ĐẠO HÀM CỦA COTANG: TÍNH TOÁN, CHỨNG MINH, BÀI TẬP - TOÁN HỌC - 2026

Đạo hàm của cotang bằng đối với bình phương của cosec "-Csc ² ". Công thức này tuân theo định luật đạo hàm theo định nghĩa và sự phân biệt của các hàm lượng giác. Nó được ký hiệu như sau:

d (ctg u) = -csc ² u. du

Trong đó "du" tượng trưng cho biểu thức xuất phát từ hàm đối số, đối với biến độc lập.

Nguồn: Pixabay.com

Nó được tính như thế nào?

Thủ tục để phát triển các dẫn xuất này khá đơn giản. Chỉ cần xác định chính xác đối số và kiểu hàm mà nó đại diện là đủ.

Ví dụ, biểu thức Ctg (f / g) có một phép chia trong đối số của nó. Điều này sẽ yêu cầu sự khác biệt về U / V, sau khi phát triển đạo hàm của cotang.

Cotang là nghịch đảo của tiếp tuyến. Về mặt đại số, điều này có nghĩa là:

(1 / tg x) = ctg x

Ctg x = Cos x / Sen x

Không đúng khi nói rằng hàm cotang là "nghịch biến" của tiếp tuyến. Điều này là do hàm tiếp tuyến nghịch đảo theo định nghĩa là tiếp tuyến cung.

(Tg ^-1 x) = arctg x

Theo lượng giác Pythagore, cotang liên quan đến các phần sau:

Ctg x = (cos x) / (sin x)

Ctg ² x + 1 = Csc ² x

Theo lượng giác phân tích, nó đáp ứng các đặc điểm sau:

Ctg (a + b) = (1 - tg a. Tg b) / (tg a + tg b)

Ctg (a - b) = (1 + tg a. Tg b) / (tg a - tg b)

Ctg (2a) = (1 - tg ² a) / (2tg a)

Đặc điểm của hàm cotang

Cần phải phân tích các đặc điểm khác nhau của hàm f (x) = ctg x để xác định các khía cạnh cần thiết để nghiên cứu tính phân biệt và ứng dụng của nó.

Các asymptotes dọc

Hàm cotang không được xác định trên các giá trị làm cho biểu thức "Senx" bằng không. Do tương đương với Ctg x = (cos x) / (sin x), nó sẽ có giá trị không xác định trong mọi “nπ” với n thuộc số nguyên.

Tức là trong mỗi giá trị này của x = nπ sẽ có một tiệm cận đứng. Khi bạn tiếp cận từ bên trái, giá trị của cotang sẽ giảm nhanh chóng và khi bạn tiếp cận từ bên phải, hàm sẽ tăng vô hạn.

Miền

Miền của hàm cotang được biểu diễn bởi tập {x ∈ R / x ≠ nπ, n ∈ Z}. Điều này được đọc là "x thuộc tập các số thực sao cho x khác nπ, với n thuộc tập các số nguyên".

Cấp

Phạm vi của hàm cotang là từ trừ đến cộng vô cùng. Do đó, có thể kết luận rằng hạng của nó là tập các số thực R.

Tần số

Hàm cotang tuần hoàn và chu kỳ của nó bằng π. Theo cách này, đẳng thức Ctg x = Ctg (x + nπ) được thỏa mãn, trong đó n thuộc Z.

Hành vi

Nó là một hàm lẻ, vì Ctg (-x) = - Ctg x. Theo cách này, người ta biết rằng hàm thể hiện một phép đối xứng đối với gốc tọa độ. Nó cũng cho thấy sự giảm trong mọi khoảng thời gian nằm giữa 2 không triệu chứng dọc liên tiếp.

Nó không có giá trị tối đa hoặc giá trị nhỏ nhất, vì các giá trị xấp xỉ của nó với các dấu không triệu chứng theo chiều dọc thể hiện các hành vi trong đó hàm tăng hoặc giảm vô thời hạn.

Các số không hoặc gốc của hàm cotang được tìm thấy ở bội số lẻ của π / 2. Điều này có nghĩa là Ctg x = 0 giữ cho các giá trị có dạng x = nπ / 2 với n số nguyên lẻ.

Trình diễn

Có 2 cách để chứng minh đạo hàm của hàm cotang.

Chứng minh vi phân lượng giác

Đạo hàm của hàm cotang từ tương đương của nó trong sin và cosin được chứng minh.

Nó được coi là đạo hàm của một phép chia các hàm

Sau khi suy ra các yếu tố được nhóm lại và mục đích là mô phỏng các đặc điểm của người Pythagore

Thay thế danh tính và áp dụng tương hỗ, biểu thức

Chứng minh theo định nghĩa của đạo hàm

Biểu thức sau đây tương ứng với đạo hàm theo định nghĩa. Trường hợp khoảng cách giữa 2 điểm của hàm bằng không.

Thay thế cho cotang chúng ta có:

Danh tính được áp dụng cho tổng các đối số và tính tương hỗ

Phân số của tử số được vận hành theo cách truyền thống

Loại bỏ các yếu tố đối lập và lấy một yếu tố chung, chúng tôi thu được

Áp dụng đặc điểm nhận dạng Pitago và sự tương hỗ, chúng ta phải

Các phần tử được đánh giá trong x là không đổi đối với giới hạn, do đó chúng có thể để lại đối số của điều này. Khi đó các tính chất của giới hạn lượng giác được áp dụng.

Giới hạn được đánh giá

Sau đó, nó được tính cho đến khi đạt được giá trị mong muốn

Do đó, đạo hàm của cotang được chứng minh là đối lập với bình phương của cosecant.

Bài tập đã giải

Bài tập 1

Dựa vào hàm f (x), xác định biểu thức f '(x)

Các dẫn xuất tương ứng được áp dụng theo quy tắc chuỗi

Lập luận

Đôi khi cần phải áp dụng đồng dạng tương hỗ hoặc lượng giác để điều chỉnh các giải pháp.

Bài tập 2

Xác định biểu thức vi phân tương ứng với F (x)

Theo công thức dẫn xuất và tôn trọng quy tắc chuỗi

Đối số được dẫn xuất, trong khi phần còn lại vẫn giữ nguyên

Bắt nguồn từ tất cả các yếu tố

Hoạt động theo phương thức truyền thống các sản phẩm cùng cơ sở

Các phần tử bằng nhau được thêm vào và phần tử chung được trích ra

Biển báo được đơn giản hóa và vận hành. Nhường đường cho biểu thức có nguồn gốc đầy đủ

Người giới thiệu

1. Dãy lượng giác, tập 1. A. Zygmund. Nhà xuất bản Đại học Cambridge, 2002
2. Tính tích của một biến đơn. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, ngày 10 tháng 11 2008
3. Giải tích với lượng giác và hình học giải tích. John H. Saxon, John Saxon, Frank Wang, Diana Harvey. Nhà xuất bản Saxon, 1988
4. Phân tích đa biến. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, ngày 13 tháng 12. 2010
5. Động lực học hệ thống: Mô hình hóa, mô phỏng và điều khiển các hệ thống cơ điện tử. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, ngày 7 tháng 3 2012
6. Giải tích: Toán học và Mô hình hóa. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, ngày 1 tháng 1 1999