ĐẠO HÀM ĐẠI SỐ (CÓ VÍ DỤ) - TOÁN HỌC - 2026

Đạo hàm đại số bao gồm việc nghiên cứu đạo hàm trong trường hợp của các hàm đại số. Nguồn gốc của khái niệm phái sinh có từ thời Hy Lạp cổ đại. Sự phát triển của khái niệm này được thúc đẩy bởi nhu cầu giải quyết hai vấn đề quan trọng, một trong vật lý và một trong toán học.

Trong vật lý, đạo hàm giải quyết vấn đề xác định vận tốc tức thời của một vật chuyển động. Trong toán học, nó cho phép bạn tìm đường tiếp tuyến với một đường cong tại một điểm nhất định.

Mặc dù thực sự có rất nhiều vấn đề khác được giải quyết bằng cách sử dụng đạo hàm, cũng như các tổng quát hóa của nó, kết quả đã đến sau khi khái niệm của nó được giới thiệu.

Những người tiên phong trong phép tính vi phân là Newton và Leibniz. Trước khi đưa ra định nghĩa chính thức, chúng tôi sẽ phát triển ý tưởng đằng sau nó, từ quan điểm toán học và vật lý.

Đạo hàm dưới dạng hệ số góc của đường tiếp tuyến với đường cong

Giả sử rằng đồ thị của hàm số y = f (x) là một đồ thị liên tục (không có đỉnh hoặc đỉnh hoặc khoảng trống) và cho A = (a, f (a)) là một điểm cố định trên đó. Ta muốn tìm phương trình của đường thẳng tiếp tuyến với đồ thị của hàm số f tại điểm A.

Hãy lấy bất kỳ điểm nào khác P = (x, f (x)) trên đồ thị, gần với điểm A, và vẽ đường thẳng đi qua A và P. Đường thẳng là đường cắt đồ thị của một đường cong. hoặc nhiều điểm.

Để có được đường tiếp tuyến mà chúng ta muốn, chúng ta chỉ cần tính hệ số góc vì chúng ta đã có một điểm trên đường thẳng: điểm A.

Nếu chúng ta di chuyển điểm P dọc theo đồ thị và càng ngày càng gần điểm A, thì đường thẳng được đề cập trước đó sẽ tiếp cận đường tiếp tuyến mà chúng ta muốn tìm. Lấy giới hạn khi "P hướng về A", cả hai đường sẽ trùng nhau, do đó độ dốc của chúng cũng bằng nhau.

Độ dốc của đường thẳng được cho bởi

Nói rằng P tiếp cận A tương đương với nói rằng "x" tiếp cận "a". Như vậy, hệ số góc của đường thẳng tiếp tuyến với đồ thị của f tại điểm A sẽ bằng:

Biểu thức trên được ký hiệu là f '(a), và được định nghĩa là đạo hàm của hàm f tại điểm "a". Do đó, chúng ta thấy rằng về mặt giải tích, đạo hàm của một hàm số tại một điểm là một giới hạn, nhưng về mặt hình học, nó là hệ số góc của đường tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm.

Bây giờ chúng ta sẽ xem xét khái niệm này từ quan điểm của vật lý học. Chúng ta sẽ đến cùng một biểu thức của giới hạn trước đó, mặc dù bằng một con đường khác, do đó có được sự thống nhất của định nghĩa.

Đạo hàm như vận tốc tức thời của một vật chuyển động

Hãy xem một ví dụ ngắn gọn về vận tốc tức thời có nghĩa là gì. Ví dụ, khi người ta nói rằng một chiếc ô tô đến đích đã làm như vậy với vận tốc 100 km một giờ, có nghĩa là trong một giờ nó đã đi được 100 km.

Điều này không nhất thiết có nghĩa là trong cả giờ xe luôn chạy 100 km, đồng hồ tốc độ của xe trong một số thời điểm có thể đánh dấu ít hơn hoặc nhiều hơn. Nếu bạn có nhu cầu dừng lại ở đèn giao thông, tốc độ của bạn lúc đó là 0 km. Tuy nhiên, sau một giờ, quãng đường đã đi được 100 km.

