TỌA ĐỘ CẦU: CÁC VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP ĐÃ GIẢI - TOÁN HỌC - 2026

Các tọa độ hình cầu là một tập hợp các điểm vị trí trong không gian ba chiều bao gồm một Radial phối hợp và hai tọa độ góc được gọi là cực phối hợp và phương vị phối hợp.

Hình 1, mà chúng ta thấy bên dưới, cho thấy các tọa độ cầu (r, θ, φ) của một điểm M. Các tọa độ này được quy về một hệ trực giao của các trục Descartes X, Y, Z có gốc O.

Hình 1. Tọa độ cầu (r, θ, φ) của một điểm M. (wikimedia commons)

Trong trường hợp này, tọa độ r của điểm M là khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ O. Tọa độ cực θ biểu diễn góc giữa bán trục dương Z và vectơ bán kính OM. Trong khi tọa độ phương vị φ là góc giữa bán trục dương X và vectơ bán kính OM ', trong đó M' là hình chiếu trực giao của M trên mặt phẳng XY.

Tọa độ xuyên tâm r chỉ nhận các giá trị dương, nhưng nếu một điểm nằm tại gốc tọa độ thì r = 0. Tọa độ cực θ nhận giá trị nhỏ nhất 0º cho các điểm nằm trên bán trục dương Z và giá trị lớn nhất 180º cho các điểm nằm trên bán trục âm Z. Cuối cùng, tọa độ phương vị φ nhận giá trị nhỏ nhất 0º và chiều cao tối đa là 360º.

0 ≤ r <∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ <360º

Thay đổi tọa độ

Công thức cho phép lấy tọa độ Descartes (x, y, z) của một điểm M sẽ được đưa ra dưới đây, giả sử tọa độ cầu của cùng một điểm (r, θ, φ) đã biết:

x = r Sen (θ) Cos (φ)

y = r Sen (θ) Sen (φ)

z = r Cos (θ)

Theo cách tương tự, sẽ rất hữu ích khi tìm các quan hệ để đi từ tọa độ Descartes (x, y, z) của một điểm đã cho đến tọa độ cầu của điểm đã nói:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = Arctan (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = Arctan (y / x)

Cơ sở vectơ trong tọa độ cầu

Từ tọa độ cầu, một cơ sở trực chuẩn của các vectơ cơ sở được xác định, được ký hiệu là Ur , Uθ , Uφ . Trong Hình 1, ba vectơ đơn vị này được hiển thị, có các đặc điểm sau:

- Ur là véc tơ đơn vị tiếp tuyến với đường hướng tâm θ = ctte và φ = ctte;

- Uθ là véc tơ đơn vị tiếp tuyến của cung φ = ctte và r = ctte;

- Uφ là véc tơ đơn vị tiếp tuyến với cung r = ctte và θ = ctte.

Yếu tố đường thẳng và khối lượng trong hệ tọa độ cầu

Vectơ vị trí của một điểm trong không gian theo hệ tọa độ cầu được viết như sau:

r = r Ur

Nhưng sự biến đổi hoặc độ dịch chuyển của một điểm trong không gian ba chiều, trong các tọa độ này, được biểu thị bằng quan hệ vectơ sau:

d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ

Cuối cùng, một thể tích vô cực dV trong hệ tọa độ cầu được viết như sau:

dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ

Những mối quan hệ này rất hữu ích để tính tích phân đường và tích trong các tình huống vật lý có đối xứng cầu.

Mối quan hệ với tọa độ địa lý

Tọa độ địa lý được hiểu là những tọa độ dùng để định vị các địa điểm trên bề mặt trái đất. Hệ thống này sử dụng tọa độ của vĩ độ và kinh độ để xác định vị trí trên bề mặt Trái đất.

Trong hệ tọa độ địa lý, bề mặt trái đất được giả định là hình cầu với bán kính Rt, mặc dù nó được cho là phẳng ở các cực và một tập hợp các đường tưởng tượng được gọi là song song và kinh tuyến được coi là.

Hình 2. Kinh độ α và vĩ độ β của một người quan sát trên bề mặt trái đất.

Vĩ độ β là một góc được tạo thành bởi bán kính bắt đầu từ tâm Trái đất đến điểm mà bạn muốn định vị. Nó được đo từ mặt phẳng xích đạo, như thể hiện trong hình 2. Mặt khác, kinh độ α là góc mà kinh tuyến của điểm đang nằm tạo với kinh tuyến 0 (được gọi là kinh tuyến Greenwich).

