KURTOSIS: ĐỊNH NGHĨA, CÁC LOẠI, CÔNG THỨC, NÓ LÀ GÌ, VÍ DỤ - DUDAS - 2026

Các nhọn hay nhọn là một tham số thống kê sử dụng để mô tả sự phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên, cho thấy mức độ tập trung của các giá trị xung quanh biện pháp trung ương. Đây còn được gọi là "cao điểm".

Thuật ngữ này xuất phát từ tiếng Hy Lạp "kurtos" có nghĩa là cong, do đó, kurtosis biểu thị mức độ hướng hoặc phẳng của phân bố, như được thấy trong hình sau:

Hình 1. Các dạng kurtosis khác nhau. Nguồn: F. Zapata.

Hầu như tất cả các giá trị của một biến ngẫu nhiên có xu hướng tập hợp xung quanh một giá trị trung tâm chẳng hạn như giá trị trung bình. Nhưng trong một số bản phân phối, các giá trị bị phân tán hơn so với các bản phân phối khác, dẫn đến các đường cong phẳng hơn hoặc mảnh hơn.

Định nghĩa

Kurtosis là một giá trị số điển hình của mỗi phân bố tần số, theo nồng độ của các giá trị xung quanh giá trị trung bình, được phân thành ba nhóm:

- Leptokurtic: trong đó các giá trị rất tập trung xung quanh giá trị trung bình, do đó phân bố khá nhọn và mảnh (hình 1, bên trái).

- Mesocúrtic: nó có sự tập trung vừa phải của các giá trị xung quanh giá trị trung bình (hình 1 ở trung tâm).

- Platicúrtica: phân bố này có hình dạng rộng hơn, vì các giá trị có xu hướng phân tán hơn (hình 1 bên phải).

Công thức và phương trình

Kurtosis có thể có bất kỳ giá trị nào, không có giới hạn. Tính toán của nó được thực hiện tùy thuộc vào cách thức mà dữ liệu được phân phối. Kí hiệu được sử dụng trong mỗi trường hợp như sau:

- Hệ số kurtosis: g ₂

-Ý nghĩa số học: X hoặc x với thanh

-Giá trị thứ _i : x _i

-Độ lệch tiêu chuẩn: σ

-Số dữ liệu: N

-Tần số của giá trị thứ _i : f _i

-Thương hiệu hạng: mx _i

Với ký hiệu này, chúng tôi trình bày một số công thức được sử dụng nhiều nhất để tìm kurtosis:

- Kurtosis theo cách trình bày dữ liệu

Dữ liệu không được nhóm hoặc nhóm theo tần số

Dữ liệu được nhóm theo khoảng thời gian

Thừa kurtosis

Còn được gọi là hệ số nhắm mục tiêu của Fisher hoặc thước đo của Fisher, nó được sử dụng để so sánh phân phối đang nghiên cứu với phân phối chuẩn.

Khi kurtosis dư thừa bằng 0, chúng ta có phân phối chuẩn hoặc chuông Gaussian. Bằng cách này, bất cứ khi nào tính được kurtosis dư thừa của một phân phối, chúng tôi thực sự đang so sánh nó với phân phối chuẩn.

Đối với cả dữ liệu chưa nhóm và dữ liệu gộp, hệ số trỏ của Fisher, ký hiệu là K, là:

K = g ₂ - 3

Bây giờ, có thể chỉ ra rằng kurtosis của phân phối chuẩn là 3, do đó nếu hệ số nhắm mục tiêu Fisher là 0 hoặc gần bằng 0 và có phân phối trung bình. Nếu K> 0 thì phân bố là leptokurtic và nếu K <0 thì nó là platicúrtic.

Kurtosis để làm gì?

Kurtosis là một phép đo độ biến thiên được sử dụng để mô tả hình thái của một phân bố. Bằng cách này, có thể so sánh các phân bố đối xứng với cùng mức trung bình và cùng độ phân tán (được cho bởi độ lệch chuẩn).

Có các thước đo về sự thay đổi đảm bảo rằng các giá trị trung bình là đáng tin cậy và giúp kiểm soát các biến thể trong phân phối. Để làm ví dụ, chúng ta hãy xem xét hai tình huống này.

