- Độ dài hợp âm của một vòng tròn
- Định lý chuỗi
- Bài tập đã giải về chuỗi
- - Bài tập 1
- Giải pháp
- - Bài tập 2
- Giải pháp
- Bước 1: Lấy phương trình chính tắc của chu vi
- Bước 2: Xác định các đoạn để sử dụng trong định lý chuỗi
- Người giới thiệu
Hợp âm , trong hình học phẳng, là đoạn thẳng nối hai điểm trên một đường cong. Đường có chứa phân đoạn này được cho là một đường thẳng đối với đường cong. Đây thường là một vòng tròn, nhưng các hợp âm chắc chắn có thể được vẽ trên nhiều đường cong khác, chẳng hạn như hình elip và parabol.
Trong hình 1, bên trái có một đường cong, mà các điểm A và B. Thuộc về các hợp âm giữa A và B là đoạn màu xanh lục. Bên phải là chu vi và một trong các chuỗi của nó, vì có thể vẽ vô hạn.
Hình 1. Bên trái hợp âm của một đường cong tùy ý và bên phải hợp âm của một vòng tròn. Nguồn: Wikimedia Commons.
Trong chu vi, đường kính của nó đặc biệt thú vị, nó còn được gọi là hợp âm trưởng. Nó là một hợp âm luôn chứa tâm của chu vi và đo hai lần bán kính.
Hình sau đây cho thấy bán kính, đường kính, một hợp âm và cung của một chu vi. Xác định chính xác từng cái là quan trọng khi giải quyết vấn đề.
Hình 2. Các yếu tố của chu vi. Nguồn: Wikimedia Commons.
Độ dài hợp âm của một vòng tròn
Chúng ta có thể tính độ dài của hợp âm trong một vòng tròn từ Hình 3a và 3b. Lưu ý rằng một tam giác luôn được tạo thành với hai cạnh bằng nhau (cân): các đoạn OA và OB, đo R, bán kính của chu vi. Cạnh thứ ba của tam giác là đoạn AB, gọi là C, chính xác là độ dài của hợp âm.
Cần vẽ đường thẳng vuông góc với dây cung C để phân giác góc θ tồn tại giữa hai bán kính và có đỉnh là tâm O của chu vi. Đây là một góc ở giữa - vì đỉnh của nó là tâm - và đường phân giác cũng là một phần riêng của chu vi.
Hai tam giác vuông ngay lập tức được hình thành, cạnh huyền của nó đo R. Vì đường phân giác, và với nó là đường kính, chia hợp âm thành hai phần bằng nhau, nên một trong hai chân bằng một nửa C, như được chỉ ra trong Hình 3b.
Từ định nghĩa sin của một góc:
sin (θ / 2) = chân đối diện / cạnh huyền = (C / 2) / R
Như vậy:
sin (θ / 2) = C / 2R
C = 2R sin (θ / 2)
Hình 3. Tam giác tạo bởi hai bán kính và một chu vi là hình cân (hình 3), vì nó có hai cạnh bằng nhau. Đường phân giác chia nó thành hai tam giác vuông (Hình 3b). Nguồn: do F. Zapata chuẩn bị.
Định lý chuỗi
Định lý chuỗi có dạng như sau:
Hình dưới đây cho thấy hai hợp âm có cùng chu vi: AB và CD, cắt nhau tại điểm P. Trong hợp âm AB, các đoạn AP và PB được xác định, trong khi trong hợp âm CD, CP và PD được xác định. Vì vậy, theo định lý:
AP. PB = CP. P.S.
Hình 4. Định lý hợp âm của đường tròn. Nguồn: F. Zapata.
Bài tập đã giải về chuỗi
- Bài tập 1
Một vòng tròn có dây cung 48 cm, cách tâm là 7 cm. Tính diện tích hình tròn và chu vi hình tròn.
Giải pháp
Để tính diện tích hình tròn A, cần biết bán kính của bình phương chu vi là đủ, vì nó đúng:
A = π.R 2
Bây giờ, hình được tạo thành với dữ liệu được cung cấp là một tam giác vuông, có chân lần lượt là 7 và 24 cm.
Hình 5. Hình học cho bài tập đã giải 1. Nguồn: F. Zapata.