Đây là tốc độ được gọi là tốc độ trung bình và được tính bằng thương số của quãng đường đã đi và thời gian trôi qua, như chúng ta vừa thấy. Mặt khác, tốc độ tức thời là tốc độ đánh dấu kim đồng hồ tốc độ của ô tô tại một thời điểm (thời gian) nhất định.

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào điều này một cách tổng quát hơn. Giả sử rằng một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng và độ dịch chuyển này được biểu diễn bằng phương trình s = f (t), trong đó biến t đo thời gian và biến s là độ dịch chuyển, tính đến thời điểm bắt đầu của nó thời điểm t = 0, tại thời điểm đó nó cũng bằng không, nghĩa là, f (0) = 0.

Hàm f (t) này được gọi là hàm vị trí.

Một biểu thức được tìm kiếm cho vận tốc tức thời của vật tại một thời điểm cố định "a". Ở tốc độ này, chúng tôi sẽ ký hiệu nó bằng V (a).

Đặt t là bất kỳ tức thì nào gần với "a" tức thì. Trong khoảng thời gian giữa “a” và “t”, sự thay đổi vị trí của vật được cho bởi f (t) -f (a).

Tốc độ trung bình trong khoảng thời gian này là:

Đó là giá trị gần đúng của vận tốc tức thời V (a). Sự gần đúng này sẽ tốt hơn khi t càng gần "a". Vì vậy,

Lưu ý rằng biểu thức này giống với biểu thức thu được trong trường hợp trước, nhưng ở một góc độ khác. Đây là cái được gọi là đạo hàm của hàm f tại điểm "a" và được ký hiệu là f '(a), như đã nêu ở trên.

Lưu ý rằng thực hiện thay đổi h = xa, chúng ta có rằng khi "x" có xu hướng thành "a", "h" có xu hướng về 0 và giới hạn trước đó được chuyển đổi (tương đương) thành:

Cả hai biểu thức đều tương đương nhưng đôi khi tốt hơn là sử dụng một thay vì biểu thức kia, tùy thuộc vào từng trường hợp.

Đạo hàm của hàm f tại bất kỳ điểm nào "x" thuộc miền của nó sau đó được định nghĩa theo cách tổng quát hơn là

Kí hiệu phổ biến nhất để biểu diễn đạo hàm của hàm số y = f (x) là kí hiệu chúng ta vừa thấy (f 'hoặc y'). Tuy nhiên, một ký hiệu được sử dụng rộng rãi khác là ký hiệu Leibniz được biểu diễn dưới dạng bất kỳ biểu thức nào sau đây:

Vì đạo hàm về bản chất là một giới hạn, nó có thể tồn tại hoặc không, vì giới hạn không phải lúc nào cũng tồn tại. Nếu nó tồn tại, chức năng được đề cập được cho là có thể phân biệt được tại điểm đã cho.

Hàm đại số

Một hàm đại số là sự kết hợp của các đa thức bằng các phép cộng, trừ, tích, thương, lũy thừa và căn.

Đa thức là một biểu thức có dạng

P _n = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀

Trong đó n là số tự nhiên và mọi a _i , với i = 0,1, …, n, đều là số hữu tỉ và _n ≠ 0. Trong trường hợp này bậc của đa thức này được cho là n.

Sau đây là các ví dụ về các hàm đại số:

Các hàm số mũ, lôgarit và lượng giác không được đưa vào đây. Các quy tắc dẫn xuất mà chúng ta sẽ thấy tiếp theo là hợp lệ cho các hàm nói chung, nhưng chúng ta sẽ tự giới hạn và áp dụng chúng trong trường hợp các hàm đại số.

Bỏ qua quy tắc

Đạo hàm của một hằng số

Tuyên bố rằng đạo hàm của một hằng số bằng không. Tức là, nếu f (x) = c thì f '(x) = 0. Ví dụ, đạo hàm của hàm hằng số 2 bằng 0.