Lương của 3 bộ phận

Giả sử rằng đồ thị sau đây cho thấy sự phân bổ tiền lương của 3 phòng ban của cùng một công ty:

Hình 2. Ba phân bố với kurtosis khác nhau minh họa các tình huống thực tế. (Chuẩn bị bởi Fanny Zapata)

Đường cong A là đường cong mỏng nhất, và từ dạng của nó, có thể suy ra rằng hầu hết mức lương của bộ phận đó rất gần với mức trung bình, do đó hầu hết nhân viên đều nhận được mức lương tương tự.

Mặt khác, ở bộ phận B, đường cong tiền lương tuân theo phân phối chuẩn, vì đường cong này là trung bình, trong đó chúng tôi giả định rằng tiền lương được phân phối ngẫu nhiên.

Và cuối cùng chúng ta có đường cong C rất phẳng, một dấu hiệu cho thấy ở bộ phận này biên độ lương rộng hơn nhiều so với bộ phận khác.

Kết quả của một kỳ thi

Bây giờ, giả sử rằng ba đường cong trong Hình 2 đại diện cho kết quả của một kỳ thi áp dụng cho ba nhóm sinh viên của cùng một môn học.

Nhóm có xếp hạng được thể hiện bằng đường cong A leptokurtic là khá đồng nhất, phần lớn có xếp hạng trung bình hoặc gần.

Cũng có thể kết quả là do các đề thi có độ khó tương tự nhau.

Mặt khác, kết quả của nhóm C cho thấy sự không đồng nhất lớn hơn trong nhóm, có thể bao gồm học sinh trung bình, một số học sinh tiên tiến hơn và chắc chắn là cùng một số học sinh kém chú ý hơn.

Hoặc nó có thể có nghĩa là các câu hỏi kiểm tra có mức độ khó khăn rất khác nhau.

Đường cong B là trung biểu, biểu thị rằng kết quả thử nghiệm tuân theo phân phối chuẩn. Đây thường là trường hợp thường xuyên nhất.

Ví dụ đã làm việc của kurtosis

Tìm hệ số cho điểm của Fisher cho các lớp sau, đạt được trong một kỳ thi Vật lý cho một nhóm học sinh, với thang điểm từ 1 đến 10:

Giải pháp

Biểu thức sau sẽ được sử dụng cho dữ liệu không được nhóm, được đưa ra trong các phần trước:

K = g ₂ - 3

Giá trị này cho phép bạn biết loại phân phối.

Để tính g _2, thuận tiện là thực hiện theo cách có thứ tự, từng bước một, vì phải giải một số phép tính số học.

Bước 1

Đầu tiên, điểm trung bình của các lớp được tính toán. Có N = 11 dữ liệu.

Bước 2

Độ lệch chuẩn được tìm thấy, phương trình này được sử dụng:

σ = 1,992

Hoặc bạn cũng có thể xây dựng một bảng, bảng này cũng được yêu cầu cho bước tiếp theo và trong đó mỗi số hạng của các tổng sẽ cần được viết, bắt đầu bằng (x _i - X), sau đó (x _i - X) ² và sau đó (x _i - X) ⁴ :

Bước 3

Tính tổng được chỉ ra ở tử số của công thức cho g ₂ . Đối với điều này, kết quả của cột bên phải của bảng trước đó được sử dụng:

∑ (x _i - X) ⁴ = 290,15

Như vậy:

g ₂ = (1/11) x 290,15 /1.992 ⁴ = 1,675

Hệ số trỏ của Fisher là:

K = g ₂ - 3 = 1.675 - 3 = -1.325

Điều đáng quan tâm là dấu hiệu của kết quả, là số âm, tương ứng với phân bố platicúrtic, có thể được hiểu như đã được thực hiện trong ví dụ trước: có thể đó là một khóa học không đồng nhất với các sinh viên có mức độ quan tâm khác nhau hoặc các câu hỏi kiểm tra là các mức độ khó khác nhau.

Việc sử dụng một bảng tính chẳng hạn như Excel tạo điều kiện thuận lợi đáng kể cho việc giải quyết các loại vấn đề này và cũng cung cấp tùy chọn vẽ đồ thị phân phối.

Người giới thiệu

1. Levin, R. 1988. Thống kê cho quản trị viên. lần 2. Phiên bản. Sảnh Prentice.
2. Marco, F. Curtosis. Được khôi phục từ :ecomipedia.com.
3. Oliva, J. Không đối xứng và kurtosis. Được khôi phục từ: Statisticsticaucv.files.wordpress.com.
4. Spurr, W. 1982. Ra quyết định trong quản lý. Limusa.
5. Wikipedia. Kurtosis. Được khôi phục từ: en.wikipedia.org.