Do đó, để tìm giá trị của R 2 , định lý Pitago c 2 = a 2 + b 2 được áp dụng trực tiếp , vì R là cạnh huyền của tam giác:
R 2 = (7 cm) 2 + (24 cm) 2 = 625 cm 2
Vì vậy, khu vực được yêu cầu là:
A = π. 625 cm 2 = 1963,5 cm 2
Về chu vi hoặc chiều dài L của chu vi, nó được tính bằng:
L = 2π. R
Giá trị thay thế:
R = √625 cm 2 = 25 cm
L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.
- Bài tập 2
Xác định độ dài của hợp âm của một vòng tròn có phương trình là:
x 2 + y 2 - 6x - 14y -111 = 0
Tọa độ của trung điểm của hợp âm được biết là P (17/2; 7/2).
Giải pháp
Điểm giữa của hợp âm P không thuộc về chu vi, nhưng các điểm cuối của hợp âm thì có. Vấn đề có thể được giải quyết bằng cách sử dụng định lý chuỗi đã phát biểu trước đó, nhưng trước hết thuận tiện khi viết phương trình chu vi ở dạng chính tắc, để xác định bán kính R và tâm O của nó.
Bước 1: Lấy phương trình chính tắc của chu vi
Phương trình chính tắc của đường tròn có tâm (h, k) là:
(xh) 2 + (yk) 2 = R 2
Để có được nó, bạn phải hoàn thành các ô vuông:
(x 2 - 6x) + (y 2 - 14y) -111 = 0
Lưu ý rằng 6x = 2. (3x) và 14y = 2. (7y), do đó biểu thức trước đó được viết lại như thế này, không thay đổi:
(x 2 - 6x + 3 2 -3 2 ) + (y 2 - 14y + 7 2 -7 2 ) -111 = 0
Và bây giờ, nhớ lại định nghĩa của tích đáng kể (ab) 2 = a 2 - 2ab + b 2, bạn có thể viết:
(x - 3) 2 - 3 2 + (y - 7) 2 - 7 2 - 111 = 0
= (x - 3) 2 + (y - 7) 2 = 111 + 3 2 + 7 2 → (x - 3) 2 + (y - 7) 2 = 169
Chu vi có tâm (3,7) và bán kính R = √169 = 13. Hình sau cho thấy đồ thị của chu vi và các hợp âm sẽ được sử dụng trong định lý:
Hình 6. Đồ thị chu vi của bài tập đã giải 2. Nguồn: F. Zapata sử dụng máy tính đồ thị trực tuyến Mathway.
Bước 2: Xác định các đoạn để sử dụng trong định lý chuỗi
Các đoạn được sử dụng là dây CD và AB, theo hình 6, cả hai đều bị cắt tại điểm P, do đó:
CP. PD = AP. PB
Bây giờ chúng ta sẽ tìm khoảng cách giữa hai điểm O và P, vì điều này sẽ cho chúng ta độ dài của đoạn thẳng OP. Nếu chúng ta thêm bán kính vào độ dài này, chúng ta sẽ có CP phân đoạn.
Khoảng cách d OP giữa hai tọa độ điểm (x 1 , y 1 ) và (x 2 , y 2 ) là:
d OP 2 = OP 2 = (x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 = (3- 17/2) 2 + (7- 7/2) 2 = 121/4 + 49/4 = 170/4
d OP = OP = √170 / 2
Với tất cả các kết quả thu được, cộng với biểu đồ, chúng tôi xây dựng danh sách các phân đoạn sau (xem hình 6):
CO = 13 cm = R
OP = √170 / 2 cm
CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm
PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm
AP = PB
2.AP = độ dài hợp âm
Thay thế trong định lý chuỗi:
CP. PD = AP. PB = = AP 2
= AP 2
253/2 = AP 2
AP = √ (253/2)
Chiều dài của chuỗi là 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506
Người đọc có thể giải quyết vấn đề theo cách khác không?
Người giới thiệu
- Baldor, A. 2004. Hình học Mặt phẳng và Không gian với Lượng giác. Publicaciones Cultural SA de CV México.
- C-K12. Chiều dài của hợp âm. Được khôi phục từ: ck12.org.
- Escobar, J. Chu vi. Được khôi phục từ: matematicas.udea.edu.co.
- Villena, M. Cónicas. Được khôi phục từ: dspace.espol.edu.ec.
- Wikipedia. Dây (Hình học). Được khôi phục từ: es.wikipedia.org.