Vĩ độ có thể là vĩ độ bắc hoặc vĩ độ nam, tùy thuộc vào việc địa điểm bạn đang định vị là ở bán cầu bắc hay bán cầu nam. Tương tự, kinh độ có thể là tây hoặc đông tùy thuộc vào vị trí là tây hay đông của kinh tuyến số không.

Công thức để thay đổi từ địa lý sang hình cầu

Để có được những công thức này, điều đầu tiên là thiết lập một hệ tọa độ. Mặt phẳng XY được chọn trùng với mặt phẳng xích đạo, bán trục dương X là mặt phẳng đi từ tâm Trái đất và đi qua kinh tuyến số 0. Lần lượt trục Y đi qua kinh tuyến 90º E. Bề mặt trái đất có bán kính Rt.

Với hệ tọa độ này, các phép biến đổi từ địa lý sang hình cầu trông như thế này:

αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)

αOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)

αOβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)

Ví dụ

ví dụ 1

Tọa độ địa lý của Palma de Mallorca (Tây Ban Nha) là:

Kinh độ Đông 38,847º và Vĩ độ Bắc 39,570º. Để xác định tọa độ cầu tương ứng với Palma de Mallorca, công thức đầu tiên trong số các công thức trong phần trước được áp dụng:

38,847ºE39,570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º-39,570º, φ = 38,847º)

Vậy tọa độ cầu là:

Palma de Mallorca: (r = 6371 km, θ = 50,43º, φ = 38,85º)

Trong câu trả lời trước r đã được lấy bằng bán kính trung bình của Trái đất.

Ví dụ 2

Biết rằng quần đảo Malvinas (Falkland) có tọa độ địa lý 59ºO 51,75ºS, hãy xác định tọa độ địa cực tương ứng. Hãy nhớ rằng trục X đi từ tâm Trái đất đến kinh tuyến 0º và trên mặt phẳng xích đạo; trục Y cũng nằm trong mặt phẳng xích đạo và đi qua kinh tuyến 90º Tây; cuối cùng là trục Z trên trục quay của Trái Đất theo hướng Nam - Bắc.

Để tìm tọa độ cầu tương ứng, chúng tôi sử dụng các công thức được trình bày trong phần trước:

59ºO 51,75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º + 51,75º, φ = 360º-59º) tức là

Malvinas: (r = 6371 km, θ = 141,75º, φ = 301º)

Bài tập

Bài tập 1

Tìm tọa độ Descartes của Palma de Mallorca trong hệ quy chiếu Descartes XYZ được thể hiện trong hình 2.

Giải pháp: Trước đây, trong ví dụ 1, tọa độ cầu được lấy bắt đầu từ tọa độ địa lý của Palma de Mallorca. Vì vậy, các công thức được trình bày ở trên có thể được sử dụng để đi từ hình cầu sang Descartes:

x = 6371 km Sen (50,43º) Cos (38,85º)

y = 6371 km Sen (50,43º) Sen (38,85º)

z = 6371 km Cos (50,43º)

Thực hiện các phép tính tương ứng ta có:

Palma de Mallorca: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

Bài tập 2

Tìm tọa độ Descartes của quần đảo Falkland trong hệ quy chiếu Descartes XYZ được thể hiện trong hình 2.

Giải pháp: Trước đây, trong ví dụ 2, tọa độ cầu được lấy bắt đầu từ tọa độ địa lý của quần đảo Malvinas. Vì vậy, các công thức được trình bày ở trên có thể được sử dụng để đi từ hình cầu sang Descartes:

x = 6371 km Sen (141,75º) Cos (301º)

y = 6371 km Sen (141,75º) Sen (301º)

z = 6371 km Cos (141,75º)

Thực hiện các phép tính tương ứng, ta thu được:

Quần đảo Falkland: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

Người giới thiệu

1. Arfken G và Weber H. (2012). Phương pháp toán học cho các nhà vật lý. Hướng dẫn toàn diện. Phiên bản thứ 7. Báo chí Học thuật. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Tính toán cc. Các bài toán về tọa độ trụ và cầu đã giải. Đã khôi phục từ: Calculo.cc
3. Xưởng thiên văn học. Vĩ độ và kinh độ. Đã khôi phục từ: domainsfamates.blogspot.com/
4. Weisstein, Eric W. "Tọa độ hình cầu". Từ MathWorld-A Wolfram Web. Được khôi phục từ: mathworld.wolfram.com
5. wikipedia. Hệ tọa độ mặt cầu. Khôi phục từ: en.wikipedia.com
6. wikipedia. Trường vectơ trong hệ tọa độ hình trụ và hình cầu. Khôi phục từ: en.wikipedia.com