TỌA ĐỘ HÌNH CHỮ NHẬT: CÁC VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP ĐÃ GIẢI - TOÁN HỌC - 2025

Các tọa độ hình chữ nhật hay Descartes là những tọa độ thu được trên phép chiếu trực giao lên ba trục Cartesian X, Y, Z một điểm nằm trong không gian ba chiều.

Các trục Descartes là các đường thẳng định hướng lẫn nhau vuông góc với nhau. Trong hệ tọa độ Descartes, mỗi điểm trong không gian được gán ba số thực là tọa độ hình chữ nhật của nó.

Hình 1. Toạ độ hình chữ nhật của điểm P (Tính toán riêng)

Mặt phẳng là một không gian con của không gian ba chiều. Trường hợp xét các điểm trên một mặt phẳng thì chỉ cần chọn cặp trục vuông góc X, Y làm hệ Descartes. Khi đó mỗi điểm trên mặt phẳng được gán hai số thực là tọa độ hình chữ nhật của nó.

Gốc tọa độ hình chữ nhật

Tọa độ hình chữ nhật ban đầu được đề xuất bởi nhà toán học người Pháp René Descartes (1596 và 1650), đó là lý do tại sao chúng được gọi là Descartes.

Với ý tưởng này của Descartes, các điểm của mặt phẳng và không gian được gán các số, do đó các hình hình học có một phương trình đại số liên kết và các định lý hình học cổ điển có thể được chứng minh bằng đại số. Với hệ tọa độ Descartes, hình học giải tích ra đời.

Mặt phẳng Descartes

Nếu trong một mặt phẳng, hai đường thẳng vuông góc được chọn cắt nhau tại một điểm O; và nếu, ngoài ra, mỗi đường được gán một hướng và một thang số giữa các điểm cách đều liên tiếp, thì sẽ có một hệ hoặc mặt phẳng Descartes trong đó mỗi điểm của mặt phẳng được liên kết với một cặp số thực có thứ tự là các hình chiếu của chúng tương ứng trên trục X và Y.

Các điểm A = (3, 2); B = (- 2, 3); C = (- 2, -3) và D = (3, -3) được biểu diễn trong mặt phẳng Descartes như hình dưới đây:

Hình 2. Các điểm trong mặt phẳng Descartes. (Công phu riêng)

Lưu ý rằng hai trục X và Y chia mặt phẳng thành bốn cung được gọi là góc phần tư. Điểm A nằm trong góc phần tư thứ nhất, điểm B nằm trong góc phần tư thứ hai, điểm C nằm trong góc phần tư thứ ba và điểm D nằm trong góc phần tư thứ tư.

Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm A và B trên mặt phẳng Descartes là độ dài của đoạn thẳng nối chúng. Khoảng cách này có thể được tính toán phân tích như sau:

d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2)

Công thức trên thu được bằng cách áp dụng định lý Pitago.

Áp dụng công thức này cho các điểm A, B trong hình 2 ta có:

d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

Tức là, d (A, B) = 5,10 đơn vị. Lưu ý rằng khoảng cách thu được mà không cần đo bằng thước, một quy trình hoàn toàn đại số đã được tuân theo.

Biểu thức phân tích của một đường

Tọa độ hình chữ nhật cho phép biểu diễn phân tích các đối tượng hình học cơ bản như điểm và đường. Hai điểm A và B xác định một đường thẳng. Độ dốc của đường được xác định bằng thương số giữa hiệu số tọa độ Y của điểm B trừ A, chia cho hiệu số tọa độ X của điểm B trừ A:

độ dốc = (By - Ay) / (Bx - Ax)

Mọi điểm P thuộc tọa độ (x, y) thuộc đường thẳng (AB) phải có cùng hệ số góc:

độ dốc = (y - Ay) / (x - Ax)

Phương trình thu được thông qua đẳng thức của các sườn là biểu diễn giải tích hoặc đại số của đường thẳng đi qua các điểm A và B:

(y - Ay) / (x - Ax) = (By - Ay) / (Bx - Ax).