Đạo hàm của một quyền lực

Nếu f (x) = x ⁿ thì f '(x) = nx ^n-1 . Ví dụ, đạo hàm của x ³ là 3x ² . Theo hệ quả của điều này, chúng ta thu được rằng đạo hàm của hàm đồng nhất f (x) = x là f '(x) = 1x ^1-1 = x ⁰ = 1.

Một ví dụ khác như sau: cho f (x) = 1 / x ² , thì f (x) = x ^-2 và f '(x) = - 2x ^-2-1 = -2x ^-3 .

Thuộc tính này cũng là rễ hợp lệ, vì rễ là quyền hạn hợp lý và điều trên cũng có thể được áp dụng trong trường hợp đó. Ví dụ, đạo hàm của một căn bậc hai được cho bởi

Đạo hàm của phép cộng và phép trừ

Nếu f và g là các hàm phân biệt theo x thì tổng f + g cũng là phân biệt và thỏa mãn rằng (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Tương tự, chúng ta có (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). Nói cách khác, đạo hàm của một tổng (phép trừ), là tổng (hoặc phép trừ) của các đạo hàm.

Thí dụ

Nếu h (x) = x ² + x-1 thì

h '(x) = (x ² ) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.

Bắt nguồn từ một sản phẩm

Nếu f và g là các hàm phân biệt trong x, thì tích fg cũng phân biệt theo x và đúng là

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Kết quả là, nếu c là một hằng số và f là một hàm phân biệt trong x, thì cf cũng có thể phân biệt trong x và (cf) '(x) = cf' (X).

Thí dụ

Nếu f (x) = 3x (x ² +1) thì

f '(x) = (3x)' (x ² +1) + (3x) (x ² +1) '= 3 (x)' (x ² +1) + 3x

= 3 (1) (x ² +1) + 3x = 3 (x ² +1) + 3x (2x) = 3x ² + 3 + 6x ²

= 9x ² +3.

Đạo hàm của một thương số

Nếu f và g phân biệt được tại x và g (x) ≠ 0, thì f / g cũng phân biệt được tại x, và đúng là

Ví dụ: nếu h (x) = x ³ / (x ² -5x), thì

h '(x) = / (x ⁵ -5x) ² = / (x ⁵ -5x) ² .

Quy tắc chuỗi

Quy tắc này cho phép suy ra thành phần của các hàm. Phát biểu như sau: nếu y = f (u) khả vi tại u, yu = g (x) khả vi tại x, thì hàm tổng hợp f (g (x)) khả vi tại x và đúng là '= f '(g (x)) g' (x).

Nghĩa là, đạo hàm của hàm phức là tích của đạo hàm của hàm ngoài (đạo hàm ngoài) và đạo hàm của hàm trong (đạo hàm trong).

Thí dụ

Nếu f (x) = (x ⁴ -2x) ³ thì

f '(x) = 3 (x ⁴ -2x) ² (x ⁴ -2x)' = 3 (x ⁴ -2x) ² (4x ³ -2).

Ngoài ra còn có các kết quả để tính toán đạo hàm của nghịch đảo của một hàm, cũng như tổng quát hóa cho các đạo hàm cấp cao hơn. Các ứng dụng rất rộng rãi. Trong số đó, tính hữu ích của nó trong các bài toán tối ưu hóa và các chức năng tối đa và tối thiểu nổi bật.

Người giới thiệu

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Phép tính vi phân. ITM.
2. Cabrera, VM (1997). Phép tính 4000. Progreso biên tập.
3. Castaño, HF (2005). Toán học trước khi tính toán. Đại học Medellin.
4. Eduardo, NA (2003). Giới thiệu về Giải tích. Phiên bản ngưỡng.
5. Fuentes, A. (2016). TOÁN HỌC CƠ BẢN. Giới thiệu về Giải tích. Lulu.com.
6. Purcell, EJ, Rigdon, SE và Varberg, DE (2007). Phép tính. Giáo dục Pearson.
7. Saenz, J. (2005). Phép tính vi phân (Xuất bản lần thứ hai). Barquisimeto: Giả thuyết.
8. Thomas, GB & Weir, MD (2006). Tính toán: một số biến. Giáo dục Pearson.