêu chuẩn ALA.

Tức là, ΔBAC ≡ ΔCEF, vì vậy chúng ta phải:

BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

Nhưng đoạn cần tính là BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.

Vì vậy, câu trả lời chính xác là (iii).

- Bài tập 2

Ba hình tam giác được hiển thị trong hình dưới đây. Cũng biết rằng hai góc được chỉ ra đo mỗi góc 80º và các đoạn thẳng AB = PD và AP = CD. Tìm giá trị của góc X được chỉ ra trong hình.

Hình 10. Các hình tam giác cho ví dụ đã giải quyết 2. Nguồn: F. Zapata.

Giải pháp

Bạn phải áp dụng các thuộc tính của hình tam giác, được trình bày chi tiết từng bước.

Bước 1

Bắt đầu với tiêu chí đồng dư của tam giác LAL, có thể nói rằng tam giác BAP và PDC là đồng dư:

ΔBAP ≡ ΔPDC

Bước 2

Từ đó khẳng định rằng BP = PC nên tam giác ΔBPC là cân và ∡PCB = ∡PBC = X.

Bước 3

Nếu chúng ta gọi góc là BPC γ thì nó như sau:

2x + γ = 180º

Bước 4

Và nếu chúng ta gọi các góc APB và DCP β và α là các góc ABP và DPC, chúng ta có:

α + β + γ = 180º (vì APB là góc mặt phẳng).

Bước 5

Hơn nữa, α + β + 80º = 180º bằng tổng các góc trong của tam giác APB.

Bước 6

Kết hợp tất cả các biểu thức này, chúng tôi có:

α + β = 100º

Bước 7

Và do đó:

γ = 80º.

Bước 8

Cuối cùng nó sau đó:

2X + 80º = 180º

Với X = 50º.

Người giới thiệu

1. Baldor, A. 1973. Hình học Mặt phẳng và Không gian. Văn hóa Trung Mỹ.
2. Cơ sở CK-12. Đa giác đồng dư. Được phục hồi từ: ck 12.org.
3. Thích toán học. Định nghĩa: Bán kính (đa giác). Phục hồi từ: enjoylasmatematicas.com.
4. Tham khảo mở Toán học. Kiểm tra đa giác cho sự đồng dư. Phục hồi từ: mathopenref.com.
5. Wikipedia. Congruence (hình học). Được khôi phục từ: es.wikipedia.org.
6. Zapata, F. Hình tam giác, lịch sử, yếu tố, phân loại, thuộc tính. Phục hồi từ: liveseder.com.