Nếu lấy A và B là tọa độ hình chữ nhật của hình 2, chúng ta có:

(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)

(y - 2) / (x - 3) = -⅕

Trong trường hợp cụ thể này, chúng ta có một đường có hệ số góc âm -⅕, có nghĩa là bằng cách xác định vị trí trên một điểm trên đường thẳng và tăng tọa độ x lên một đơn vị, tọa độ y giảm 0,2 đơn vị.

Cách phổ biến nhất để viết phương trình của đường thẳng trong mặt phẳng là với tọa độ y được xóa dưới dạng một hàm của biến x:

y = - (1/5) x + 13/5

Ví dụ

ví dụ 1

Bằng phương pháp phân tích, thu được khoảng cách giữa hai điểm C và A, là tọa độ hình chữ nhật của C = (-2, -3) và của A = (3,2).

Công thức cho khoảng cách Euclide giữa hai điểm này được viết như sau:

d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)

Thay các tọa độ hình chữ nhật tương ứng của chúng, chúng ta có:

d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7,07

Ví dụ 2

Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm C có tọa độ (-2, -3) và điểm P có tọa độ (2, 0).

Đầu tiên, độ dốc của đường CP thu được:

độ dốc = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾

Mọi điểm Q thuộc tọa độ hình chữ nhật chung (x, y) thuộc đường thẳng CP phải có cùng hệ số góc:

độ dốc = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)

Nói cách khác, phương trình của đường thẳng CP là:

(y +3) / (x +2) = ¾

Một cách khác để viết phương trình của đường thẳng CP là giải cho y:

y = ¾ x - 3/2

Bài tập đã giải

Bài tập 1

Lấy tọa độ hình chữ nhật của giao điểm giữa đường thẳng y = - (1/5) x + 13/5 và đường thẳng y = ¾ x - 3/2.

Giải: Theo định nghĩa, giao điểm của hai đường thẳng có cùng một tọa độ hình chữ nhật. Do đó, tọa độ y tại giao điểm là đồng nhất cho cả hai đường:

- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

dẫn đến biểu thức sau:

(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2

giải tổng các phân số ta thu được:

19/20 x = 41/10

Giải cho x:

x = 82/19 = 4,32

Để nhận được giá trị y của giao điểm, giá trị x thu được được thay thế trong bất kỳ dòng nào:

y = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74

Điều này có nghĩa là các đường thẳng đã cho cắt nhau tại điểm I có tọa độ I = (4.32, 1.74).

Bài tập 2

Lập phương trình chu vi đi qua điểm R có tọa độ hình chữ nhật (3, 4) và tâm của nó tại gốc tọa độ.

Giải: Bán kính R là khoảng cách từ điểm R đến gốc tọa độ O (0, 0).

d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

Đó là, nó là một hình tròn bán kính 5 có tâm ở (0,0).

Mọi điểm P (x, y) trên chu vi phải có cùng khoảng cách từ tâm (0, 0) bằng 5 nên có thể viết:

d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Điều đó có nghĩa là:

√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Để loại bỏ căn bậc hai, cả hai thành viên của đẳng thức đều bình phương, thu được:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

Phương trình của chu vi là gì.

Ví dụ này minh họa sức mạnh của hệ tọa độ hình chữ nhật, cho phép xác định các đối tượng hình học, chẳng hạn như chu vi, mà không cần sử dụng giấy, bút chì và compa. Chu vi được yêu cầu chỉ được xác định bằng phương pháp đại số.

Người giới thiệu

1. Arfken G và Weber H. (2012). Phương pháp toán học cho các nhà vật lý. Hướng dẫn toàn diện. Phiên bản thứ 7. Báo chí Học thuật. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Tính toán cc. Các bài toán về tọa độ hình chữ nhật đã giải. Đã khôi phục từ: Calculo.cc
3. Weisstein, Eric W. "Tọa độ Descartes." Từ MathWorld-A Wolfram Web. Được khôi phục từ: mathworld.wolfram.com
4. wikipedia. Hệ tọa độ Descartes. Khôi phục từ: en.wikipedia.com